Exercice 7. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes PDF

Une étude statistique a permis de montrer que la durée moyenne de vie de ses machines est de 15 ans. 1) Calculer la probabilité que la durée de vie d'une

Probabilités – Loi exponentielle Exercices corrigés

Exercice 6 : espérance et variance d'une variable aléatoire continue. • Exercice 7 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle en effectuant un

Exercices corrigés

On rappelle que la loi exponentielle E(?) de paramètre ? a pour densité de probabilité f?(x) = ?e ??x pour x. 0 et f?(x) = 0 pour x < 0. On construit un.

Loi exponentielle de param`etre ? : Exercices Corrigés en vidéo

Démontrer que la fonction définie sur [0; +?[ par f(x) = ?e??x est une densité de probabilité. Savoir déterminer la valeur du param`etre ?. Une variable

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Exercice 2. Minimum et maximum d'une famille de variables aléatoires exponentielles. Soit X Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives

Cours et exercices corrigés en probabilités

2.2 Loi de probabilité d'une v.a. discrète . 3.4.2 Loi exponentielle . ... et le troisième chapitre nous avons proposé des séries d'exercices corrigés.

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

1.2 Axiomes du calcul des probabilités . Corrigés des exercices . ... centrale) Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale

Terminale S - Probabilités Exercices corrigés

Fesic 2004 : Exercice 14. 14. Urnes et dés Pondichery 2004. 15. Entropie

7 Lois de probabilité

associer une expérience aléatoire à une loi de Poisson. • calculer des probabilités sur la loi exponentielle. • associer une expérience aléatoire suit à loi

Exercice 7. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes

? > et Y suit une loi exponentielle de param`etre µ > . Identifier la loi de la variable aléatoire min(XY ). Corrigé : Soit Z = min(X

X2016- MAP311

PC2- Lundi24avril2017- Variables al´eatoires r´eelles

Corrig

´e des que?ions non abord´ees en PC

Igor Kortchemski -igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrig

´e des exercices non trait´es surhttp://www.normalesup.org/˜kortchem/MAP311un peu apr`es la PC.

2Variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes

Exercice 7.SoientXetYdeux variables al´eatoires ind´ependantes telles queXsuit une loi exponentielle de param`etre

>0etYsuit une loi g´eom´etrique de param`etrep. CalculerP(X > Y).

Corrig

´e :

On applique la formule des probabilit

´es totales avec le sy?`eme complet d"´ev´enements(fY=kg:k1): P (X > Y)=X k1P (X > Y;Y=k):

Or on a l"

´egalit´e des´ev´enementsfX > Y;Y=kg=fX > k;Y=kg. Donc, en utilisant l"ind´ependance deXetY:

P (X > Y)=X k1P (X > k;Y=k)=X k1P (X > k)P(Y=k)=X k1e kp(1p)k1

Ainsi,

P (X > Y)=peX k1 e(1p)k1=pe1e(1p)=pe +p1

Exercice 8.SoientXetYdeux variables al´eatoires ind´ependantes telles queXsuit une loi exponentielle de param`etre

>0etYsuit une loi exponentielle de param`etre >0. Identifier la loi de la variable al´eatoire min(X;Y).

Corrig

´e :

SoitZ= min(X;Y). CalculonsP(Z > u)pouru2R. Siu <0, on aP(Zu)=1. Siu0, on a, par ind´ependance deXet deY: P (Z > u)=P(X > u;Y > u)=P(X > u)P(Y > u)=eueu=e(+)u:

Ainsi, pour toutu2R,

P (Zu)=8 >><>>:0siu <0

1e(+)usiu0:

On reconna

ˆıt la fon?ion de r´epartition d"une loi exponentielle de param`etre+, et comme la fon?ion de

´epartition cara?´erise la loi d"une variable al´eatoire r´eelle, on en d´eduit queZsuit une loi exponentielle de pa-

ram `etre+.Pour des que?ions, demande d"explications etc., n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail. 1

3Plus appliqu´e (hors PC)

Exercice 10.Le cycle d"un feu de circulation e?le suivant : le feu e?vert sur l"intervalle [0;v] et rouge sur ]v;v+r] avec

v;r >0. L"in?ant d"arriv´eeUde Zo´e e?suppos´e uniform´ement r´eparti sur le cycle [0;r+v].

(1)Exprimer en f on?ion deUle temps d"attenteTde Zo´e au feu dans le cas o`u aucun vehicule ne se trouve devant

le feu `a l"in?ant o`u elle arrive.

(2)D ´eterminer la fon?ion de r´epartition de T. E?-ce une variable al´eatoire discr`ete ou`a densit´e?

Corrig

´e :

(1)On a T= (v+rU)?vUv+r (2)On a P(T <0)=0,P(Tx)=P(T=0)+P(0< Tx)=v+xv+rpour0< xr. La variable al´eatoireTn"e?donc ni

`a densit´e (car sa fon?ion de r´epartition n"e?pas continue) ni discr`ete (car elle e?continue?ri?ement

croissante sur sur [0;r].

Exercice 11.(Particule dans un puit de potentiel, loi d"Arrh´enius et loi de Pareto) On consid`ere une particule dans

un puit de potentiel de barri `ere d"´energieEpositive. La loi d"Arrh´enius donne le temps de sortie(E) en fon?ion deE de la particule hors du puit d

ˆu aux flu?uations thermiques :

(E) =0eEk BT:

Ici, la con?ante0e?un temps de r´ef´erence cara?´eri?ique,Te?la temp´erature absolue, etkBe?la con?ante de

Boltzmann. On suppose que la barri

`ere e?d´ecrite par une variable al´eatoireXde loi exponentielle de param`etre=

1=E0, o`uE0e?une´energie de r´ef´erence. Le temps de sortie de la particule e?alors une variable al´eatoire not´eeY:

Y:=(X);

o `u(x) =0exk BT. (1)D ´eterminer la loiY. (2)Mon trerque pour tout t0>0on a limt!+1P(Y > t+t0jY > t) =1. Interpr´eter ce r´esultat.

Remarque.la loi deYe?la loi de Pareto. C"e?une loi de puissance qui a des applications non seulement en physique

mais aussi en sciences sociales, en ge?ion de qualit´e, etc.

Corrig

´e :

(1)D ´eterminons la fon?ion de r´epartition deY. On aP(Yx)=0pourx < 0, et pourx0: P (Yx)=P 0eXk BTx =P

XkBTln x

0!! =1ekBTlnx 0 =10x kBTE 0: AinsiYe?une variable al´eatoire`a densit´e, et une densit´efYe? f

Y(x) =0x

+1?x0; o `u=kBTE 0.

On remarque que si la temp

´erature tend vers0,tend vers0´egalement. Il en e?de mˆeme siE0tend vers l"infini. (2)D" apr`es le calcul de la fon?ion de r´epartition deY, pour toust;t00on a

P(Y > t+t0jY > t) =

1+t0t !t!11:2

Si la particule e?re?´ee dans le puit de potentiel trop longtemps, la probabilit´e qu"elle y demeure e?proche

de1. Remarque.Pour >1, le temps moyen de sortie du puit vaut E [Y]=01:

Par contre,0< 1, on aE[Y]=1! Donc, si la temp´erature e?assez basse, la particule met un temps moyen

infini pour sortir du puit. On pourrait s"attendre `a ce que cela soit le cas quandT=0seulement.

Exercice 12.(D´etruquer une pi`ece) On dispose d"une pi`ece truqu´ee qui renvoiepileavec une probabilit´epet on

souhaite s"en servir pour g

´en´erer un pile ou face´equilibr´e. John von Neumann a imagin´e l"algorithme suivant :Lancer

la pièceLancer la pi

èceLancer

la pi

èce

pilepile faceface face pileRenvoyer "face"

Renvoyer

"pile"DEBUT FIN

FINOn noteT2 f2;4;6;:::gla variable al´eatoire donn´ee par le nombre de lancers n´ecessaires pour que l"algorithme se termine,

etR2 fpile;facegle r´esultat de l"algorithme. (1)?ue valentTetRsi on obtient comme premiers tiragesPPPPFFPPPFFP? (2)D ´emontrer que pour toutk1,

P(T=2k) =(p2+(1p)2)k12p(1p);

en d ´eduire que l"algorithme se termine presque-sˆurement :P(T <+1) =1.

(3)D ´emontrer que l"algorithme renvoie bienpileoufaceavec mˆeme probabilit´e, c"e?-`a-dire queP(R=

pile) =1=2. (4)D ´emontrer queE[T]=1p(1p).

Corrig

´e :

(1)L "algorithmerevien ta ud ´ebut d`es qu"on lit deux r´esultats identiques`a la suite. Dans cet exemple, on trouve

doncT=10etR=face.

(2)Notons ( Xi)i1une suite i.i.d. de variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Bernoulli de param`etrep(on

mod ´elise un r´esultatpileau i-i`eme lancer parXi=1). Calculons d"abordA=P(X1=X2)etB=P(X1,X2). On a A=P(X1=1;X1=1)+P(X1=0;X2=0)=p2+(1p)2; B=1A=2p(1p):

On a alors

Par ind

´ependance, on en d´eduit

P (T=2k)=Ak1B=(p2+(1p)2)k12p(1p): Comme P k1P(T=2k)=1, on a bienP(T <1)=1.3 (3)D" apr`es la formule des probabilit´es totales, P (R=pile)=X k1P (T=2k;X2k=1)=X k1A k1P(X2k1=0)P(X2k=1)=p(1p)1A: DoncP(R=pile)=1=2. CommeP(R=pile)+P(R=face)=1, le r´esultat s"ensuit. (4)Soit Yla variable al´eatoire telle queP(Y=k)=(p2+(1p)2)k12p(1p) pourk1. Il s"agit d"une loi g ´eom´etrique de param`etre2p(1p), doncE[Y]=12p(1p). Ainsi, E [T]=X k12kP(T=2k)=2E[Y]=1p(1p):

Exercice 13.(G´en´erer une loi uniforme avec des variables de Bernoulli)SoitX1;X2;:::des variables al´eatoires de

Bernoulli ind

´ependantes de param`etre1=2. On poseZ=P1k=12kXk. (1)On note D=8 >><>>:n X k=1i k2 k:n1;i1;:::;in2 f0;1g9

l"ensemble des nombres dyadiques de [0;1], qui sont denses dans [0;1]. SoitYune variable al´eatoire`a valeurs dans

[0;1] dont la fon?ion de r´epartitionFYv´erifieFY(t) =tpour toutt2 D. Montrer queYe?une variable al´eatoire

uniforme sur [0;1]. (2)Mon trerque pour tous i1;:::;ip2 f0;1gon a P

X1=i1;:::;Xp=ip=P0

BBBBBB@Z22

6666664p

X i=1i j2j;p X j=1i j2j+2p377777751

CCCCCCA:

En d ´eduit que queZe?une variable al´eatoire uniforme sur [0;1].

(3)R ´eciproquement, montrer que siYe?une variable al´eatoire uniforme sur [0;1], alors les bits de son´ecriture en

base2forment une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Bernoulli de param`etre1=2.

(4)?ue se passe-t-il en baseb3avec la loi uniforme surf0;:::;b1g?

Corrig

´e :

(1)Soit x2[0;1[ et montrons queFY(x) =x. Par densit´e deDdans [0;1], il exi?e une suite d´ecroissante (dn)n1d"´el´ements deDtels quedn!x. CommeFYe?continue`a droite enx, on adn=FY(dn)!FY(x). Donc

F Y(x) =x. On montre de mˆeme queFY(1) =1(o`uFY(1) e?la la limite`a gauche deFYen1). Comme

1FY(1)FY(1) =1, on en d´eduit queFY(1) =1.

(2)La premi `ere partie de la que?ion d´ecoule du fait qu"avec probabilit´e1une infinit´e de0apparaissent dans la

suite (Xn)n1et queX kn+1t k2 kNotons D n=8 >><>>:n X k=1t k2 k:t1;:::;tn12 f0;1gettn=19

Montrons par r

´ecurrence forte surnque pour toutt2 Dnon aP(Zt)=t. Pourn=1, on a bienP(Z1=2)= P

(X1=0)=1=2. Supposons que le r´esultat e?acquis pour les´el´ements deDk,1knet montrons le pour4

les ´el´ements deDn+1. Tout d"abord,P(Z1=2n+1)=P(X1=0;:::;Xn+1=0)=1=2n+1. Ensuite, choisissons t=Pmk=1t k2 k+12 n+12 Dn+1avec1m < nettm=1. Alors, d"apr`es la premi`ere partie de la que?ion, P (Zt)=P0BBBBB@Zm X k=1t k2 k1

Donc, par hypoth

`ese de r´ecurrence, P (Zt)=P0BBBBB@Zm X k=1t k2 k1

CCCCCA+12

n=m X k=1t k2 k+12 n=t:

Ceci cl

ˆot la r´ecurrence et conclut grˆace`a la que?ion (1).

(3)C ecise d ´emontre en utilisant la mˆeme id´ee que la que?ion (2), voir l"exemple4.9.9du poly pour plus de

´etails.

(4)Les m ˆemes r´esultats sont satisfaits avecZ=P1k=1bkXket (Xk)k1des variables al´eatoires ind´ependantes et

de m

ˆeme loi uniforme surf0;1;:::;b1g.

Remarque.Il peut se produire un ph´enom`ene surprenant lorsqueb3et lesXnne sont pas de loi uniforme sur

f0;:::;b1g. Un exemple c´el`ebre e?fourni par l"escalier du diable, qui correspond`a la fon?ion de r´epartitionFYquandb=3et les (Xn)n1sont ind´ependantes de mˆeme loi donn´ee parP(X1=0)=P(X1=2)=1=2etP(X1=1)=0.

Dans ce cas,FYe?une fon?ion continue, d´erivable presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue) de d´eriv´ee

nulle, qui e?connue sous le nom d"escalier du diable (voir la Figure ci-dessous ethttp://fr.wikipedia.org/

wiki/Escalier_de_Cantor). Dans ce cas,Yn"e?pas`a densit´e (sa loi e?mˆeme singuli`ere par rapport`a la mesure

de Lebesgue).

4Pour aller plus loin (hors PC)

Exercice 14.(Support d"une loi) SoitXune variable al´eatoire r´eelle.

(1)On suppose que pour tout A2 B(R), on aP(X2A)2 f0;1g. Montrer queXe?presque-sˆurement con?ante (c"e?-

a-dire qu"il exi?ec2Rtel queP(X=c)=1).

(2)On suppose que l" ensemblefP(X2A); A2 B(R)ge?d´enombrable. Montrer que p.s.Xne peut prendre qu"un

nombre d ´enombrable de valeurs (c"e?-`a-dire, il exi?e un ensemble d´enombrabletel queP(X2)=1).

Corrig

´e :

(1)Soit c= supfx2R:P(Xx)=1g. CommeP(Xx)!0lorsquex! 1etP(Xx)!1lorsquex! 1, on5 ac2R. V´erifions queP(X=c)=1. Par d´efinition dec, pour toutn1, on aP(X2[c1=n;c+1=n])=1. Donc

1=P0BBBBB@X2\

n1[c1=n;c+1=n]1CCCCCA=P(X=c):

(2)Soit FXla fon?ion de r´epartition deX. CommeFXe?croissante, elle a au plus un nombre d´enomrable

de points de discontinuit ´es. Notons (xi)i2Iles points de discontinuit´e deFXetpi=P(X=xi)pouri2I, et consid

´erons la variable al´eatoireY`a valeurs dansfxi:i2Igtelle queP(Y=xi)=pipouri2I. V´erifions que

XetYont la mˆeme loi.

Pour cela, notonsFYla fon?ion de r´epartition deY. D"apr`es l"hypoth`ese, et commeYne prend qu"un nombre d

´enombrable de valeurs possibles, l"ensemblefFX(x)FY(x) :x2Rge?d´enombrable. OrFXFYe?continue. SiFXFYn"e?pas con?ante, alors d"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediairesFXFYprendrait un nombre non d´enombrable de valeurs possibles,ce qui e?absurde. DoncFXFYe?con?ante.

Comme lim

1(FXFY) =0, on en d´eduit queFX=FY.

Ainsi,XetYont mˆeme loi, et doncP(X2)=1, avec=fxi:i2Ig. Exercice 15.(Une que?ion de mesurabilit´e)Soit ( ;A) un espace probabilisable et (Ai)i1un sy?`eme complet d" ´ev´enements (on rappelle que cela signifie queAi2 Apour touti1, que[i1Ai= et queAi\Aj=;sii,j).

On consid

`ere l"applicationX: !Nd´efinie parX(!) =i, o`uie?tel que!2Ai. Montrer queXe?une variable alquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] Exercice 7. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes

X2016- MAP311

Corrig

´e des que?ions non abord´ees en PC

Corrig

2Variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes

Corrig

´e :

On applique la formule des probabilit

Or on a l"

Ainsi,

Corrig

´e :

Ainsi, pour toutu2R,

1e(+)usiu0:

On reconna

3Plus appliqu´e (hors PC)

Corrig

´e :

ˆu aux flu?uations thermiques :

Boltzmann. On suppose que la barri

1=E0, o`uE0e?une´energie de r´ef´erence. Le temps de sortie de la particule e?alors une variable al´eatoire not´eeY:

Y:=(X);

Corrig

´e :

XkBTln x

Y(x) =0x

On remarque que si la temp

P(Y > t+t0jY > t) =

èceLancer

èce

Renvoyer

P(T=2k) =(p2+(1p)2)k12p(1p);

Corrig

´e :

On a alors

Par ind

´ependance, on en d´eduit

Bernoulli ind

X1=i1;:::;Xp=ip=P0

BBBBBB@Z22

6666664p

CCCCCCA:

Corrig

´e :

1FY(1)FY(1) =1, on en d´eduit queFY(1) =1.

Montrons par r

Donc, par hypoth

CCCCCA+12

Ceci cl

´etails.

ˆeme loi uniforme surf0;1;:::;b1g.

4Pour aller plus loin (hors PC)

Corrig

´e :

1=P0BBBBB@X2\

XetYont la mˆeme loi.

Comme lim

1(FXFY) =0, on en d´eduit queFX=FY.

On consid