FICHE 1
SITUATION DU 1ER DEGRE. Résoudre une équation. FICHE 1. Page 2/2. O. Emorine. - 2 -. Equation 1. B. Règle 2 : supprimer une multiplication ou une division.
Expressions sans parenthèses
les multiplications et les divisions doivent être qui ne contient que des multiplications on peut ... Expressions avec parenthèses.
Les équations du premier degré
10 sept. 2010 3.2.2 Avec une identité remarquable . ... Il n'y a que deux règles de base pour résoudre une équation du premier degré. Cette.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
a) x = ea est équivalent à a = lnx avec x > 0 Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation ... multiplication on trouve facilement :.
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
Il suffirait de multiplier la première équation par 2 pour que les puissent s'annuler lors de l'addition des équations. Il ne sera même pas nécessaire dans ce
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l'aide de la formule du produit de deux matrices de dimensions quelconques nous généra- sa multiplication avec la matrice X la laisse inchangée.
FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
L'équation 10 = avec >0
Problèmes pour trouver un nombre
icelles multiplications adjoustees avec luy ne montent que 7. » Résoudre chaque problème en faisant apparaître votre raisonnement.
Exo7 - Algorithmes
Voici ce que l'on fait pour calculer Sn avec n = 10. • On affecte d'abord la valeur 0 à la Pour obtenir N décimales il faut résoudre l'inéquation C.
Le cours des parties calculatoires au TAGE MAGE
Avec les multiplications la nécessité de bien maitriser les astuces de calcul de bien évaluer l'énoncé pour en tirer une équation avant de la résoudre.
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6 sept 2021 · Avant de commencer à résoudre nous-même nos premières équations nous allons faire un une division s'inverse avec une multiplication
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RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre inconnu SOLUTION : C'est la valeur de l'inconnue 2) Tester une égalité
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10 sept 2010 · Il n'y a que deux règles de base pour résoudre une équation du premier degré Cette grande simplicité de résolution explique son succès
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La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux problèmes de résolution de systèmes de deux équations linéaires et deux variables
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2- Exercices - Solutions et résolution d'équations linéaires Multiplier ou diviser les deux côtés de l'équation par la même valeur
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Les unités si elles existent sont également à mentionner C'est la traduction du problème avec les éléments mathématiques C'est l 'étape la plus difficile
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Résoudre une inéquation ( comme une équation ) c'est déterminer si elles existent les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité ( c'est à dire qui
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Méthode : Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue avec des dénominateurs on met tous les termes sur le même dénominateur qu'on supprime
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Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques constituées de variables formelles de réels ou de complexes
Comment régler une équation ?
La règle, est donc la suivante : quand un terme est additionné ou soustrait d'un côté d'une équation, on peut le faire passer de l'autre côté en changeant son signe. Autrement dit, en passant de l'autre côté du signe =, les additions se transforment en soustraction et inversement.Comment donner la solution d'une inéquation ?
La résolution d'une inéquation se déroule de manière semblable à celle d'une équation à deux exceptions près :
1Les valeurs qui vérifient une inéquation forment un ensemble-solution. 2Lorsqu'on multiplie ou on divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inéquation.Sur ce type de travail, nous dégagerons chaque fois 3 étapes:
11ère Étape: Déclarer l'inconnue du problème et mettre en équation ce problème.22ème Étape: Résoudre l'équation.33ème Étape: Interpréter le résultat.
Les matrices - La matrice identité
Notes rédigées par Laurent ZIMMERMANN??????Sur base de la formule de l"inverse d"une matrice(22)nous montrons que le
produit d"une matrice avec son inverse donne la matrice identité(22). Nous montronsque cette matrice constitue l"élément neutre de l"opération de multiplication matricielle. À
l"aide de la formule du produit de deux matrices de dimensions quelconques, nous généra- lisons le concept de matrice identité à l"ordre(nn).Quelques rappels
Dans l"introduction au calcul matriciel, nous avons écrit un système de deux équations li-néaires à deux inconnues sous forme matricielle. Dans ce formalisme, le système a pu se noter
de manière extrêmement simple A X=P et pour le résoudre nous avons tenté de diviser les deux membres par la matriceAen nous demandant si cela avait un sens. La suite nous a montré que oui dans la mesure où nous avons pu changer cette division parAen une multiplication parA1: X=A1P où l"inverse de la matriceAse calcule comme suit : A=a b c d !A1=1det(A) db c a avec det(A) =adbc À présent que nous avons vu comment calculer l"inverse d"une matrice carrée (nous nous sommes limités au cas 22, mais nous aurons l"occasion de voir que c"est possible pour n"im-porte quelle matrice carrée dont le déterminant est non nul), nous pouvons résoudre l"équation
matricielle ci-dessus en multipliant ses deux membres parA1(au lieu de diviser parA) : X z}|{ A1A|{z}
IX=A1P
Cette équation nous amène à penser que les deux facteurs de la multiplicationA1Ase neu- tralisent. Leur produit reste néanmoins une matrice, que nous nommeronsmatrice identitéIcar sa multiplication avec la matriceXla laisse inchangée. 2 Dans la vidéo consacrée à l"addition matricielle, nous avons introduit la notation compacte des matrices. Nous l"avons utilisée dans la vidéo consacrée à la multiplication matri- cielle pour écrire la formule tout à fait générale qui permet de calculer tous les éléments de la matrice(cij)qui est le pro- duit entre une matrice(aij)et une matrice(bij): c ij=nå k=1a ikbkj "cijest la somme pourkallant de 1 àndesaikbkj. »Cette formule traduit le fait que tout élémentcijde la matriceCest le produit scalaire entre la
ligneide la matriceAet la colonnejde la matriceB.La matrice identité d"ordre 2
Passons au calcul du produit de la multiplicationA1Apour découvrir la matrice identité. A1A=1det(A)
db c a a b c d =1det(A) adbc00bc+ad
=1 0 0 1La dernière égalité résulte du fait que det(A) =adbc; il y a donc simplification une fois que
la multiplication avec le scalaire 1/det(A)a été effectuée. Nous vérifions facilement que, comme nous l"avions écrit précédemment, X z}|{ A1A|{z}
IX=1 0
0 1 x y =x y =XCette matrice particulière apparaît donc comme l"élément neutre pour le produit matriciel.
C"est la matrice identité d"ordre 2 (de dimensions 22), qui est notéeI2ou, plus simplementI, avec la lettreIdu mot " Identité » :
I=1 00 1???????Nous pouvons aussi vérifier que
a b c d 1 0 0 1 =a b c d ou encore que 1 0 0 1 a b c d =a b c d Pour notre matriceA, la même matrice identité (il en existe de dimensions différentes) estl"élément neutre aussi bien à droite que à gauche. Il est important de le vérifier car, en géné-https://clipedia.be/videos/le-calcul-matriciel-4-la-matrice-identite
3 ral, la multiplication matricielle n"est pas commutative.Généralisation aux ordres supérieurs
carrée, mais de dimensionsnncette fois-ci, dont les éléments valent 1 sur sa diagonale principale et 0 partout ailleurs.Nous pouvons la représenter de manière explicite, abrégée (en écrivant deux grands zéros
pour remplacer tous les éléments nuls) ou en utilisant la notation compacte : I=0 BBBBB@1 0 00
0 1 00
0 0 10
............00 0 011
CCCCCA=0
BBBBBB@1
10... 0 11 CCCCCCA= (ipq)avecipq=1 sip=q
0 sip6=q
Dans la dernière expression, nous exploitons le fait que chaque élément de la diagonale setrouve à la croisée d"une ligne et d"une colonne qui portent le même numéro d"ordre(p=q),
autrement dit que ses indices de ligne et de colonne sont identiques (il s"agit d"éléments du genreikk).Nous venons de supposer que la matrice identité d"ordrenest une matrice carrée. Cela découle
des conditions sur les dimensions que doivent respecter les deux matrices dans un produit ma-triciel, et du fait que la matrice identité est l"élément neutre pour la multiplication matricielle.
En effet. Envisageons la multiplication entre une matrice identitéIqui serait rectangulaire et une matrice quelconqueA. Cette multiplication n"est possible que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Il est donc indispensable que la multiplication soit de type(ln)(nm). De la loi de la multiplication matricielle, il résulte que leur produit est une matrice(lm): I |{z} lnA|{z} nm=A|{z} lmOr, la matrice identité étant l"élément neutre de la multiplication matricielle, le produit n"est
autre que la matriceAelle-même. Ses dimensions ne peuvent pas être passées denmàlm,ainsi que la formule précédente semble le suggérer. Il fallait donc dès le départ quel=n. Et
dans ce cas, la matrice identitéIest bien une matrice carrée, et non une matrice rectangulaire.
Élément neutre à droite et à gauche
Montrons à présent de manière générale que cette matrice identité est bien l"élément neutre
la par la matrice identité et calculons le produit pour vérifier que nous retrouvons bien la ma-
triceA. 4 Commençons par vérifier queA I=A, c"est-à-dire queIest bien neutre à droite. A I1#= (aik)(ikj)2#= (nå
k=1a ikikj)3#= (aij)4#=A Les étapes du développement se justifient comme suit : 1. passage à la notation compacte ; 2. application de la loi de multiplication matricielle ; 3. utilisation de la pr opriétéde la matrice identité ikj=1 seulement sik=j0 dans tous les autres cas
pour calculer chaque produit scalaire : aikikj=ai1i1j|{z}0+ai2i2j|{z}
0++aijijj|{z}
1++aininj|{z}
0=aij;
4. r etourà la notation symbolique.Le lecteur peut s"entraîner en vérifiant lui-même queI A=A, c"est-à-dire queIest bien neutre
à gauche aussi.
Inverse d"un produit de matrices
Dans la vidéo précédente consacrée à la multiplication matricielle, nous avons vu que cette
opération n"est pas commutative en général :A B6=B A;
est distributive sur l"addition matricielle :A(B+C) =A B+A C;
est associative :A B C= (A B)C=A(B C).
La troisième propriété est bien utile pour en démontrer une quatrième : l"inverse d"un produit
de matrices est le produit des inverses des matrices pris dans l"autre sens : [A B]1=B1A1 Dans ce but, commençons par calculer l"expression suivante : AB B 1|{z} IA1=AA1|{z}
I=I En vertu de l"associativité de la multiplication matricielle, nous pouvons choisir d"effectuer en premier lieu la multiplicationBB1dont le résultat est la matrice identitéI, qu"il n"est plusnécessaire d"écrire puisqu"elle est neutre pour la multiplication. Il ne reste alors plus que la
multiplicationAA1dont le résultat est aussi la matrice identitéI.À présent, multiplions les membres extrêmes de cette égalité parAB1. Nous prenons soin
d"effectuer cette multiplication à gauche dans les deux membres, puisque la multiplication matricielle n"est en général pas commutative. Nous obtenons : [AB]1AB B1A1= [AB]1I= [AB]1https://clipedia.be/videos/le-calcul-matriciel-4-la-matrice-identite 5 Puisque la multiplication matricielle est associative, nous pouvons grouper les matrices à notre gré. Choisissons de grouperAetB: [AB]1[AB]B1A1= [AB]1 Nous mettons ainsi en évidence la multiplication entre le produit[AB]et son inverse[AB]1.Le résultat est égal à la matrice identité. Nous pouvons résumer ceci en simplifiant[AB]et
[AB]1. Finalement, il reste : B1A1= [AB]1
Ceci est la quatrième propriété annoncée.Conclusion
Dès la première vidéo consacrée au calcul matriciel, nous avons rencontré les notions de mul-
tiplication de matrices et d"inverse de matrice. Il s"agissait de matrices 11 ou 22. À cestade, nous avons généralisé la multiplication matricielle à des matrices quelconqueslmet
nous en avons vu un certain nombre de propriétés. Mais concernant l"inverse d"une matrice,nous en sommes toujours restés au cas 22. Dans une vidéo ultérieure nous généraliserons le
calcul de l"inverse d"une matrice à des dimensionsnn(nous verrons que l"inversion d"une matrice n"a de sens que si elle est carrée). QuizCliPéDia propose un quiz relatif à cette matière sur la page consacrée à cette vidéo, sous l"on-
La matrice identitéId"ordrenest une matrice carréenndont les éléments valent1 sur sa diagonale principale et 0 partout ailleurs.
I=0 B BB@1 01 0 11 CCCA= (ipq)avecipq=1 sip=q
0 sip6=q
La matrice identité est l"élément neutre pour la multiplication matricielle à gauche età droite.
I A=A=A I
L"inverse d"un produit de matrices est le produit des inverses des matrices pris dans l"autre sens : [A B]1=B1A1quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] qu'est ce qu"un territoire
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