[PDF] Fonction exponentielle Exercices corrigés

Cours et exercices de mathématiques M CUAZ http://mathscyr free FONCTIONS EXPONENTIELLES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1

[PDF] Les fonctions exponentielles Exercices

Les propriétés de la fonction exponentielle Exercice 1 Corrigé Simplifier les expressions suivantes : • A = e3 × e4 = e3+4 = e7

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d'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions que Page 5 Fonction exponentielle – Limites – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES

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Exponentielle exercices corrigés http://laroche lycee free Terminale S Fonction exponentielle Exercices corrigés 1 1 Fesic 1996 exercice 2

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16 oct 2014 · Exercice 9 f est la fonction définie sur R par : f(x) = e?x2 1) Calculer f(?x) Que peut-on conclure pour Cf ?

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Exercices derni`ere impression le 6 août 2019 à 19:30 La fonction exponentielle Opération sur la fonction exponentielle Exercice 1

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Fiche Corrigés Fiche 3 : Exponentielles logarithmes puissances Opérations élémentaires et fonction exponentielle Exercice 1

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Corrigé de l'épreuve diagnostique sur les préalables Représentation graphique d'une fonction exponentielle Corrigé des exercices

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Il faut appliquer la formule de dérivation du quotient Solutions des exercices EXERCICE 19 1 a ( ) 2

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Terminale S

Fonction exponentielle Exercices corrigés

1. 1. Fesic 1996, exercice 2 1

1. 2. Fesic 1996, exercice 3 1

1. 3. Fesic 1996, exercice 4 2

1. 4. Fesic 2000, exercice 6 3

1. 5. Fesic 2000, exercice 4 3

1. 6. Banque 2004 4

1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5

1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004 7

1. 9. Basiques 8

1. 10. Une fonction 9

1. 11. Un exercice standard 11

1. 12. Une suite de fonctions 12

1. 13. ln et exp 15

1. 14. Recherche de fonction 16

1. 15. Etude de fonction hyperbolique 18

1. 16. Une intégrale peu engageante... 20

1. 17. Tangente hyperbolique 22

1. 18. Tangente hyperbolique et primitives 24

1. 19. Antilles 09/2008 7 points 27

1. 20. ROC+fonction intégrale, Am. du Nord 2007 29

1. 21. Equation différentielle, équation fonctionnelle

et sinus hyperbolique, La Réunion, juin 2004 32

1. 22. Exp, équation, suite réc, Am. du Sud, juin 2004 33

1. 23. Exp et aire 35

1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes 37

1. 1. Fesic 1996, exercice 2

Soit f la fonction définie sur * +ℝ par 3( ) xef xx= et C sa courbe représentative. a. f est une bijection de * +ℝ sur 3 ;27e +∞    b. La droite ( ∆) d'équation 3x= est axe de symétrie de la courbe C. c.

C admet une unique tangente parallèle à l'axe ()Ox et elle est obtenue au point d'abscisse 3x=.

d. La tangente à C au point d'abscisse 1 a pour équation :2y ex e= - -.

Correction

a. Faux : La fonction f est dérivable sur * +ℝ et ( )() 4 3 xe xf x x -′=, or pour x ∈ [3, [+∞, '( ) 0f x≥ car

40 et 0xe x> > et pour ][0 ,3x∈ ()0f x′<. f n'est pas monotone sur *

+ℝ et elle ne réalise donc pas une bijection. b.

Faux : Si la droite ∆ d'équation 3x= est axe de symétrie de la courbe C alors f doit être paire dans le

repère ()( ), , avec 3,0I i j I . Posons 3 y Y x X= alors ( )( )( )( ) 3 3

3 33 3

X Xe eY f X f X

X X+ - +

+ - +. Donc f n'est pas paire dans le repère (); ,I i j avec I(3, 0). c.

Vrai : ( )()

4 3 0 xe xf x x -′= = pour x = 3 car 0xe>donc C admet une unique tangente parallèle à l'axe ()Ox et elle est obtenue au point d'abscisse x = 3. d.

Faux : La tangente à C au point d'abscisse 1 a pour équation : ()()()1 1 1 2 3y f x f ex e′= ⋅ - + = - +.

1. 2. Fesic 1996, exercice 3

Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2( )21 xe xf xx = -+ et C sa courbe représentative. a. lim ( )xf x→+∞= +∞.

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Exponentielle exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr b. La droite D d'équation 2 xy= - est asymptote à C. c. f est décroissante sur ℝ. d. L'équation ( ) 0f x= a une unique solution sur ℝ.

Correction

a. Faux : 2 22

1 1lim lim car lim 02 21 ( 1) ( 1)

x xx x x x e x x x e x e x- b. Vrai :

2lim ( ) lim 021

x x x x ef x x xy= - est asymptote à C en +∞ et elle est située au dessus de C car 21
xe x +>0. c. Vrai : La fonction f est dérivable sur ℝ ; 2

2 2( 1) (2 )1'( )2( 1)

xxe x e xf xx- -- + -= -+ soit 2 2

2 2 2 2( 2 1) ( 1)1 1'( )2 2( 1) ( 1)

xxe x x e xf xx x- -- + + - += - = -+ + qui est toujours strictement négative car somme de deux termes strictement négatifs. f est décroissante sur ℝ. d. Vrai : La fonction f est dérivable et strictement décroissante sur ℝ, f(0)=1 positif et f(1)=1 1

2 2e- donc

négatif. f est donc bijective et il existe un unique réel ][0 ;1α∈ solution de l'équation ( ) 0f x=.

1. 3. Fesic 1996, exercice 4

Soit f la fonction définie par : ( ) ln(1 )1 xx x ef x ee= - ++ et C sa courbe représentative. a. f est définie et dérivable sur ℝ, et pour tout x réel on a : 2 2 '( )(1 ) x x ef xe=+. b. lim ( ) 0xf x→-∞=. c. L'équation ( ) 0f x= n'a pas de solution réelle. d. La droite D d'équation

1y x= + est asymptote à C.

Correction

a. Faux : ( )() 2 2 221
011 1 x x xx x x x xe e ee ef xee e+ - b.

Vrai : lim ln(1 ) 0 car lim 0 et ln1=01

xx x xx xee e e→-∞ →-∞- + = =+. c.

Vrai : D'après a. ()0f x′< donc f est strictement décroissante et d'après b) f tend vers 0 en - ∞ donc

f < 0 sur

ℝ et l'équation n'a pas de solution réelle dans 1,2I = - +∞  .

Faux : lim lim1

x x x x xe e e xe

11 car lim =011xx

xe lim ln(1 ) lim ln ( 1) lim ln( 1)x x x x x x xe e e x e- -

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Exponentielle exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr donc lim ln(1 ) lim 2 ln( 1)x x x xe x x e-

→+∞ →+∞- + - = - - + = -∞ et pour finir ()lim ( ) 1xf x x→+∞- + = -∞.

Conclusion : la droite D d'équation

y=x+1 n'est pas asymptote à f(x) mais la droite d'équation 1y x= - est asymptote à f(x).

1. 4. Fesic 2000, exercice 6

Pour tout réel

m, on considère l'équation (Em) : 22 0x xe e m- - =. a. L'unique valeur de m pour laquelle x = 0 est solution de l'équation (E m) est m = 0. b. Pour toute valeur de m, l'équation (E m) admet au moins une solution. c. Si -10, l'équation (E m) a une unique solution.

Correction

a. Faux : Si x = 0 alors l'équation (Em) s'écrit 0 02 0e e m- - = soit 1m= -. b. Faux : Posons 0xX e= >, on a alors l'équation 22 0X X m- - = où 4 4m∆ = +.

On obtient au moins une solution pour

1m≥ - telles que 12 2 11 12mX m+ += = + + et 21 1X m= - +.

Si m< -1 il n'y a pas de solution.

c. Faux : X1 est évidemment positive. Etudions le signe de 2X : 1 1 0 1 1 0m m m- + > ⇔ > + ⇔ <.

Donc pour

1 0m- < < il y a deux solutions 1X et 2X positives et on obtient ()1ln 1 1 ln1x m= + + > soit

10x> et ()2ln 1 1 ln1x m= - + < soit 20x<.

d. Vrai : Si m>0, 1 1 0m- + < donc 20xX e= > n'a pas de solutions et 1 1 0m+ + > par conséquent ()1ln 1 1x m= + +.

1. 5. Fesic 2000, exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0 ;

+∞[ par : 1 ²( )xxf x ex Répondre par vrai ou faux en justifiant sa réponse. A. lim ( )xf x→+∞= +∞.

B. la droite d'équation y = 0 est une asymptote à la courbe représentative de f quand f tend vers

C. La fonction dérivée de f et la fonction g ont le même signe.

D. La fonction f atteint un minimum pour x = 1.

Correction

A : FAUX

1 ² 1lim ( ) lim lim 0x

x x x x xx xf x exxe e- x e→+∞= (théorème).

B : VRAI

La réponse est dans la question précédente ; comme lim ( ) 0xf x→+∞=, par définition, la droite d'équation

y = 0 est asymptote à la courbe.

C : VRAI

1 ² 1( )x x xxf x e e xex x

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Exponentielle exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr ( )3 21 1'( )1 ( )² ² ² x xx x x xe ef x e e e xe x x x g xx x x x Dans la mesure où on compare f et g sur l'intersection de leur domaine de définition ( ℝ*+), les deux fonctions ont le même signe.

D : FAUX

La fonction f ' ne s'annule pas en 1, elle n'admet donc pas de minimum pour x = 1. Remarque : f(1) = 0, la courbe coupe donc l'asymptote en 1, ... mais aussi en -1.

1. 6. Banque 2004

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (); ,O i j .

Soit f la fonction définie sur

ℝ par : 21( ) 2,1 1,1 1,62 x xf x e e x= - + +.

1. Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la

fenêtre [-5 ; 4] x [-4 ; 4]. Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur la copie.

2. D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a. Sur les variations de la fonction f ? b. Sur le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 ?

3. On se propose maintenant d'étudier la fonction f.

a. Résoudre dans ℝ l'inéquation e2x - 2,1ex + 1,1 > 0 (on pourra poser xe X= pour résoudre). b. Etudier les variations de la fonction f. c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0.

4. On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la fonction

f sur l'intervalle [-0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée

y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?

Correction

1. 2. a. f semble croissante. b. L'équation f(x) = 0 semble avoir une seule solution en 0. 3. a.

e2x - 2,1ex + 1,1 > 0 donne 22,1 1,1 0X X- + > ; cherchons les racines : 2 22,1 4,4 0,01 (0,1)∆ = - = =

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Exponentielle exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr d'où les racines 1 12,1 0,1 2,1 0,11,1, 12 2X X+ -= = = = ; on peut alors factoriser :

22,1 1,1 0 ( 1,1)( 1) 0 ( 1,1)( 1) 0x xX X X X e e- + > ⇔ - - > ⇔ - - >.

Les solutions sont alors

] ;1[ ]1,1; [ ]0 ;1[ ]1,1; [ ] ;0[ ]ln(1,1); [x xe e x∈ -∞ ∪ +∞ ⇔ ∈ ∪ +∞ ⇔ ∈ -∞ ∪ +∞.

2 21'( ) 2 2,1 1,1 2,1 1,12

x x x xf x e e e e= - + = - +. Le signe de f' est celui calculé précédemment. c.

0 01(0) 2,1 1,1.0 1,6 0,5 2,1 1,6 02f e e= - + + = - + = ;

2ln(1,1) ln(1,1)1(ln(1,1)) 2,1 1,1ln(1,1) 1,6 0,00015882f e e= - + + ≈ -.

Comme

f(ln(1,1)) < 0, f s'annule en 0 puis une seconde fois pour une valeur de x supérieure à ln(1,1). Il y a

donc deux solutions.

4. Il suffit de prendre

ymin < f(ln(1,1)) et ymax > 0 comme ci-dessous. Par exemple [-0,0002 ; 0,0002] convient très bien.

1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005

5 points

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par ( ) ( )()1 2xf x x e-= - -.

Sa courbe représentative

C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).

1. a. Étudier la limite de

f en +∞. b. Montrer que la droite ∆ d'équation y = 2x -2 est asymptote à C . c. Étudier la position relative de

C et ∆.

2. a. Calculer

()'f x etmontrer que ( )()' 2 1x xf x xe e- -= + -. b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, ()' 0f x>.

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Exponentielle exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr c. Préciser la valeur de ()' 0f, puis établir le tableau de variations de f .

3. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire, exprimée en cm

2, du domaine plan limité par la

courbe C , la droite ∆ et les droites d'équations x = 1 et x = 3.

4. a. Déterminer le point

A de C où la tangente à C est parallèle à ∆. b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point

A à la droite ∆.

Correction

1. a. En +∞, 1x- tend vers +∞ et 2xe-- tend vers 2 car xe- tend vers 0 ; f a pour limite +∞.

()( ) (2 2) ( 1) 2 2( 1) ( 1)( )x xf x x x e x x e- -- - = - - - - = - - : avec les croissances comparées, xe- emmène

tout le monde vers 0, la droite ∆ d'équation y = 2x -2 est bien asymptote à C . c. Signe de c'est négatif, donc

C est en dessous de ∆.

3. a.

()()'( ) ( 1)' 2 ( 1) 2 ' 2 ( 1) 2 2x x x x x xf x x e x e e x e e xe- - - - - -= - - + - - = - + - = - + d'où

'( ) 2(1 )x xf x xe e- -= + -.

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b. Comme x est positif, 0xxe-> et 00 0 1 1 0 1 0x x xx x e e e e- - -> ⇒ - < ⇒ < = ⇒ - < ⇒ - > donc f' est

positive. c. '(0) 0 2(1 1) 0f= + - =.

2. Comme

1x≥ il faut calculer

1( 1)xx e dx-- - -∫ : on pose 1 ' 1

'x x u x u v e v e- - = - =  ⇒ = = -   d'où

33333 3 3 1 1 3

1111( 1) ( 1) 2 2 3x x x xx e dx x e e dx e e e e e e e- - - - - - - - - -     - = - - - - = - - = - - - = -     ∫ ∫.

Comme l'unité d'aire est de 2 cm x 2 cm, soit 4 cm

2, on a donc ()1 3 23 4 0,87 cme e- -- ≈.

3. a. La tangente à C est parallèle à

∆ lorsque '( ) 2f x= : mêmes coefficients directeurs ; on a donc

'( ) 2 2 2 2 0 ( 2) 0 2x x x x xf x xe e xe e x e x- - - - -= + - = ⇔ - = ⇔ - = ⇒ =. Le point A a pour coordonnées 2 et

()2 2(2) (2 1) 2 2f e e- -= - - = -. b. La distance du point A à la droite

0ax by c+ + = est

2 2A A

ax by c a b + ; ici ∆ a pour équation cartésienne 2 2 0x y- - = d'où notre distance est 22
2 2

2.2 (2 ) 2

52 ( 1)e

e , soit en cm : 2 25
e-

1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004

5 points

On considère la fonction f définie sur

ℝ par ( )x xf xe x=-. On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal ( ; , )O i j , l'unité graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur

ℝ par ( ) 1xg x e x= - -.

1. Etudier les variations de la fonction g sur

ℝ. En déduire le signe de g.

2. Justifier que pour tout x,

0xe x- >.

Partie B

1. a. Calculer les limites de la fonction f en

+∞ et -∞. b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a. Calculer

'( )f x, f' désignant la fonction dérivée de f. b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

b. A l'aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).

Correction

Partie A

x f 0 0 f' + -1

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1. '( ) 1xg x e= - est positive lorsque 0x≥ ; (0) 1 0 1 0g= - - = : comme g est décroissante avant 0 et

croissante après, g est toujours positive.

2. Comme

( ) 0g x≥, on a 1 0x xe x e x- ≥ ⇒ - > (ceci montre que f est définie sur ℝ).

Partie B

1. a.

1 1lim ( ) lim lim 0

1 x xx x x xf xe x e x →+∞ →+∞ →+∞= = = =+∞-- ; 1 1lim ( ) lim lim 10 11x xx x x xf xe x e x b. On a une asymptote horizontale en -∞ : 1y= - et une autre en +∞ : 0y=. 2. a. 2 2 2

1( ) ( 1) (1 )'( )( ) ( ) ( )

x xxx xquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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Terminale S

Fonction exponentielle Exercices corrigés

1. 1. Fesic 1996, exercice 2 1

1. 2. Fesic 1996, exercice 3 1

1. 3. Fesic 1996, exercice 4 2

1. 4. Fesic 2000, exercice 6 3

1. 5. Fesic 2000, exercice 4 3

1. 6. Banque 2004 4

1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5

1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004 7

1. 9. Basiques 8

1. 10. Une fonction 9

1. 11. Un exercice standard 11

1. 12. Une suite de fonctions 12

1. 13. ln et exp 15

1. 14. Recherche de fonction 16

1. 15. Etude de fonction hyperbolique 18

1. 16. Une intégrale peu engageante... 20

1. 17. Tangente hyperbolique 22

1. 18. Tangente hyperbolique et primitives 24

1. 19. Antilles 09/2008 7 points 27

1. 20. ROC+fonction intégrale, Am. du Nord 2007 29

1. 21. Equation différentielle, équation fonctionnelle

1. 22. Exp, équation, suite réc, Am. du Sud, juin 2004 33

1. 23. Exp et aire 35

1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes 37

1. 1. Fesic 1996, exercice 2

Correction

40 et 0xe x> > et pour ][0 ,3x∈ ()0f x′<. f n'est pas monotone sur *

3 33 3

X Xe eY f X f X

X X+ - +

Vrai : ( )()

1. 2. Fesic 1996, exercice 3

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Correction

1 1lim lim car lim 02 21 ( 1) ( 1)

2lim ( ) lim 021

2 2( 1) (2 )1'( )2( 1)

2 2 2 2( 2 1) ( 1)1 1'( )2 2( 1) ( 1)

2 2e- donc

1. 3. Fesic 1996, exercice 4

1y x= + est asymptote à C.

Correction

Vrai : lim ln(1 ) 0 car lim 0 et ln1=01

Faux : lim lim1

11 car lim =011xx

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Conclusion : la droite D d'équation

1. 4. Fesic 2000, exercice 6

Pour tout réel

Correction

On obtient au moins une solution pour

1m≥ - telles que 12 2 11 12mX m+ += = + + et 21 1X m= - +.

Si m< -1 il n'y a pas de solution.

Donc pour

1 0m- < < il y a deux solutions 1X et 2X positives et on obtient ()1ln 1 1 ln1x m= + + > soit

10x> et ()2ln 1 1 ln1x m= - + < soit 20x<.

1. 5. Fesic 2000, exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0 ;

D. La fonction f atteint un minimum pour x = 1.

Correction

A : FAUX

1 ² 1lim ( ) lim lim 0x

B : VRAI

C : VRAI

1 ² 1( )x x xxf x e e xex x

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D : FAUX

1. 6. Banque 2004

Soit f la fonction définie sur

1. Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la

2. D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

3. On se propose maintenant d'étudier la fonction f.

4. On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la fonction

Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée

Correction

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