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ème

TRAVAUX DIRIGÉS 4 : Les aires

Problème 0 (L'Op-Art avec Auguste Herbin).

Dans le tableau ci-dessous, dont on cherchera la date et le nom, peut-on dire qu'il y a :

1. deux fois plus de bleu (foncé) que de rouge ? Trois fois plus ?

2. plus de couleurs que de noir ?

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Séance 1 : Pavages.

Activité 1 (Échange de parcelles ?...).

Monsieur Duchemin s'intéresse à une parcelle de terrain de son voisin Monsieur Delaroute. Voici un extrait de

leur discussion :

Monsieur Duchemin : "Salut, camarade ! J'aime bien ta parcelle, là... Voudrais-tu me l'échanger contre celle-ci ?"

Monsieur Delaroute : "Ah, je ne sais pas, il faut que j'y réfléchisse : j'ai mes bêtes à faire paître aussi et elles ont besoin de beaucoup

de place."

Monsieur Duchemin : "Écoute, comparons les surfaces et voyons ensuite : si mon terrain est plus grand que le tien, je te l'échange. Ça

te va ?" Monsieur Delaroute : "Ça me paraît honnête et arrangeant pour tout le monde."

Voici les plans des parcelles mises en jeu :

L'échange aura-t-il lieu ?

Exercice 1 (Pavage triangulaire).

Le pavage ci-contre est composé de

triangles équilatéraux de même dimension (tous leurs côtés ont la même longueur).

1 Déterminer le périmètre de chacune des 3 figures colorées.

2 Trouver l'aire de chaque figure. L'unité d'aire est le triangle équilatéral :

Exercice 2 (Pavage hexagonal).

Le pavage ci-contre est constitué d'hexagones réguliers (tous leurs côtés ont la même longueur).

1 Déterminer le périmètre de chacune des 3 figures.

2 Trouver l'aire de chaque figure.

L'unité d'aire est l'hexagone régulier :

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Exercice 3 (Bilan).

On utilisera les résultats des Exercices 1 et 2 pour répondre aux questions suivantes.

1(a) Les figures ayant la plus grande aire ont-elles le plus grand périmètre ?

1(b) Les figures qui ont le plus petit périmètre ont-elles la plus petite aire ?

2 Y a-t-il un lien entre le périmètre et l'aire d'une figure ?

Exercice 4 (Applications).

1 Proposer deux figures ayant la même aire mais pas le même périmètre.

2 Proposer deux figures ayant le même périmètre mais pas la même aire.

Exercice 5 (Un tache).

Donner un encadrement de l'aire de la tache ci-contre :

Exercice 6 (Lettres).

Déterminer l'aire des lettres ci-dessous. Le pavage est rectangulaire. 3/14

Exercice 7 (Fractions d'aires).

Sur les figures ci-contre,

1 déterminer la fraction coloriée ;

2 dans quels cas les proportions coloriées sont-elles égales ?

Exercice 8 (Coloriage).

Colorier ci-dessous

2 3 de la figure.

Exercice 9 (Chocolats).

Combien de chocolats représente

1 6 de la boîte ? Et les 2 3

Exercice 10 (Non coloriage).

Sur chaque figure, la partie non coloriée correspond-elle à un tiers de l'aire totale ? 4/14 Problème 1 (Sur du papier pointé : le théorème de Pick). On utilisera du papier pointé pour cet exercice.

1 Calculer l'aire de la figure ABCDEF ci-contre en

utilisant l'unité d'aire fournie. Il existe un algorithme permettant de calculer l'aire d'un polygone qui est tracée sur du papier pointé : c'est le théorème de Pick.

Variables : i, b, b', A : des nombres entiers.

Traitement :

i ← nombre de points strictement intérieurs à la figure. b ← nombre de points sur le bord b' ← b ÷ 2

A ← i + b' - 1

Sortie : Affichage de l'aire A.

2 Recalculer l'aire de la figure ABCDEF au moyen de l'algorithme ci-dessus.

L'unité de mesure reste de carré unité.

ibb'A

3 Calculer l'aire du polygone ci-dessous.

4 Sur du papier pointé, construire un polygone dont on calculera l'aire grâce à la formule de Pick.

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Séance 2 : Quadrillage ...

Activité 2 (Aire à " mémoire de forme » ? ...).

1 Pour chacune des deux séries de quatre figures, déterminer quelles sont celles qui ont la même aire.

2 Comparer l'aire des trois figures ci-dessous :

(c) Compléter la phrase : " Deux figures différentes peuvent avoir des aires ... »

Exercice 11 (Un carré tronqué).

Donner l'aire du carré " tronqué » ci-contre : 6/14

Exercice 12 (Une saleté ...).

Exercice 13 (Une tache).

Donner des valeurs approchées pour l'aire et le périmètres de la figure ci-contre. Le pavage est carré.

Exercice 14 (Vrai ou Faux).

Problème 2 (Chocolats).

Avec mon ami, j'ai l'autorisation de manger la moitié de la tablette de chocolat, mais pas plus... J'en ai déjà mangé les deux septièmes et mon ami a avalé 7 carrés.

Avons-nous respecté la consigne ?

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Séance 3 : ... et unité.

Exercice 15 (Le bassin de la piscine).

Une piscine possède une bassin ayant la forme suivante.

1 Représenter cette figure sur papier quadrillé.

2 Calculer l'aire de ce bassin.

Exercice 16 (Un cerf-volant et un losange).

Parmi les figures ci-dessous :

1 identifier le cerf-volant et le losange.

2 calculer l'aire de chacun d'eux. On utilisera deux méthodes distinctes.

3 comparer les aires.

Problème 3 (Jardinier).

Au début du printemps, un jardinier doit entretenir quatre plates-bandes : il doit les clôturer par un grillage et y

semer du gazon.

Dans sa remise, il lui reste 32

mètres de grillage et un sac de graines de gazon permettant d'ensemencer une surface de 50 m 2

Il se demande si cela suffit pour

entretenir au moins l'une des plates-bandes. 8/14 Exercice 17 (Un avion à " réflexion » ...).

On réunit la figure grise et son symétrique par rapport à la droite d pour obtenir une nouvelle figure.

1 Tracer le symétrique de l'avion par rapport à la droite d.

2 Vrai ou Faux. L'aire de la nouvelle figure est :

(a) deux fois plus grande ? (b) inférieure ? (c) égale à 1,5 fois ? que l'aire de la figure initiale.

Activité 3 (comprendre la conversion d'aires).

On utilisera une feuille de papier millimétré.

1(a) Tracer un carré de côté 1 dm.

1(b) Déterminer l'aire de ce carré d'1 dm.

2(c) Compléter cette conversion : 1 dm = ...... cm.

2(d) Recalculer l'aire de ce carré en utilisant la conversion ci-dessus.

3 Compléter cette relation fondamentale de conversion des aires :

1 dm 2 = ...... cm 2 9/14

Exercice 18 (L'hectare).

Particulièrement en agriculture, l'unité d'aire utilisée est l'hectare (noté ha) défini par 1 ha = 10 000 m

2 et

1. Convertir 1 ha en hm

2

2. Pour chacune des surfaces suivantes, donner l'unité la plus souvent utilisée pour exprimer son aire :

(a) une feuille de papier(b) un pays (c) un terrain de golf(d) une terrasse

Exercice 19 (Terrains).

Monsieur Martin possède trois parcelles d'un même terrain : l'une de 8,5 ha, la deuxième de 3 000 m2 et

la dernière de 9,7 ha. Dans sa région, le prix au mètre carré d'un terrain s'élève à 150 €.

1 Quelle est la superficie totale du terrain ?

2(a) Combien percevra-t-il s'il vend l'intégralité de son terrain ?

2(b) Combien gagnera-t-il s'il ne vend que les deux cinquièmes de son terrain ?

Exercice 20 (Annonces immobilières).

Je cherche une maison avec au moins 5 000 m

2 de terrain. En cherchant des biens à acquérir, je retiens trois offres :

Offre 1Offre 2Offre 3

Maison avec jardin de 45 dam

2 Maison avec 0,75 ha de terrainAppartement avec 350 m 2 de jardin Des offres correspondent-elles à mes critères ? 10/14

Problème 4 (La chambre).

Voici le plan de ma chambre :

Pour prévoir l'agencement des meubles, je dispose des informations du tableau :

MeubleDimensions (au sol)

LitRectangle : L = 2 m ; ℓ = 1,5 m

Table de chevetCarré : c = 0,5 m

BureauRectangle : L = 1,5 m ; ℓ = 1 m

ArmoireRectangle : L = 1,5 m ; ℓ = 0,5 m

1 Faire une figure à l'échelle 2 : 1 sur papier quadrillé.

2 Je me donne les contraintes suivantes :

➢Les deux chevets sont positionnés de part et d'autre du lit. ➢Les bureau est sous une fenêtre. ➢Chaque meuble est contre un mur. ➢Je veux pouvoir passer entre le lit, le bureau et l'armoire.

Positionner les meubles sur le plan

Problème 5 (Défi).

Dans chacun des cas, quelle est

la fraction de l'aire coloriée ?

Le quadrillage est formé de

carrés de 1 cm de côté. 11/14

Séance 4 : Formules.

Activité 4 (De la nécessité des formules).

Sur une feuille blanche, sans quadrillage :

1(a) tracer un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm.

1(b) déterminer son aire, en cm

2

2 tracer un rectangle de longueur 7,5 cm et 6,3 cm et déterminer son aire.

3 Comment trouver l'aire d'un rectangle, de manière générale ?

Exercice 21 (Deux polygones).

Parmi ces deux polygones, lequel a l'aire la plus élevée ?

Exercice 22 (Figures tronquées).

1 Calculer l'aire de la zone verte : le rectangle GUIT tronqué du carré SERA.

2 Calculer l'aire du secteur orange, sachant que le carré a pour côté 4,5 cm.

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Exercice 23 (Avec une construction).

On effectuera la figure sur une feuille blanche, sans quadrillage.

1 Construire un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 3 cm.

2 Colorier (a) en bleu

1 4 puis (b) en vert 2 3 et (c) en rouge 7 12 enfin (d) en jaune 5 24
de sa surface.

3 Exprimer ces aires coloriées en cm

2

Exercice 24 (Pochoir).

On cherche à calculer l'aire du motif.

1 Observation.

(a) Identifier les polygones qui composent ce pochoir.

2 Construction. On se munira d'une feuille blanche.

(b) Construire un triangle équilatéral ABC de côté 7 cm.

Le point A sera " pointé vers le haut ».

(c) Placer le point D sur le segment [BC] tel que BD = 2,5 cm. Placer le point E sur ce même segment vérifiant CE = 2,5 cm. (d) Construire le carré DEFG à partir du segment [DE].

3 Etude de la figure et calcul de l'aire.

(e) Quelle propriété possède cette figure ? (f) Utiliser cette propriété pour calculer l'aire du motif, en utilisant des polygones connus.

Exercice 25 (L'oeil du cyclone).

La partie centrale d'un cyclone, appelée oeil du cyclone, est une zone relativement calme de 50 km de diamètre.

Autour de cet oeil, une couronne circulaire de nuages et de vents violents, pouvant atteindre les 250 km/h,

s'étend sur une épaisseur de plus de 300 km.

1 Représenter le cyclone, à l'échelle 1 / 2 500 000, à l'aide de deux cercles concentriques.

2 Calculer l'aire du disque formant l'oeil du cyclone.

3 En déduire l'aire de la couronne du cyclone.

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Problème 6 (Le plan d'une maison).

Le dessin ci-dessous représente un plan de la maison de Diphile.

1 Déterminer l'aire totale de la surface intérieure de la surface habitable.

2 La salle de séjour s'ouvre sur une terrasse ayant la forme d'un disque tronqué.

(a) calculer l'aire de la terrasse (b) Pour paver la terrasse, on a utilisé des carreaux de céramique de 50 cm de côté. Combien faut-il utiliser de carreaux pour paver la terrasse ?

Problème 7 (La Math'Arena).

Voici un projet de stade d'athlétisme proposé par la ville.

À l'aide de l'illustration :

1 Calculer la surface de pelouse.

2 Calculer la surface réservée aux gradins.

3 Pour construire ce stade, la mairie

possède un terrain libre de 10 ha.

Sera-t-il suffisant pour la construction de ce

stade ? 14/14quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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