Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Interpolation polynomiale. Exercice 1. a) Montrer que le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux points distincts. (xi)1 i n.
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Département de mathématiques. 2019-2020. L2 Maths UE d'Analyse numérique. Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange. Exercice 1.
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Corrigé du TD 1 :Interpolation Polynomiale
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Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale
Corrigé du TD N°4 : Interpolation polynomiale. Exercice 1. ?. ? . On veut démontrer que Exercice 2. 1/ Le polynôme de Lagrange : ?.
43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques
69622Villeurbanne cedex,FranceAnalysenumériqueL3- Automne2015
Séried'exercices n
o 5/6Interpolationpolynomiale
Exercice1.FormuledesDiffér encesDivisées(Un Classique) Noussupposonsque f:[a,b]!Restunefonction n+1foiscontinûmentdif férentiable.La formuledeNe wtonquiconsiste àécrirelepolynômeP n auxpointsx 0 ,...,x n souslaforme P n (x)=a 0 +a 1 (x"x 0 )+...+a n (x"x 0 )...(x"x n!1 permetdeconstruire lepolynôme P nàl'aided'une récurrence.En effet,
P n (x)=P n!1 (x)+a n n!1 k=0 (x"x kAutrementdit,connaissant P
n!1 ,ilsuf fitdecalculer a n pourconnaîtreP n a)Montrerquele polynômed'interpolation deLagrangede lafonctionfauxpointsdistincts (x i 1"i"n estdonnépar P n (x)= n i=0 f[x 0 ,...,x i i!1 k=0 (x"x k oùf[.]désignelesdif férencesdivisées defdéfiniespar f[x i ]=f(x i f[x 0 ,...,x k 1 x k "x 0 (f[x 1 ,...,x i ]"f[x 0 ,...,x i!1 pourtouti=0,...,n.Montrerensuiteque f[x
0 ,...,x n ]estinv ariantparpermutations. b)Montrerqu'ile xiste!#[a,b]telque f[x 0 ,...,x n f (n) n! c)Montrerque |P"n(x)"f(x)|$ M n+1 (n+1)! n (x)|, 1 où M n+1 =max a"x"b |f (n+1) (x)|,et" n (x)= i!1 i=0 (x"x i N.B.:Remarquons bieniciquel'estimationn'est pasforcémentquelque chosedepetit (voirPhé- nomènedeRunge).Application.
Trouverl'interpolationdeLagrangedelafonction x!f(x)=sin("x/2)auxpointsx 0 =0, x 1 =1etx 2 =2.Puisà l'aidedesquestions précédentesétablirune estimationd'erreur. Exercice2.Convergencedel'interpolatiodeLagrange SoitL n lepolynômed'interpolation deLagrangedela fonction
f(x)= 1 x"# ,"1$x$1, auxn+1pointsdistinctsx 0 ,...,x n del'intervalle ["1,1].1.Calculerlesdéri véessuccessi vesdelafonctionf.
2.Montrerques i#>3,etsi lesn+1pointsx
0 ,...,x n sontéquidistants,nous av onsalors lim n#+$ %f"L n =0.3.Considéronstoujours lafonctionf
f(x)= 1 x"# ,"1$x$1, auxn+1pointsdistinctsx 0 ,...,x n équidistantsdel'interv alle["1,1].Dansla pratique nousn'agissonspas dutoutcomm ecequi précède.Nouspréférons utiliserdespolynômes dedegré peuélevésurchaquepetit intervalle[x i ,x i+1 Écrirel'approximationde Lagrangede degré1, f n defsurchaqueinterv alle[x i ,x i+1 i=0,...,n"14.Montrerquesi #&=["1,1],nousa vons
%f"L n c n 2 etdoncque f n convergeuniformémentversflorsquentendvers l'infini.Exercice3.InterpolationP olynomialedeHermite
Soientx
0 ,...,x n ,n+1pointsdistincts del'intervalle[a,b],(a,b#R,aNouscherchonsun polynômeH n dedegré minimaltelque H n (x i )=f(x i )etH n (x i )=f (x i ),i=0,...,n. 2 Nousrappelonsque lesfonctionsde basede l'interpolationdeLagrange, c'estàdire lespolynômes dede gréntelsque l i (x j ij pouri,j=0,...,nsontdonnéspour touti=0,...,npar l i (x)= n j=0 j!=i x"x j x i "x j ,pourtoutx#R.Nousallonsmontrer lerésultatsui vant:
"LepolynômeH n s'écrit H n (x)= n i=0 f(x i )h i (x)+ n i=0 f (x i h i (x) avec h i (x)=(1"2)l i (x i )(x"x i ))l 2 i (x),et h i (x)=(x"x i )l 2 i (x).Deplus,si f#C
2(n+1)
([a,b],R) |f(x)"H n (x)|$ %f (2(n+1)) (2n+2)! n i=0 (x"x i 21.Montrerque pouri,j=0,...,n
h i (x j i,j ,h i (x j )=0, et h i (x j )=0, h i (x j i,j2.Endéduirequ'il existe ununiquepolynôme H
n dedegré 2n+1vérifiantlesconditions requises.3.Endéduire unemajoration del'erreur|f(x)"H
n (x)|.Exercice4.Moindrecarrésdiscrets
Nousrappelonstout d'abordlethéorème delaprojection surunsous-espace vectoriel : "SoientFunsous-espace vectorieldeR n+1 ety#R n+1 .Alors ilexisteununiquev #Ftelque %v "y%=min v'F %v"y%.Deplus,v
estlapr ojectionorthogonale deysurl'espaceF:v =P F yesttelleque (v "y,v)=0,v#F."Objectifde l'exercice :soient%
1 (x)=1et% 2 (x)=xet% 3 (x)=x 2 .Nousr echerchonsle polynômedede gré2quiapprochele mieuxlenuage depoints(x i ,y i 1"i"4 suivant: ("1,1),(0,0),(1,1),(2,2).Autrementdit,nous souhaitonstrouver %
#V:=vect(% 1 2 3 )telleque 3 4 i=1 (x i )"y i 2 =min !'V 4 i=1 (x i )"y i 21.Tracerlenuagede points.
2.Écrirelepo lynôme%(x)=
3 j=1 u j j (x)etexpliciter leproblèmesouslaforme: "trouverv #Fsolutionde %v "y%=min v'F %v"y%,oùy=(y 1 ,...,y 4 T ,etF={v#R 4 ,v=Bu,u#R 33.Montrerquec eproblèmeadmet unesolutionuniquev
#F.4.Montrerques iv
#Festsolution,alors ilexiste ununiqueu #R 3 solutionde B T Bu=B T Y.5.Montrerque Bestderang 3.Endéduire alorsque B
TBestdéfiniepositi ve.
6.Expliciterlasolutionduproblème.
Exercice5.PolynômedeChebyche v
Soitn#N,nousdéfinissons lepolynômede Chebychevde premièreespècepar T n (x)=cos(narccos(x)),x#["1,1].1.Montrerquele sfonctionsT
n satisfontlaformule derécurrence T 0 (x)=1,T 1quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] exercices corrigés de chimie générale pdf
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