[PDF] 5G3 – Mécanique Exercices de chute libre et

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Athénée royal Jules Delot, CineyMécanique" Toutes les choses sont placées dans le temps comme un ordre de succession et dans l'espacecomme une ordre de situation. »

Issac Newton" ...Faites avancer le bateau à l'allure qui vous palira, pour autant que la vitesse soit uniformeet ne fluctue pas de part et d'autre. Vous ne verrez pas le moindre changement dans aucun deseffets mentionnés et même aucun d'eux ne vous permettra de dire si le bateau est enmouvement ou à l'arrêt... »

GaliléeDialogue convernant des deux plus grands systèmes du monde." Une théorie est bonne lorsqu'elle est belle. »

Henri Poincarré.Physique 5ème Générale3h/semaineIr Jacques COLLOT1

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MECANIQUE1. Rappels de mécanique Le mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite.Repère1.1 MRU Le mouvement est uniforme si sa vitesse est constante.Le déplacement - odxx=La vitesse moyenne

dVt= est constanteen km/h ou m/sLa vitesse est obtenue en calculant la pente du graphe

()xft=1.2 MRUV L'accélération est définie comme la variation par unité de temps du vecteur vitesse V

- oVVVatt D==Dest constanteen m/s²L'accélération est obtenue en calculant la pente du graphe ()vft=MRUA ® a positive, MRUD ® a négativeFormules du MRUV o o a.t²d = V.t + 2

V = V + a.t

Distance parcourue

Vitesse 1.3 Chute libre (sans frottements)Un corps en chute libre est en MRUA avec une accélération a = g

= 10 m/s² 2 g . t²h =

V = g . t2Point deréférence ouoriginePosition initialeen t = 0Vitesse V0Position après t secondesde mouvementVitesse V0xoxAXE X

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1.4 Corps lancé vers le basUn corps lancé vers le bas est également en chute libre maisavec une vitesse initiale V0.0

0 2 g . t²h = V t +

V = V + g . t1.5 Corps lancé vers le haut Un corps lancé vers le haut est en MRUD avec une accélération g = -9.81 m/s².

En chute libre, la direction de l'accélération est toujours strictementverticale et orientée vers le bas. Si un objet est jeté vers le hautverticalement, il restera sur une trajectoire verticale. En montant,l'objet sent une accélération négative, a = - g. Sa vitesse diminuerajusqu'à l'arrêt momentané au sommet de sa trajectoire. La descente estla même que pour un objet lâché du sommet: il subit l'accélération a =

+ g à partir de v0 = 0.

1.6 Lois de Newton1ere loi : principe d'inertie

Un objet ne subissant aucune force (résultante des forces égale à zéro)se déplace en MRU. Autrement dit, si la résultante des forces appliquées à un corps est nulle alors la vitesse de cecorps ne change pas. En particulier, s'il est immobile, il reste immobile.

2eme loi : loi fondamentale de la dynamiqueSi la résultante S F des forces agissant sur un corps de masse m est constante, alors le corpsvoit sa vitesse changer. Il est alors accéléré et son mouvement est un MRUV avec uneaccélération a qui est telle que :

uuuuruuurΣF=m.a1.7 Travail - puissance - énergieTravail d'une force ..cosWFd=aen joulePuissance

WPt=en WattEnergiepotentielle

PEmgh=en jouleCinétique

21

2CEmv=en jouleMécanique

PCEEE=+en joule3

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2. Les grandeurs instantanées2.1 La vitesse instantanéeNous connaissons déjà la notion de vitesse instantanée comme étant la vitesse du mobile à uninstant précis V(t).2.1.1 Cas d'un mouvement uniformeNous savons que pour un MRU, le graphe de la position en fonction du temps ()xft= estune droite oblique.La vitesse instantanée est constante et elle peut se déterminer en calculant la pente du graphe

()xft=4La pente = xVt DD=DL'analyse rapide de la pentenous indique que le mobile1 va plus vite que le 2

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2.1.2 Cas d'un mouvement non uniforme ou variéLa vitesse d'un mobile varie dans laplupart des mouvements quotidiens. Elle peut augmenter, diminuer et mêmechanger de signe. La vitesse peutchanger à tout instant.La vitesse est une fonction du temps etle graphe x =f(t) n'est plus une droiteNous devons donc être capables dedéterminer la vitesse du mobile à uninstant t quelconque du mouvement Pour calculer la vitesse instantanée v(t) àl'instant t, l'idée consiste à déterminer la vitessemoyenne pendant un intervalle de temps [t, t+Dt]

et de prendre des Dt de plus en plus petits.De cette façon, la vitesse moyenne calculée estd'autant plus proche de la vitesse à l'instant tque Dt est petit.Pour comprendre ce principe analysons un graphe()xft= quelconquePartons du calcul de la vitesse moyenne entre les instants

et m

XtttVt

D+D®=D

Considérons des Dt de plus en plus petits, la vitessemoyenne ainsi calculée va tendre vers une valeur quiindiquera la valeur de la vitesse au temps t donc V(t)

On écrira

()xVtt

D=Dquand Dt devienttrès petitLes mathématiciens utilisent le symbole suivant pourexprimer cette idée :

()0 limt xVttD®

D=DLe segment de droite qui joint les extrémités del'intervalle finit par se confondre avec la tangente à lafonction au point où nous désirons connaître la vitesse soit

()Vt.

Or la pente d'une telle droite dans un graphique x = f(t) nous donne la vitesse du mobile àl'instant considéré.Pour déterminer la vitesse V(t) à l'instant t, on trace la tangente à la courbe x : f(t) àl'instant t. On détermine ensuite cette tangente.V((t) Þ pente de la tangente à la courbe x(t) à l'instant t5

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2.2 Accélération instantanéeL'accélération instantanée représente l'accélération du mobile à un instant précis a(t).2.2.1 Cas du mouvement uniformément variéNous savons que pour un MRUV, le graphe de la vitesse en fonction du temps ()Vft=estune droite oblique.L'accélération instantanée est constante et elle peut se déterminer en calculant la pente dugraphe

()Vft=

6La penteDV / Dt de cesgraphes donnela valeur del'accélération adu mobile

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2.2.1 Cas du mouvement non uniformément variéEn pratique, les mouvements des corps sont tels que la vitesse varie (augmente ou diminue)mais d'une manière non uniforme. L'accélération qui endécoule n'est alors plus constante et elle évolue à chaqueinstant.Voici le graphe ()Vft= d'une voiture qui démarre.On se propose alors de déterminer l'accélération à chaqueinstant soit

()at.

Le principe est le même que pour le calcul de la vitesse instantanée sinon que l'on travaille surun graphe

()Vft=En fait, pour calculer

()at, nous utilisons l'accélération moyenne pendant un intervalle detemps [t, t+Dt]. Ensuite, on fait tendre Dt vers 0. De sorte que cette accélération moyenne vareprésenter l'accélération à l'instant t si Dt est petit.Par un raisonnement identique à celui fait pour la vitesse instantanée, l'accélérationinstantanée a (t) = pente de la tangente à la courbe dans le graphique V(t) à l'instant t3. Les grandeurs vectorielles3.1 Vecteur positionLe système de référence doit dans le cas d'un mouvement plan comporter deux axes que nouschoisirons orthogonaux et munis de la même unité (de longueur).On les note X et YLe vecteur position est un vecteur dont l'origine est l'origine O du système d'axes et dontl'extrémité est le point matériel. Il caractérise la position du point P parrapport à l'origine du repère.Le vecteur position a deux composantes:

() {(), ()}rtxtyt=rLa valeur ou la grandeur de ()rt® est donnéepar : ()[][]22()()rtxtyt=+70 Y P(t) y(t) rt® X x(t)

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3.2 Vecteur déplacementConsidérons l'intervalle de temps [t1, t2]

Regardons uniquement la position à l'instant t1 et laposition à l'instant t2. Le corps a effectué un déplacementreprésenté par un vecteur d® qui a 2 composantes{ , }dxdyLe déplacement

d®est le vecteur 12()()PtPtuuuuuuuuuur dont les 4caractéristiques sont :

·une origine:

()1Pt·une direction: celle qui comprend les points ()()12et PtPt un sens: de ()()12vers PtPt·une valeur: d

Le vecteur déplacement

duur entre deux positions (ou deuxinstants) indique le changement global de position du mobile, sanstenir compte de la trajectoire suivie entre ces deux positions.3.3 Vecteur Vitesse En physique, la vitesse est une grandeur vectorielle notée

vt® () etdéfinie par : ()00 limlimmoyenne tt dvtvt

D®D®

==D urr

Considérons l'intervalle de temps [t, t+ Dt].

Remarque sur la direction de

vt®

()Lorsque l'on fait tendre Dt vers 0, la direction du vecteurdéplacement d® tend vers la direction de la tangente à latrajectoire au point P(t). Le vecteur vitesse V(t) est donc un vecteur tangent à la trajectoire Les composantes de la vitesse instantanée

()vtrsont données par ()(),xyvtvt

La grandeur

²²xyvvv=+Sa seule composante

t txttx t dtvt x txD -D+=D=®D®D )()(limlim)(00

Si nous faisons tendre Dt vers 0, x(t+Dt)-x(t) tend également vers 0, mais le rapport vatendre vers la dérivée de x(t) que nous noterons

xt. ()(voir cours de math. 5G sur les dérivées)

Le vecteur vitesse instantanée s'écrit :

()()vtrt =8 Y P(t) vt®

P(t+Dt)

X

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3.4 Accélération instantanéeL'accélération instantanée )(taest également un vecteurdéfinit par :

)(ta = limDt®0 moyennea® = limDt®0 v t D D uuret possédant deux composantes et xyaaDe sorte que sa norme se calcule par ²²aaxay=+Dans le cas d'un mouvement rectiligne, l'accélération aune seule composante: 00 ()()()limlimxxx xtt vvttvtatttD®D® +D-==DD

Si nous faisons tendre Dt vers 0, vx(t+Dt)-vx(t) tendégalement vers 0, mais le rapport va tendre vers ladérivée de vx(t) que nous noterons : ()xvt·

Le vecteur accélération instantanée s'écrit : x()()atvt =(voir cours de math. 5G sur les dérivées) 9

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3.4.1Accélérations normale et tangentielle- Lorsque seule la valeur de la vitesse change, alors l'accélération est tangente à latrajectoire. (Voir mouvements rectilignes).- Lorsque seule la direction de la vitesse change, alors l'accélération est normale à latrajectoire. (Voir mouvement circulaire)3.4.1.1 Illustration : Le mouvement circulaire uniforme ( MCU )Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse est constante ()()vttvtv+D==Le vecteur vitesse change par le fait que sa direction varie au cours du temps. On dit qu'il ya une accélération mais on va voir qu'elle n'est plus // au vecteur

vr mais elle lui estperpendiculaire Sur une circonférence de centre O, et de rayon R, ()Pt(correspondant au vecteur ()rtr) et ()Ptt+D (correspondant au vecteur ()rtt+Dr) sont deux positions du mobile au temps t et t + Δt. Pour simplifier l'écriture, appelons M la position

()Pt et M' la position ()Ptt+DPendant le temps Dt, le mobile parcourt un arc de cercle Ds, correspondant à une distance Dc =MM' (corde). Au point M, portons le vecteur vitesse

()vtr et en M', portons le vecteur

()vtt+Dr. Ces deux vecteurs sont de même grandeur mais de direction différente. Il y adonc une variation de la vitesse. Reportons maintenant en M, le vecteur

()vtt+Dr. Lavariation de la vitesse pendant l'intervalle de temps [],ttt+D est ()()vvttvtAB®® D=+D-=ruuuret donc l'accélération moyenne est moyenne vABatt

®D==DD

ruuur.

Les angles

··' et MOMBMA sont égaux car ce sont des angles côtés perpendiculaires. Lestriangles OMM' et OAB sont donc des triangles isocèles semblables :

'OMMMRccABvvMAABvvR

DD®=®=®=D=DLorsque Dt tend vers 0, l'accélération moyenne tend vers l'accélération instantanée et la cordetend vers l'arc de cercle. Ce que l'on écrit :

0' moyenneaatcMMs rr ruuuuurrOn a alors : 2

0000limlim.limlim car tttt

vvcvcvsvsavtRtRtRtRtD®D®D®D® DDDDD======DDDDDNotons de plus que MB étant perpendiculaire à OM', on a ··''2OMMMMBp+=, mais commeles angles OM'M et ABM sont égaux :

··'2ABMMMBp+=. Autrement dit, ABc^Duuurr.

On en conclut que quand Dt®0,

et donc vaDrr seront perpendiculaires à sDr, c'est-à-direégalement à ()vtr 10

5G3 - Mécanique - Page 11 de 64Y

X ()vtuuur ()Pt ()rtuuur O cD sD Y X O cD sD M' M A

BLa direction du vecteur accélération instantanée est donc normale à latrajectoire et son sens le dirige vers le centre de la circonférence et sagrandeur vaut :

2vaR=D'une manière générale,

()at® possède pour une trajectoire courbe, 2 composantes- une composante tangentielle ()tat®

à la vitesse qui fait varier la valeur de la vitesse- une composante normale ()nat® à la vitesse qui fait varier la direction de la vitesse.

P(t) vt®

att atn () P(t+Dt) at® () vtt® +()D

()()()nttttaaa=+uuruuruuur4. Les mouvements rectilignesLes notions vectorielles de position, de déplacement, de vitesse et d'accélération définies pourdes mouvements paraboliques (2 dimensions) sont évidemment applicables aux mouvementsrectilignes (1 dimension).Nous ne les développerons donc pas. Toutefois, il est intéressant de reprendre les notionsvectorielles de l'accélération et de la vitesse afin de mettre en évidence l'importance del'orientation de l'axe de référence ainsi que l'orientation des vecteurs.

Voici quelques exemples de MRUVRappelons que dans ce cas t tVtVaD -=)1()2(r11

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Le sens de ar est celui de la différence ()1()2(tVtV-)

Pour une question de clarté, dans les dessins suivants, les vecteurs vitesse et accélération n'ontpas comme origine la position du mobile à l'instant considéré.Mouvement accéléré.

L'accélération et la vitesse ontle même sens : ax et vx ont lemême signe.

O P(t1) P(t2)

X

1()vt®

a®

2()vt®

Mouvement décéléré.

L'accélération et la vitesse sontde sens contraires : ax et vx sont de signes contraires.

O P(t1) P(t2)

X

1()vt®

a®

2()vt®

Mouvement accéléré.

L'accélération et la vitesse ontle même sens : ax et vx ont lemême signe.

O P(t2) P(t1)

X

2()vt®

a®

1()vt®

Mouvement décéléré. L'accélération et la vitesse sontde sens contraires : ax et vx sontde signes contraires.

O P(t2) P(t1)

X

2()vt®

a®

1()vt®

Conclusion

Le mouvement est :

MRUA ssi le produita .V est positifMRUDssi le produita . V est négatifCas des corps lancés vers le haut ou vers le basL'étude de tels mouvements peut se faire suivant un axe vertical orienté vers le haut ou vers lebas. Bien que les équations de départ soient différentes, le résultat final de l'étude duproblème ne dépend absolument pas de l'orientation de l'axe vertical. Equations

2 0 2oo gtyyvt vvgt =+12

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Corps lancé vers le haut13

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Lecture14

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5. Les mouvements paraboliques : trajectoire3.5 Exemples de mouvements paraboliques3.5.1 Corps lancé horizontalementCe mouvement est la combinaison d'unMRU suivant X et d'un MRUA vers lebas suivant YEn effet, il n'agit aucune forcehorizontalement. En vertu du principed'inertie, le mouvement horizontal estdonc un MRUVerticalement, la force de la pesanteuragit. En vertu de la deuxième loi deNewton, le mouvement vertical est doncun MRUA

Exemple15

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3.5.2 Corps lancé vers le haut avec une inclinaison a

Il apparaît que le mouvement suivant l'axe X et lemouvement suivant l'axe Y sont complètement indépendantsl'un de l'autre.Le mouvement parabolique (corps lancé vers le haut avec uneinclinaison par rapport à l'horizontal) est la composition de 2mouvements rectilignes Le corps est lancé avec une vitesse initiale 0vuur qui fait un anglea avec l'axe X

La vitesse étant un vecteur, on peut le décomposer en deux composantes : 00 00

Une // à l'axe X : . cos

Une // à l'axe Y : . sin

x y vv vv =a =aL'étude du corps lancé avec un angle a se ramène alors à l'étude :

Suivant X d'un MRU avec une vitesse 00cosxvv=aSuivant Y d'un corps lancé vers le haut avec une vitesse

00sinyvv=aChaque mouvement obéit à ses propres équations et ce dans la direction suivant laquelle ilse produit.16

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Etude de la trajectoire La trajectoire de l'objet est une courbe. Comment déterminer l'équation de cettetrajectoire ?

Prendre les équations de x = f(t) et y = f(t)et les combiner pour éliminer t.Comme le temps est le même pour les 2équations, celles-ci décrivent lemouvement d'un seul corps et non celui dedeux corps différents. (Voir exercices)Exemple 117

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Exemple 218

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Remarque : Dans la réalité, la résistance de l'air est loin d'être négligeable surtout pour desvitesses élevées. La portée réelle est alors nettement plus courte et le maximum est atteintpour un angle proche de 35°. 6 Exercices de mécanique6.1. Exercices résolus1. Un train effectue normalement un trajet entre une ville A et une ville B en 4 heures (pourrespecter son horaire).Un incident à mi-parcours provoque l'arrêt du convoi durant 5 minutes. Pour arriver à l'heurenormalement prévue à l'horaire, le conducteur doit augmenter la vitesse du train de 10 km/h

pour le reste du trajet.Déterminer la longueur totale d du trajet et la vitesse v normalement prévue à l'horaire, si onsuppose pour chaque cas que le train circule à vitesse constante sans s'arrêter et que l'on netient pas compte, pour le calcul, des phases d'accélération ni de freinage du convoi..SuggestionsSoit v2 la vitesse du train pendant la deuxième partie du trajetSoit t1 le temps de la première partie du trajetSoit t2 le temps de l'arrêt. Que vaut t2 ?

Soit t3 le temps de la deuxième partie du trajet.1)En temps normal, quelle relation relie v et d ?

2)Que vaut v2 en fonction de v ?

3)Exprimer t1 en fonction de d et v

4)Exprimer t3 en fonction de d et v2

5)Que vaut t1 + t2 + t3 ?

6)Vous pouvez conclure2

11 3

Solution

1)En temps normal : 44

2) La vitesse pendant la deuxième moitié est : 10

3) est le temps pour faire la première moitié du trajet : .2

4) est le temps pour faire la deuxième

ddvv vv dttv t ()23 2 moitié à la vitesse :2210 ddvtvv==+19

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2 123
123

15)Le temps total doit être égal à 4h. L'arrêt étant égal à 5 min ou 12

4

16)On remplace , et 4212210

12223Or : 4242423230230/12101012

et 44230 th ttt ddtttvv vvdvvvvkmhvv dv

==´=920km2. Quatre personnes sont réunies en un point O. A l'instant t = 0, A se met en route vers leNord à la vitesse de 1 m/s, B vers l'Ouest à la vitesse de 1.2 m/s, C vers le Sud à la vitesse de0.8 m/s et D vers l'Est à la vitesse de 1.4 m/s.a)Faire un dessin de la situation.b)Calculer la vitesse relative de B, C et D par rapport à A. On détermineraa.La grandeur de la vitesse (Module)b.La direction et le sens de la vitesse, c'est-à-dire l'angle entre la direction de lavitesse et la direction Sud-Nordc)Après combien de temps, A et B seront-ils éloignés de 100 m ?

Pour la vitesse relative de B par rapport à A, il faut considérer Av-uur. En effet, B s'éloigne deA. De même, pour C et D 2222

Solution

Représentons par le module de la vitesse de par rapport à : et ont des directions perpendiculaires. On applique Pythagore

1.211.562/

De même :

BA AB BAAB vBA vv vvvms=+=+= uuur uuruur uuuruuruur 2222

1.411.72/

et ont même direction mais sont de sens contraire10.81.8/ DAAD

ACCAAC

vvvms vvvvvms uuuruuruur uuruuruuuruuruur Considérons le sens trigonométrique comme sens positif Par rapport à la direction Ouest Est, est orienté d'un angle

1tan39.81.2

BA A BABA B v v v -a==-®a=-° uuur uur uur20

5G3 - Mécanique - Page 21 de 64|

Par rapport à la direction Sud Nord: 39.890129.8

1De même : tan35.51.4

Par rapport à la direction Sud Nord: 35.590125,5

Enfin, et seront éloignés de 100 a

BA A BABA D BA v v ABm a=--=-° -a==®a=°- a=°+=° uur uur

100près 641.562BAts==3. Un bateau traverse un fleuve de 400 m de large. Il doit rejoindre un point B situé à 1000 mplus bas sur l'autre rive. Le courant du fleuve est de 2 m/s et le bateau navigue à la vitesse de5 m/s.

Quel est le cap (c'est-à-dire l'angle avec la ligne perpendiculaire aux rives) que le capitainedoit suivre pour assurer le parcours le plus court. Quel sera le temps de parcours.Mêmes questions pour le voyage de retour.Solution

Il s'agit d'un problème de composition de vitesse.Soit fvr la vitesse du fleuve avec fvr=2 m/s.Soit

bvr la vitesse du bateau avec bvr=5 m/s.ALLERLe bateau doit naviguer selon la direction AB qui fait un angleégal à

1000arctan68.2400=° avec la ligne AA'. Par conséquentl'angle entre

fvr et AB est de 21.8°.Le vecteur fbvvv=+rrr doit être orienté selon AB.

Résolvons le triangle ANP :

222
22
222

2...cos21,8

2...cos21.8

522.2..cos21.83.714.210

bff

NPANAPANAP

vvvvv vvvv rrrrr

rrrrCette équation a pour solutions -3.087 m/s (A rejeter car négative) et 6.801 m/s. Cecireprésente donc la vitesse réelle du bateau.L'angle b s'obtient par :

2226.80152cos0.98898.5526.80152..

bf b vvv vv +-+-b===®b=°´´ rrr rrLe cap cherché est alors a = 68.2 - 8.55= 59.65°On obtient le temps de traversée Soit par largeur du fleuve'4000158composante horizontale de la vitesse du bateau50.cos59.65.cosb

AAtsv====ar21

fvuuur bvuuur vuuur A N P a b A' B 400 m

1000 mb

68.2°

21.8°

fvuuur bvuuur vuuur68.2° b a

158.2°

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Ou bien par : 22Longueur 40010001586.801

ABtsv +===rRETOUR On refait le même raisonnement mutatis mutandis 1

2222222Vitesse réelle : 522.2.cos158.23.7742103.06/53.062cos0.9927.13253.0668.27.1375.334003165cos75.33vvvvvmsts=+-®+-=®=+-b==®b=°´´®a=+=°®==rrrrr

4) Une pierre est lâchée du haut d'un puit. Du haut du puit, on entend le bruit de la pierrefrapper le sol 6.5 s plus tard. Sachant que la vitesse du son est de 340 m / s, calculer la hauteurdu puit. Note : le son se déplace à une vitesse constante.Suggestions1)Soit t1 le temps de descente de la pierre. Calculer la hauteur h en fonction de t1

2)Soit t2 le temps de remontée du son. Calculer la hauteur h en fonction de t2

3)Que pouvez-vous dire au sujet de la somme de t1 et t2 ? Exprimer par exemple t1 enfonction t2

4)Vous pouvez maintenant conclure.

12 2 1 2 1 22
211
2112
2 1

Solution

Soit le temps de chute de la pierre, et le temps mis par le son pour remonter.

9.8123403409.81234026.534002

6.56.5

34034026.5

tt gthtthttt tttt t 12

5.9833409.81

75.3 A rejeter9.81

5.9830.5165175.61tstshm

®=®=®=1 Expression latine signifiant " En changeant ce qui doit être changé »)22

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5) Une personne dans la nacelle d'un ballon situé à 100 m de haut lance uneballe à une vitesse de 20,0 m/s sous 40,0° vers le haut. Quelle est la hauteurmaximale atteinte ? A quelle distance de la verticale passant par le ballontombe-t-elle ? Quelle est la vitesse de la balle au moment de l'impact sur lesol, ainsi que l'angle d'arrivée (par rapport à l'horizontale) ?22

Solution

Vitesse horizontale : coscos4015.32/

Vitesse verticale : sinsin4012.86/

12.86Hauteur atteinte au-dessus du ballon : 8.4322

Hauteur maximale atteinte : 100108

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