Exercices sur le produit scalaire
17 mai 2011 Exercice 11 : Application en physique. Intensité de la résultante. Soit un point O soumis à deux forces. −→. F1 et. −→. F2 qui forme un ...
Le produit scalaire et ses applications - Lycée dAdultes
17 mai 2011 On pourrait choisir comme point de départ chacune d'elle. 1.1 Définition initiale. Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u ...
Applications du produit scalaire. Compléments de trigonométrie
Applications du produit scalaire. Compléments de trigonométrie. Exercice 3. Soit ABC un triangle tel que AB=10 AC=8 et BC=7. 1. Déterminer ses trois angles.
Étude analytique du produit scalaire dans le plan
AB. (b) Déduire la nature de l'ensemble (F). Exercice 4. On considère le cercle (C) dé ni par son équation carté- sienne suivante : x2 + y2 - 2x - 6y +6=0.
Produit scalaire puissance dun point par rapport à un cercle et
2.3 Exercices d'application. Exercice 3 Soit ABC un triangle isocèle en B. Les tangentes en A et B au cercle circonscrit Γ de. ABC se coupent en D. Soit E le
Applications du produit scalaire – Exercices
Application à la géométrie du triangle. 22 On considère un triangle . Calculer ses angles ses côtés manquants et son aire à près. a.
APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE
APPLICATIONS. DU PRODUIT SCALAIRE. I. Calculs d'angles et de longueurs. 1) Calculs d'angles. Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire. Vidéo
Produit scalaire
u 2 v ⋅ 2 u – v . Exercice 7. ABC est un triangle rectangle en A tel que AC=5 et AB=4 et (⃗.
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE. Exercice 1 : on considère le carré de centre et de côté 8. Calculer les produits scalaires suivants : a)
Produit scalaire dans lespace et applications
▷ Calculer un produit scalaire dans le plan en utilisant ses différentes Exercice d'application Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; #» i ...
Exercices sur le produit scalaire
17 mai 2011 scalaire. Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire ... 1) Calculer les produits scalaires suivants : ... Application en physique.
Applications du produit scalaire. Compléments de trigonométrie
Applications du produit scalaire. Compléments de trigonométrie. Exercice 3. Soit ABC un triangle tel que AB=10 AC=8 et BC=7. 1. Déterminer ses trois angles
91 Le produit scalaire 92 et ses applications
Dans la pratique on utilise une mesure ? de l'angle géométrique associé aux vecteurs ??u et ??v . Faire les exercices 1
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE
Corrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE. Exercice 1 : on considère le carré de centre et de côté 8. Calculer les produits scalaires suivants :.
Le produit scalaire et ses applications - Lycée dAdultes
17 mai 2011 On pourrait choisir comme point de départ chacune d'elle. 1.1 Définition initiale. Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u ...
Produit scalaire espaces euclidiens
Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension p sur R (p ? 2). Pour (x1
Produit scalaire dans lespace et applications
Calculer un produit scalaire dans le plan en utilisant ses Exercice d'application Soit ABCDEFGH un cube de côté 1 et I le centre de la face EFGH.
Produit scalaire dans lespace
Notion de produit scalaire dans l'espace. 4. Définition et propriétés. 4. Exercice : Calcul du produit scalaire dans un cube. 5. Règles de calcul.
F2School
7 avr. 2016 ... exercices sur le produit scalaire et ses applications classés ... Si E est un espace vectoriel sur R muni d'un produit scalaire ...
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
22 mai 2014 Exercice 1 : ... 1) f : E ? F est une application linéaire ssi : )x(f)x(f K ... 1) le produit scalaire est une forme bilinéaire :.
Produit scalaire, espaces euclidiens
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1***PourA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R),N(A) =Tr(tAA). Montrer queNest une norme vérifiant de plusN(AB)6
N(A)N(B)pour toutes matrices carréesAetB.Nest-elle associée à un produit scalaire ?c"est-à-dire :8(x;y)2E2;jjx+yjj2+jjxyjj2=2(jjxjj2+jjyjj2). On se propose de démontrer quejj jjest
associée à un produit scalaire. On définit surE2une applicationfpar :8(x;y)2E2;f(x;y) =14 (jjx+yjj2 jjxyjj2). 1. Montrer que pour tout (x;y;z)deE3, on a :f(x+z;y)+f(xz;y) =2f(x;y). 2. Montrer que pour tout (x;y)deE2, on a :f(2x;y) =2f(x;y). 3. Montrer que pour tout (x;y)deE2et tout rationnelr, on a :f(rx;y) =rf(x;y). On admettra que pour tout réellet tout(x;y)deE2on a :f(lx;y) =lf(x;y)( ce résultat provient de la continuité def). 4. Montrer que pour tout (u;v;w)deE3,f(u;w)+f(v;w) =f(u+v;w). 5.Montrer que fest bilinéaire.
6.Montrer que jj jjest une norme euclidienne.
Vect(V1;V2). Déterminer une base orthonormale deFet un système d"équations deF?.0P(t)Q(t)dt. Existe-t-ilAélément deR[X]tel que8P2R[X];PjA=P(0)?
G(x1;:::;xn) = (xijxj)16i;j6n(matrice de GRAM) etg(x1;:::;xn) =det(G(x1;:::;xn))(déterminant de GRAM).
1.Montrer que r g(G(x1;:::;xn)) =rg(x1;:::;xn).
12.Montrer que(x1;:::;xn)estliéesietseulementsig(x1;:::;xn)=0etque(x1;:::;xn)estlibresietseulement
sig(x1;:::;xn)>0. 3. On suppose que (x1;:::;xn)est libre dansE(et doncn6p). On poseF=Vect(x1;:::;xn). Pourx2E, on notepF(x)la projection orthogonale dexsurFpuisdF(x)la distance dexàF(c"est-à-dire d F(x) =jjxpF(x)jj). Montrer quedF(x) =qg(x;x1;:::;xn)g(x1;:::;xn).a^(a^x). Montrer quefest linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image parf.
deR3ainsi que de la symétrie orthogonale par rapport à cette même droite. De manière générale, matrice de la
projection orthogonale sur le vecteur unitaireu= (a;b;c)et de la projection orthogonale sur le plan d"équation
ax+by+cz=0 dans la base canonique orthonormée deR3.AdansBsuivants :
1)A=13
0 @2 1 2 2 2 1 12 21 A2=A=14
0 @3 1p6 1 3p6 p6 p6 2 1 A3=A=19
0 @8 1 4 4 4 7 1 841 A @a b c c a b b c a1 A aveca,betcréels. Montrer queMest la matrice dans la base canonique orthonorméedirecte deR3d"une rotation si et seulement sia,betcsont les solutions d"une équation du typex3x2+k=0
où 06k6427 . En posantk=4sin2j27 , déterminer explicitement les matricesMcorrespondantes ainsi que les axes et les angles des rotations qu"elles représentent. tous vecteursu,vetw. jjx1jj:::jjxnjjen précisant les cas d"égalité. Exercice 12**Montrer queu^vjw^s= (ujw)(vjs)(ujs)(vjw)et(u^v)^(w^s) = [u;v;s]w[u;v;w]s.0(x4axb)2dxsoit minimum (trouver deux démonstrations,
une dans la mentalité du lycée et une dans la mentalité maths sup). unique vecteurxtel que8i2 f1;:::;g;xjei=ai.obtusangle si et seulement si pour tout(i;j)tel quei6=j,xijxj<0. Montrer que l"on a nécessairement
p6n+1.1P2(t)dt=1. Montrer que supfjP(x)j;jxj61g62. Cas d"égalité ?
estq. Montrer que pour toutxdeR3,r(x) = (cosq)x+(sinq)(k^x)+2(x:k)sin2(q2 )k. Application : écrire la matrice dans la base canonique (orthonormée directe deR3) de la rotation autour dek=1p2 (e1+e2)et d"angle q=p30fn(t)dt. Montrer que la suite
u n=In+1I nest définie et croissante.1P(t)Q(t)dt.
1.Montrer que (E;j)est un espace euclidien.
2. Pour pentier naturel compris entre 0 etn, on poseLp= ((X21)p)(p). Montrer queLpjjLpjj06p6nest
l"orthonormalisée de SCHMIDTde la base canonique deE.DéterminerjjLpjj.
Correction del"exer cice1 NPosonsj:(A;B)7!Tr(tAB). Montrons quejest un produit scalaire surMn(R).1ère solution.•jest
symétrique. En effet, pour(A;B)2(Mn(R))2, j(A;B) =Tr(tAB) =Tr(t(tAB)) =Tr(tBA) =j(B;A):•jest bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition. • SiA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R)nf0g, alors
j(A;A) =nå i=1 nå j=1a i;jai;j! i;ja2i;j>0 car au moins un des réels de cette somme est strictement positif.jest donc définie, positive.2ème solution.PosonsA= (ai;j)etB= (bi;j). On a
Tr(tAB) =ånj=1(åni=1ai;jbi;j) =å16i;j6nai;jbi;j.Ainsi,jest le produit scalaire canonique surMn(R)et en particulier,jest un produit scalaire surMn(R).
Nn"est autre que la norme associée au produit scalairej(et en particulier,Nest une norme). Soit(A;B)2
(Mn(R))2.N(AB)2=å
i;j nå k=1a i;kbk;j! 2 6 i;j nå k=1a2i;k! nå l=1b2l;j! (d"après l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZ) i;j;k;la2i;kb2l;j= i;ka2i;k! l;jb2l;j! =N(A)2N(B)2; et donc,8(A;B)2(Mn(R))2;N(AB)6N(A)N(B).Correction del"exer cice2 N1.Soit (x;y;z)2R3.
f(x+z;y)+f(xz;y) =14 (jjx+z+yjj2+jjxz+yjj2jjx+zyjj2jjxzyjj2) 14 2.2 f(x;y) =f(x+x;y)+f(xx;y) =f(2x;y)+f(0;y)maisf(0;y) = (jjyjj2jjyjj2) =0 (définition
d"une norme). 3. • Montrons par récurrence que 8n2N;f(nx;y) =nf(x;y). C"est clair pourn=0 etn=1. Soitn>0. Si l"égalité est vraie pournetn+1 alors d"après 1), f((n+2)x;y)+f(nx;y) =f((n+1)x+x;y)+f((n+1)xx;y) =2f((n+1)x;y); et donc, par hypothèse de récurrence, f((n+2)x;y) =2f((n+1)x;y)f(nx;y) =2(n+1)f(x;y)nf(x;y) = (n+2)f(x;y): 4 Le résultat est démontré par récurrence. • Soitn2N,f(x;y) =fn1n :x;y=nf1n x;yet donc f1n x;y=1n f(x;y). • Soit alorsr=pq ,p2N,q2N,f(rx;y) =1q f(px;y) =p1q f(x;y) =rf(x;y)et donc, pour tout rationnel positifr,f(rx;y) =rf(x;y). Enfin, sir60,f(rx;y)+f(rx;y) =2f(0;y) =0 (d"après 1)) et donc=f(rx;y) =f(rx;y) =rf(x;y).8(x;y)2E2;8r2Q;f(rx;y) =rf(x;y).
4.On pose x=12
(u+v)ety=12 (uv). f(u;w)+f(v;w) =f(x+y;w)+f(xy;w) =2f(x;w) =2f12 (u+v);w =f(u+v;w): 5.f est symétrique (définition d"une norme) et linéaire par rapport à sa première v ariable(d"après 3) et 4)).
Donc f est bilinéaire.
6. f est une forme bilinéaire symétrique. Pour x2E,f(x;x) =14 (jjx+xjj2+jjxxjj2) =14 jj2xjj2=jjxjj2(définition d"une norme) ce qui montre tout à la fois quefest définie positive et donc un produit scalaire,
et quejj jjest la norme associée.jj jjest donc une norme euclidienne.Correction del"exer cice3 NLa famille(V1;V2)est clairement libre et donc une base deF. Son orthonormalisée(e1;e2)est une base
orthonormée deF.jjV1jj=p1+4+1+1=p7 ete1=1p7V1=1p7
(1;2;1;1).(V2je1)=1p7 (0+611)= 4p7 puisV2(V2je1)e1= (0;3;1;1)47 (1;2;1;1) =17 (4;13;11;11)puise2=1p427 (4;13;11;11).Une base orthonormée deFest(e1;e2)oùe1=1p7
(1;2;1;1)ete2=1p427 (4;13;11;11). Soit(x;y;z;t)2 R 4.3y+zt=0:Correction del"exer cice4 NSoitAun éventuel polynôme solution c"est à dire tel que8P2R[X];R1
0P(t)A(t)dt=P(0).
P=1 fournitR1
0A(t)dt=1 et donc nécessairementA6=0.P=XAfournitR1
0tA2(t)dt=P(0)=0. Mais alors,
8t2[0;1];tA2(t) =0 (fonction continue positive d"intégrale nulle) puisA=0 (polynôme ayant une infinité de
racines deux à deux distinctes).An"existe pas.Correction del"exer cice5 N1.Soit Bune base orthonormée deEetM=MatB(x1;:::;xn)(Mest une matrice de format(p;n)). Puisque
Best orthonormée, le produit scalaire usuel des colonnesCietCjest encorexijxj. Donc,8(i;j)2 [[1;n]]2;tCiCj=xijxjou encoreG=tMM.Il s"agit alors de montrer que rg(M) =rg(tMM). Ceci provient du fait queMettMMont même noyau.
En effet, pourX2Mn;1(R),
X2KerM)MX=0)tMMX=0)(tMM)X=0)X2Ker(tMM)
et 5 X2Ker(tMM))tMMX=0)tXtMMX=0)t(MX)MX=0) jjMXjj2=0)MX=0 )X2KerM:Ainsi, Ker(M)=Ker(tMM)=Ker(G(x1;:::;xn)). Maisalors, d"aprèslethéorèmedurang, rg(x1;:::;xn)=
rg(M) =rg(G(x1;:::;xn)).rg(G(x1;:::;xn)) =rg(x1;:::;xn).2.Si la f amille(x1;:::;xn)est liée, rg(G) =rg(x1;:::;xn) (en 1ère ligne, c"est le théorème de PYTHAGOREet dans les suivantes,xpF(x)2F?). Par linéarité par rapport à la première colonne,g(x;x1;:::;xn)est somme de deux déterminants. Le deuxième est g(pF(x);x1;:::;xn)et est nul car la famille(pF(x);x1;:::;xn)est liée. On développe le premier suivant sa vecteurs non nuls colinéaires à leur image. Sixn"est pas colinéaire àa,a^xest un vecteur non nul orthogonal àaet il en est de même def(x) =a^(a^x). Donc, sixest colinéaire àf(x),xest nécessairement orthogonal àa. Réciproquement, sixest un vecteur non nul orthogonal àa,f(x) = (a:x)akak2x=jjajj2xetxest colinéaire àf(x). Les vecteurs non nuls colinéaires à leur image sont les vecteurs non nuls de Vect(a)et dea?.Correction del"exer cice7 NUn vecteur engendrantDest!u= (2;1;3). Pour(x;y;z)2R3, la matrice de la projection orthogonale sur le vecteur unitaire(a;b;c)dans la base canonique orthonormée estBBBB@jjxjj2
xjx1 xjx2... xjxn1 C CCCCA=0
B BBBB@jjxpF(x)+pF(x)jj2
xpF(x)+pF(x)jx1 xpF(x)+pF(x)jx2... xpF(x)+pF(x)jxn1 C CCCCA=0
B BBBB@jjxpF(x)jj2
0jx1 0jx2...
0jxn1 C CCCCA+0
B BBBB@jjpF(x)jj2
p F(x)jx1
p F(x)jx2...
p F(x)jxn1
C CCCCA:
8x2E;d(x;F) =kxpF(x)k=qg(x;x1;:::;xn)g(x1;:::;xn).Correction del"exer cice6 NJe vous laisse vérifier la linéarité. Sixest colinéaire àa,f(x) =0 et les vecteurs de Vect(a)nf0gsont des
OnendéduitqueMat
Bp=P=114
0 @4 2 6 2 1 3 6 3 91
A , puisMatBs=2PI=17 0 @3 2 6 26 3
6 3 21
A . Plusgénéralement,
A et la matrice de la projection orthogonale sur le planax+by+cz=0 dans la base canonique orthonormée estIP=0 @1a2abac ab1b2bc acbc1c21 A .Correction del"exer cice8 N1.kC1k=kC2k=13 p4+4+1=1 etC1jC2=19 (2+42) =0. Enfin, C 1^C2=19
0 @2 2 11 A ^0 @1 2 21
A =19 0 @6 3 61
A =13 0 @2 1 21
A =C3: Donc,A2O+3(R)etfest une rotation (distincte de l"identité).Axe def.SoitX2M3;1(R). AX=X,8
:xy2z=0 2x5yz=0
x+2y5z=0,8 :z=2x5y 3x+9y=0
9x+27y=0,x=3y
z=y: L"axeDdefest Vect(!u)où!u= (3;1;1).Dest dorénavant orienté par!u.Angle def.Le vecteur!v=1p2 (0;1;1)est un vecteur unitaire orthogonal à l"axe. Donc, cosq=!v:f(!v) =1p2 (0;1;1):1p2 13 (1;1;4) =16 5=56 et donc,q=arccos(56 ) (2p). (Si on sait que Tr(A) =2cosq+1, c"est plus court : 2cosq+1=23 23
23
fournit cosq=56 ). Le signe de sinqest le signe de[!i;f(!i);!u] = 1 23
3 023
1 013 1 =13 <0. Donc, fest la rotation d"anglearccos(56quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
[PDF] exercice sur les aires cm2
[PDF] exercice sur les besoins de maslow
[PDF] exercice sur les ecarts controle de gestion
[PDF] exercice sur les enzymes de restriction
[PDF] exercice sur les fonctions tronc commun
[PDF] exercice sur les synonymes ce2
[PDF] exercice sur les synonymes cm1
[PDF] exercice sur oxydoreduction/pile
[PDF] exercice sur pyramide et cone 3eme
[PDF] exercice sur texte et traduction latin
[PDF] exercice sur valeur absolue + correction
[PDF] exercice svt 3eme microbe
[PDF] exercice svt dérive des continents
[PDF] exercice svt seconde sur l'effort physique