[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)





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Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. = 



formulaire.pdf

lim x??? ex = 0 lim x?+? ex = +? lim x?0 ln(x) = ?? lim x?+? ln(x)=+? lim x?0 x ln(x) = 0 lim x?+? ln(x)/x = 0 lim x??? xex = 0 lim.



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0



Des preuves de limites en logarithme - Un doc de Jérôme ONILLON

x 0 lim ln x. +. ?. = ??. Conséquence graphique : l'axe des ordonnées est une asymptote à la courbe représentant ln. La preuve de ce théorème.



Corrigé du TD no 9

ln x. Si x ? 0 alors x ln x ? 0. Donc par composition des limites on a : lim x?0 sin(x ln x) x ln x. = lim y?0 sin y y. = 1. On en déduit que : lim.



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

0;+????? et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes. Propriété : lim x?+? lnx = +? et lim x?0.



Les Développements Limités

dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0)



Développements limités

cosx?. 1+ax2. 1+bx2 soit un o(xn) en 0 avec n maximal. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [004045]. Exercice 12. Calculer l = lim x?+?. (ln(x+1) lnx. ) 



Limites de fonctions

Exercice 5. Calculer : lim x?0 x. 2+sin 1 x. lim x?+?. (ln(1+e x2 lnx. 2. lim x?0+. 2xln(x+. / x). 3. lim x?+? x3 -2x2 +3 xlnx. 4. lim.



FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Lycée Blaise Pascal. TSI 1 année. FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles lnx x. ?????? x?+?. 0 x lnx ?????? x?0+. 0 ln(x).



[PDF] formulairepdf

ex = 0 lim x?+? ex = +? lim x?0 ln(x) = ?? lim x?+? ln(x)=+? lim x?0 x ln(x) = 0 lim x?+? ln(x)/x = 0 lim x??? xex = 0 lim x?+? ex/x = +?



[PDF] Fiche technique sur les limites - Lycée dAdultes

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0 En + ? lim x?+? ln(x) x = 



[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x Démonstration : La fonction ln est continue sur 0;+?????  



[PDF] LOGARITHME NEPERIEN - Pierre Lux

Démontrons que la fonction ln est continue en 1 c'est-à-dire que lim x ? 1 ln x = ln 1 ou aussi lim x ? 1 ln x = 0 Pour tout réel ? > 0 on a :



[PDF] Limites dans la fonction logarithme népérien

Techniques de détermination de limites Rappelons d'abord les deux formules de base : +?= +?? x x lnlim et ??= ? x x lnlim 0 Une valeur utile : ln 



[PDF] Démonstrations limites simples de ln x Propriété +?= x lnlim

0 Démonstration Le principe On utilise la réciprocité de ln x et de e lim xf x +?= ?? )( lim xf x si et seulement si pour x assez grand f(x) 



[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

0 x x x ? + ? = • 1 ln( ) lim 1 1 x x x ? = - 5 Étude des variations de la fonction logarithme népérien a) Le sens de variation



[PDF] Terminale S - Fonction logarithme népérien - Parfenoff org

De plus lim L'image par la fonction exponentielle de ? est ]0 ; +?[ lorsque = 0 on obtient : ( 0) = ln(1) = 0 et 0 ln( ) = 0 donc on a



[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction « ln

logarithme népérien et impose sa limite On a aussi lim x?0 x=0 ln(1 + x) x = 1 ce qui découle du calcul du nombre dérivé en 0 de la fonction ln Pour



[PDF] Vestiges dune terminale S – Des preuves de limites en logarithme

x 0 lim ln x + ? = ?? Conséquence graphique : l'axe des ordonnées est une asymptote à la courbe représentant ln La preuve de ce théorème

  • Quelle est la limite de ln 0 ?

    L'exponentielle n'est jamais nulle, donc le logarithme népérien de zéro n'a pas de sens. Il n'est pas défini.

  • Comment calculer la limite en 0 ?

    On voit que le x peut tendre vers 0 de 2 manières : par valeurs négatives (en venant de la gauche) ou positives (en venant de la droite). On rajoute x > 0 si x tend vers 0 par valeurs positives, et x < 0 si x tend vers 0 par valeurs négatives. Cela revient au même, 0+ signifie x > 0, et 0– signifie x < 0.

  • Est-ce que ln est continue en 0 ?

    Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur 0;+????? . Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+????? et (lnx)' = 1 x .
  • Donc si x > e A , ln ? ce qui est la définition d'une limite infinie en l'infini.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2) I. Etude de la fonction logarithme népérien Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et (lnx)'= 1 x . Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

. Posons f(x)=e lnx . Alors f'(x)=(lnx)'e lnx =x(lnx)' Comme f(x)=x , on a f'(x)=1 . Donc x(lnx)'=1 et donc (lnx)'= 1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle

0;+∞

f(x)= lnx x f'(x)= 1 x

×x-lnx×1

x 2 1-lnx x 2

2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x >0

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 3) Convexité Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x (lnx)''=- 1 x 2 <0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur

0;+∞

et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes Propriété :

lim x→+∞ lnx=+∞ et lim x→0 x>0 lnx=-∞

On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle. 5) Tangentes particulières Rappel : Une équation de la tangente à la courbe

C f au point d'abscisse a est : y=f'(a)x-a +f(a) . Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : y= 1 a x-a +lna . - Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est y= 1 1 x-1 +ln1 soit : y=x-1 . - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est y= 1 e x-e +lne soit : y= 1 e x

. 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 x 0 +∞

ln'(x) lnx

Valeurs particulières :

ln1=0 lne=1

Méthode : Etudier les variations d'une fonction Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y 1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur

0;+∞

par f(x)=3-x+2lnx . 2) Etudier la convexité de la fonction f. 1) Sur

0;+∞

, on a f'(x)=-1+ 2 x 2-x x . Comme x>0 f'(x) est du signe de 2-x . La fonction f est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur

2;+∞

. On dresse le tableau de variations :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4x 0 2 +∞

f'(x) ⎪⎪ + 0 - f(x)

1+2ln2

f(2)=3-2+2ln2=1+2ln2

2) Sur

0;+∞

, on a f''(x)= -1×x-2-x ×1 x 2 -x-2+x x 2 2 x 2 <0 . La fonction f' est donc décroissante sur

0;+∞

. On en déduit que la fonction f est concave sur

0;+∞

. II. Positions relatives Vidéo https://youtu.be/RA4ygCl3ViE Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d'équation

y=x . La droite d'équation y=x

est au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Démonstration : - On considère la fonction f définie sur

par f(x)=e x -x f'(x)=e x -1 f'(x)=0 ⇔e x -1=0 ⇔e x =1 ⇔x=0

On a également

f(0)=e 0 -0=1>0 . On dresse ainsi le tableau de variations : x -∞

0 +∞

f'(x) - 0 + f(x)

1 On en déduit que pour tout x de

, on a f(x)=e x -x>0 soit e x >x - On considère la fonction g définie sur

0;+∞

par g(x)=x-lnx g'(x)=1- 1 x x-1 x . Comme x>0 f'(x) est du signe de x-1 . On a également g(1)=1-ln1=1>0

. On dresse ainsi le tableau de variations : x 0 1 +∞

g'(x) - 0 + g(x)

1 On en déduit que pour tout x de

0;+∞

, on a g(x)=x-lnx>0 soit x>lnx

. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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