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Feuille d"exercices 1

Logique et raisonnement

Eléments de logique

Exercice 1. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont équivalentes?

1.(P?Q)?R.2.P?(Q?R).

3.(PETQ)?R.4.(P?R)ET(Q?R).

Exercice 2. SoientPetQdeux assertions. La proposition(PETQ)?non(P)ETQ est-elle vraie? Exercice 3. SoientP,Q,RetSquatre assertions. Ecrire la négation de(P?Q)? (R?S). Exercice 4. Soientf:R→Rune fonction continue etP,QetRles assertions suivantes :

P:?x?R, f(x) = 0,

Q:?x?R, f(x) = 0,

R:(?x?R, f(x)>0)OU(?x?R, f(x)<0).

Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont exactes?

1.P?Q2.Q?P3.Q?R

4.non(R)?Q5.non(Q)?non(P)6.non(P)?non(R)

Exercice 5. Ecrire les propositions suivantes et leurs négations à l"aide de quantifi- cateurs et dire lesquelles sont vraies. 1. A ucunen tiern"est sup érieurà tous les autres. 2.

Il existe un en tierm ultiplede tous les autres.

3. T outcomplexe p ossèdeau moins une rac inecarré dans C. 4. T ousles réels ne son tpas des quotien tsd"en tiers. 5. Certains réels son tsup érieursà leur carré. 6. Etan tdonné trois réels, il y e na au moins deu xde même signe. Exercice 6. Déterminer toutes les propositions suivantes parmi celle ci-dessous et parmi celles que l"on peut obtenir en permutant l"ordre des quantificateurs.

?x?R?,?y?R?,?z?R?, z=xy.Exercice 7. SoientP,QetRtrois propositions. Démontrer les assertions suivantes.

1.(P?Q)?[(PETR)?(QETR)].

2.P?(non(P)?Q).

3.(POUQ)?[(P?Q)?Q].

Exercice 8. SoitIun intervalle deRetf?F(I,R). Enoncer en français les assertions suivantes et écrire avec des quantificateurs leurs négations.

1.?C?R,?x?I, f(x) =C.

2.?x?I, f(x) = 0?x= 0.

3.?y?R,?x?I, f(x) =y.

4.?(x,y)?I2, x6y?f(x)6f(y).

5.?x?I, f(x)>0?x?= 0.

Exercice 9. SoitIun intervalle deRetf?F(I,R). Ecrire avec des quantificateurs les phrases suivantes puis les nier. 1.

La fonction fs"annule surI.

La fonction fest la fonction nulle surI.

3. La fonction fne prend jamais deux fois la même valeur. 4.

La fonction fadmet un minimum.

5. La fonction fprend des valeurs arbitrairement grandes. Exercice 10. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses et écrire leurs négations.

1.?x?R,?y?R, x+y >0.2.?x?R,?y?R, x+y >0.

3.?x?R,?y?R, x+y >0.4.?x?R,?y?R, y2> x.

Exercice 11. Dans chacun des cas suivants dire si l"assertion est vraie ou fausse et la nier.

1.?n?N,?N?N, n6N. 2.?n?N,?N?N, n6N.

3.?x?R,?y?R, y=f(x). 4.?x?R,?y?R, y=f(x).

Exercice 12. Préciser la validité des énoncés suivants puis les nier.

1.?n?N,?m?N, mdivisen.

2.?m?N,?n?N, mdivisen.

3.?a?R,?ε >0,|a|6ε.

4.?ε >0,?a?R,|a|6ε.

5.?M >0,?n0?N,?n>n0,2n> M.

6.?x?R,?y?R, y < x.

7.?x?R,(x+ 1?= 0OUx+ 2?= 0).

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Méthodes de raisonnements

Exercice 13. Soientaetbdeux réels strictement positifs. 1.

Démon trerque ⎷a+b <⎷a+⎷b.

En déduire que ???⎷a-⎷b

???6?|a-b|. Exercice 14. Démontrer que pour tout(α,β)?R2,

2+αβ+β2= 0?α=β= 0.

Exercice 15. Démontrer que pour tout(x,y)?R2,

xy6x2+y22

Exercice 16. Démontrer que

?(x,y)?R2,|x+y|=|x|+|y| ?xy>0. Exercice 17. Soienta1,...,a9neuf entiers naturels tels quea1+···+a9= 90. Démontrer qu"il existe trois de ces nombres dont la somme est supérieure ou égale à 30.

Exercice 18. Démontrer queln(2)ln(3)

est irrationnel. Exercice 19. Soitxun irrationnel positif. Démontrer que⎷xest irrationnel. Exercice 20. Montrer qu"il n"existe pas de polynômePtel que?x?R,ex=P(x). Exercice 21. Soitn?N. Montrer que sin2-1n"est pas divisible par8alorsnest pair. Exercice 22. Montrer que lorsque qu"un réel peut s"écrire de la formea+b⎷2avec (a,b)?Z, alors l"écriture est unique. Exercice 23. Déterminer toutes les fonctionsf:R→Rimpaires tel quef-IdR soit paire. Exercice 24. Déterminer toutes les applicationsf:N→Rtelles que ?(n,m)?N2, f(n+m) =f(n) +f(m). Exercice 25. Déterminer toutes les applicationsf:R→Rtelles que

?(x,y)?R2, f(x)f(y)-f(xy) =x+y.Exercice 26. Déterminer tous les réelsxstrictement positifs vérifiant l"équation

x (xx)= (xx)x. Exercice 27. Soientsetpdeux réels. Déterminer une condition nécessaire et suffi- sante pour qu"il existe deux réels dont la somme vautset le produit vautp. Exercice 28. On cherche l"ensemble des isométries deRdansR, c"est-à-dire l"en- semble des fonctions deRdansRvérifiant ?(x,y)?R2,|f(y)-f(x)|=|y-x|.

1.Analyse.On définit l"applicationδ:R→Rpar?x?R,δ(x) =f(x)-f(0).

(a) Mon trerque p ourtout (x,y)?R2,δ(y)δ(x) =yx. (b)

En déduire la f ormede f.

2.Synthèse.Conclure.

Exercice 29. Soitq?C, démontrer que pour toutn?N, n k=1q k=?

1-qn+11-qsiq?= 1,

n+ 1sinon. Exercice 30. Démontrer les formules suivantes : 1.?n k=1k=n(n+1)2 2. ?n k=1k2=n(n+1)(2n+1)6 3. ?n k=1k3=n2(n+1)24 Exercice 31. On considère la suite(un)n?Ndéfinie paru0= 0,u1= 1et pour tout n>0,un+2=un+1+ 2un. 1.

Mon trerque p ourtout n?N, un?N.

Mon trerque p ourtout n?Nun=2n-(-1)n3

Exercice 32. Soit(un)n?Nla suite définie paru0= 1et pour toutn?N,un+1= u

0+u1+···+un. Montrer que pour toutn?N,un62n.

Exercice 33. Démontrer que pour toutn?N,

11×2+12×3+···+1n(n+ 1)=nn+ 1.

Exercice 34. On considère la suite définie paru0= 0,u1= 0,u2= 1et pour tout n?N,un+3= 3un+2-3un+1+un. Démontrer que pour toutn?N,un=n(n-1). 2quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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Eléments de logique

1.(P?Q)?R.2.P?(Q?R).

3.(PETQ)?R.4.(P?R)ET(Q?R).

P:?x?R, f(x) = 0,

Q:?x?R, f(x) = 0,

R:(?x?R, f(x)>0)OU(?x?R, f(x)<0).

1.P?Q2.Q?P3.Q?R

4.non(R)?Q5.non(Q)?non(P)6.non(P)?non(R)

Il existe un en tierm ultiplede tous les autres.

1.(P?Q)?[(PETR)?(QETR)].

2.P?(non(P)?Q).

3.(POUQ)?[(P?Q)?Q].

1.?C?R,?x?I, f(x) =C.

2.?x?I, f(x) = 0?x= 0.

3.?y?R,?x?I, f(x) =y.

4.?(x,y)?I2, x6y?f(x)6f(y).

5.?x?I, f(x)>0?x?= 0.

La fonction fs"annule surI.

La fonction fest la fonction nulle surI.

La fonction fadmet un minimum.

1.?x?R,?y?R, x+y >0.2.?x?R,?y?R, x+y >0.

3.?x?R,?y?R, x+y >0.4.?x?R,?y?R, y2> x.

1.?n?N,?N?N, n6N. 2.?n?N,?N?N, n6N.

3.?x?R,?y?R, y=f(x). 4.?x?R,?y?R, y=f(x).

1.?n?N,?m?N, mdivisen.

2.?m?N,?n?N, mdivisen.

3.?a?R,?ε >0,|a|6ε.

4.?ε >0,?a?R,|a|6ε.

5.?M >0,?n0?N,?n>n0,2n> M.

6.?x?R,?y?R, y < x.

7.?x?R,(x+ 1?= 0OUx+ 2?= 0).

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Démon trerque ⎷a+b <⎷a+⎷b.

En déduire que ???⎷a-⎷b

2+αβ+β2= 0?α=β= 0.

Exercice 15. Démontrer que pour tout(x,y)?R2,

Exercice 16. Démontrer que

Exercice 18. Démontrer queln(2)ln(3)

1.Analyse.On définit l"applicationδ:R→Rpar?x?R,δ(x) =f(x)-f(0).

En déduire la f ormede f.

2.Synthèse.Conclure.

1-qn+11-qsiq?= 1,

Mon trerque p ourtout n?N, un?N.

Mon trerque p ourtout n?Nun=2n-(-1)n3

0+u1+···+un. Montrer que pour toutn?N,un62n.

Exercice 33. Démontrer que pour toutn?N,

11×2+12×3+···+1n(n+ 1)=nn+ 1.