livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
fonctions : limite continuité
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
) pour ? 0 et (0) = 0. 1. Montrer que admet un développement limité à l'ordre 2 en 0. 2. La fonction est-elle deux
Limites de fonctions
Ce qui exprime bien que la limite de f en +? est l. Correction de l'exercice 2 ?. Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes de
Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A.1 Limites de fonctions trigonométriques souvent utilisé pour calculer des limites pour des ... Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim.
I Fonctions et domaines de définition II Limites
Il faut savoir calculer une limite en ±? d'une fraction rationnelle (quotient de Méthode pour étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux.
FONCTIONS 1) Limites 1-1 méthodes pour lever une
FONCTIONS. 1) Limites. 1-1 méthodes pour lever une indétermination au voisinage d'un infini. Exemple1 f(x) = x + 1 x2 + 3x + 1. Quelle est la limite en +?
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
faudrait un temps et un espace infini pour calculer TOUTES les décimales de ? ! (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les ...
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 et c'est cette limite que l'on nomme intégrale de f sur I. Pour des fonctions ... Les deux méthodes principales pour calculer intégrales et ...
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Il existe cependant un certain nombre de méthodes qui utilisées judicieusement
Développements limités
Pour illustrer les différentes techniques nous proposons de calculer le développement de la fonction tangente d'ordre 5 par sept méthodes différentes.
[PDF] Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A 1 Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deux gendarmes Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer lim x?0 x2? sin 1
[PDF] Limites et continuité de fonctions
Borne supérieure/inférieure et limite Voisinages dans R 2 Limites d'une fonction 3 Continuité d'une fonction 4 Fonctions trigonométriques réciproques
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8 1 DÉFINITIONS ET IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES calcul d'une limite importante Ce qui exprime bien que la limite de f en +? est l Correction de l'exercice 2 ?
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Limites et dérivées de fonctions trigonométriques Révision fonctions trigonométriques Question 1 Localiser les points correspondants aux angles suivants
Fiche explicative de la leçon : Limites des fonctions trigonométriques
Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à évaluer les limites des fonctions trigonométriques Les limites sont utiles pour nous aider à
[PDF] Trigonométrie circulaire
2) On suppose que x est un réel élément de [? 3? 2 ] tel que tan(x) = 1 3 Calculer cos(x) sin(x) et cotan(x) Solution 1) Puisque x ? [?2
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Cas de certaines fonctions trigonométriques (voir TD) 1 : Ces sommes de Riemann sont utilisées dans la méthode des rectangles pour le calcul approché
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Comme ?x ? R cos(?x) = cosx et sin(?x) = ?sinx la fonction sinus est impaire sur R et la fonction cosinus est paire sur R Pour la représentation
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26 jui 2013 · 3 Étude des fonctions sinus et cosinus 3 2 Application aux calculs de limites Théorème 1 : Équations trigonométriques
Fonctions Trigonométriques: Accueil Limites Forme Indéterminée
Soit la fonction f(x) = sin(5x)/x on vous demande de calculer la limite de f(x) pour x Comment lever une indétermination dans une limite (1/2) ?
Comment calculer les limites des fonctions trigonométriques ?
Limite d'une fonction trigonométrique en utilisant une identité trigonométrique (identité de Pythagore) On calcule la limite en x = 0 de (1 - cos x)/(2sin² x) en réécrivant l'expression gr? à l'identité trigonométrique sin² x + cos² x =1.Quel est la limite de cosinus ?
Limites et inéquations trigonométriques
Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en l'infini.Quel est le maximum et le minimum de la fonction cosinus sur r ?
La valeur maximale est 1 et la valeur minimale est ?1, étant donné que le rayon du cercle trigonométrique est de 1 unité. Ces valeurs surviennent chaque fois que le cercle fait un demi-tour.- Lorsque l'on connaît la valeur d'un cosinus, on peut déterminer la valeur du sinus correspondant sur un intervalle I donné gr? à la formule cos^2\\left(x\\right)+ sin^2\\left(x\\right) = 1.
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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I
2M renf - JtJ 2019 Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriquesA.1 Limites de fonctions trigonométriques
Théorème des deux gendarmes
Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l'une f est "prise en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi : • soit l'intervalle ]b ; c[ contenant a; • soit h(x) f (x) g(x) pour tout x ]b ; c[ \ {a}.Si lim
xa g(x)=lim xa h(x)=L, alors lim xaf(x)=LOn acceptera ce théorème sans preuve
Exercice A6.1 :
Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x 2 +x3 f(x)2x23x+1 .
a) Déterminer lim x2 f(x) b) Qu'en est-il si x 2 +x3f(x)2x2 3x+3 Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un exemple : Exemple : À l'aide du théorème des deux gendarmes, montrer que lim x0 xsin 1 x =0. xyy = f(x) y = g(x) y = h(x) a LII ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019Exercice A6.2 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer lim x0 x 2 sin 1 x 2 Indications : -1 sin(angle) 1, puis constater que x 2 sin 1 x 2 est comprise entre deux paraboles.Exercice A6.3 :
On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. • En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que : sin(x) x tan(x) si 0 < x < /2 • En déduire que : cos(x) sin(x) x 1 • Puis montrer que lim x0 sin(x) x • Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim x0 sin(x) xExercice A6.3 bis :
Que devient le raisonnement précédent si l'angle x est en degré et alors que vaut lim x0° sin(x) xExercice A6.4 :
Sachant que lim
x0 sin(x) x =1, en déduire les limites suivantes : a) lim x0 sin(2x) x b) lim x0 sin(3x) sin(2x) c) lim x0 tan(x) x d) lim xa 2sin xa 2 xaExercice A6.5 :
Calculer, si elles existent, les limites suivantes : a) lim x0 cos(x) x b) lim x0 1cos 2 (x) xtan(x) c) lim x01cos(x)
sin(x) 2Exercice A6.6 :
En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que a) lim x01cos(x)
x=0 b) lim x01cos(x)
x 2 =1 2Exercice A6.7 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer : a) lim x+ sin(x) x b) lim x+ e x sin(x) c) lim x+2x+cos(x)
x+1FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III
2M renf - JtJ 2019 A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques Les règles de dérivation des fonctions trigo : 8ème
règle : Si f(x)=sin(x) ....................... 9ème
règle : Si f(x)=cos(x) ....................... 10ème
règle : Si f(x)=tan(x) ....................... ou .......................Exercice A6.8: Voici la preuve de la 8
ème
règle ci-dessus qu'il s'agit de compléter f (a)=lim xa f(x).......... ..................=lim xa Truc : on utilise la formule de soustraction d'angle (Formulaire page 31) f (a) = lim xa2cos..........
sin.......... xa = lim xa cos..........2sin..........
xa = lim xa cos.......... sin.......... = lim xa cos.......... lim xa sin.......... = cos2a 21=cos(a)
En changeant la variable de a en x, on obtient bien : f (x)=...............Reprendre cette preuve en utilisant la définition équivalente de dérivée vue dans l'annexe du
chapitre 4: f(x)=lim x0 f(x+x)f(x) x Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.IV ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019 A.3 Les fonctions trigonométriques réciproquesIntroduction
(à compléter) Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque ...... d'une fonction f, il faut que celle-ci soit ..............., c'est-à-dire: • que si a b dans l'ensemble de ............ de f, alors f(a)......f(b). • tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints.On peut alors résumer ceci par :
y=f(x) x = .........On a les propriétés suivantes :
(1) l'ensemble de définition de r f = ....................................... (2) l'ensemble image de r f = ....................................... (3) f r f(x) =...... pour tout x ...... (4) r ff(x)()=...... pour tout x ...... (5) les graphes de r f et f sont ............... l'un de l'autre par rapport à la droite d'équation ............ • La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin -1 ), est définie par : x arcsin(x)De même, on peut définir :
• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos -1 ), est définie par : [ -1 ; 1 ] [...... : ......] x arccos(x)FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V
2M renf - JtJ 2019Introduction
(à compléter) • La fonction arctangente, notée arctan (ou tan -1 ), est définie par :IR ]...... : ......[
x arctan(x)Exemple : Déterminer :
sin sin 1 1 2 , cos 1 cos 5 4 et sin 1 sin 2 3 Exercice A6.10 : Déterminer sans calculatrice : a) cos cos 1 1 2 b) sin 1 sin 4 3 c) cos 1 cos 5 6 d) tan 1 tan 7 4VI ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019 A.4 Les dérivées des fonctions réciproques Exercice A6.11 : On considère la fonction f : IR IR définie par f(x)=x 2 +3 et le point P(1 ; f (1)). a) Déterminer r f. b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de r f ainsi que le point P. c) Calculer la dérivée de f et celle de r f. d) Calculer f (1) et r f f(1) (), puis représenter ces valeurs sur le graphique. e) Que constatez-vous ? f) Cette constatation reste-t-elle vraie pour la fonction f définie par: f(x)=x+2 x4 pour x[2,5 ;2,5] et le point P(2 ; f (2)) Dont on propose ci-dessous une représentation graphique : g) En déduire r f (0) x -2-112 y -2 -1 1 2 f r f PFONCTIONS TRIGONOMETRIQUES VII
2M renf - JtJ 2019 Théorème : Dérivée d'une fonction réciproque Si f est dérivable sur un intervalle I et si f ne s'annule pas sur I alors : • f possède une fonction inverse r f dérivable en tout point (f (x) ; x) où x I. r f (x)=1 f r f(x)Justification :
VIII ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019Exemple : Soit la fonction f définie sur IR
par f(x)=x 2 Déterminer la dérivée de sa réciproque r f a) À l'aide de la formule ci-dessus. b) À l'aide du calcul " traditionnel », comparer. Exercice A6.12 : Effectuer la même démarche pour les fonctions f définies par : a) f(x)=x 3 4 et r f(x)=4x 3 b) f(x)=mx (m0) et r f(x)=.......... Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses: 15ème
règle : Si f(x)=sin 1 (x) f (x)=1 1x 2 16ème
règle : Si f(x)=cos 1 (x) f (x)=1 1x 2 17ème
règle : Si f(x)=tan 1 (x) f (x)=1 1+x 2FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES IX
2M renf - JtJ 2019Exercice A6.13: Voici la preuve de la 15
ème
règle ci-dessus qu'il s'agit de compléter :Posons f(x)=sin(x) et ainsi
r f(x)=........... r f (x) 1 =1 cos(..................) 1 1sin 2 =1 Précisons qu'il s'agit de considérer f : [...... ; ......] [... : ...]Exercice A6.14: Démontrer la 16
ème
règle ci-dessus: Exercice A6.15: Dériver les fonctions f suivantes: a) f(x)=sin 12x+1() b) f(x)=cos
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