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Logique ensembles

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TD : Exercices de logique

Exercice 7 Examiner les relations logiques existant entre les assertions Exercice 19 En utilisant un raisonnement par l'absurde démontrer que :.

Logique ensembles

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plus important de l'année car il est à la base de tous les raisonnements pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés.

Feuille dexercices 1 Logique et raisonnement

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Logique

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Feuille dexercices 3 Logique et raisonnement

Semestre d'automne 2016-2017. Fondamentaux des mathématiques 1. Feuille d'exercices 3. Logique et raisonnement. Exercice 1. 1 Vrai-Faux.

Algèbre - Cours de première année

proposons de partir à la découverte des maths de leur logique et de leur beauté. les vidéos correspondant à ce cours

Chap. 1 : Logique et raisonnements : quelques notions.

(avec deux exercices supplémentaires ajoutés le 18/09/2018) La logique comme science du raisonnement

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Math I Alg`ebre - PMI. Feuille d'exercices no 1. Logique et raisonnement. Exercice 1. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. (6 < 25.

Universite Claude Bernard - Lyon 1Semestre d'automne 2012-2013

Math I Algebre - PMIFeuille d'exercices n

o1 Logique et raisonnementExercice 1.Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?

1. (6<254

))(p6<52

2. (2 = 3))(4 est un nombre pair).

3. (2 = 3))(3 = 4).

4.8x2R;((x0))(x1<0)).

5. Pour tout reelx, on ax0 doncx1<0.

Exercice 2.1. SoitP,QetRtrois propositions. Donner la negation des propositions qui suivent. (a) (PetQ) =)R. (b)Pet (non(Q) ouR).

2. Montrer que les propositions qui suivent sont fausses.

(a)8(x;y)2R2;(xy6= 0 etxy) =)1y 1x (b)9x2R; (x0) et (px

26=x) ou ((x+ 1)2> x2+ 1)

Exercice 3.1.Contraposee.Montrer que, pour toutes propositionsPetQ, (P)Q)()(non(Q))non(P)):

2. Montrer que, pour tous reelsxety, (x6=y) =)((x+ 1)(y1)6= (x1)(y+ 1)).

3. Soitnun entier naturel. Montrer que sin2est impair, alorsnest impair.

Exercice 4.1. Montrer latransitivitede l'implication, c'est-a-dire que, pour toutes propositionsP,QetR,

((P)Q) et (Q)R)) =)(P)R):

2. (a) Montrer que, pour tout reelx, (x25x+ 60) =)(2x3).

(b) Montrer que, pour tout reelx, (x25x+ 60) =)((x1)(10x2)0). 1

3. SoitP,QetRtrois propositions. Demontrer que

(P,Q) et (Q,R) et (R,P) equivaut a (P)Q) et (Q)R) et (R)P):

4. Soit (x0;y0)2R2. Montrer que sont equivalents :

(a)8t2R; x20+y20(tx0)2+ (ty0)2; (b)x0y0= 0; (c)8t2R; x0t+y0(t)0. Exercice 5.1.Absurde.Montrer que, pour toutes propositionsPetQ, (P)Q)()non(Pet non(Q)):

2. Montrer que, pour tout reelx,x4+x3+x110)x4+x39<0.

3. SoitP=f2k;k2ZgetI=f2k+ 1;k2Zgles ensembles formes respectivement des entiers

pairs et impairs. Montrer queP \ I=;. Exercice 6.1. Montrer que, pour toutes propositionsP,QetR, (P)(QouR))()((Pet non(Q)))R):

2. Montrer que, pour tout reelx,x3+x2x1>0)(x 1) ou (x4>1.

Exercice 7.1. Soitxetydeux nombres reels. Nier la proposition (x= 2) et ((x+y= 5) ou (y3)):

2. Soitfune fonction deRdansR. Nier

8x2R;8" >0;9 >0;8y2R;((jxyj< ))(jf(x)f(y)j< ")):

3. Soitfune fonction deRdansRet (fn)n2Nune suite de telles fonctions. Nier

8" >0;9N2N;8x2R;8n2N;((nN))(jfn(x)f(x)j< ")):

2 Exercice 8.Completer, lorsque c'est possible, avec8ou9pour obtenir les enonces vrais les plus forts.

1.::: x2R, (x+ 1)2=x2+ 2x+ 1 .

2.::: x2R,x2+ 3x+ 2 = 0.

3.::: x2R, 2x+ 1 = 0.

4.::: x2N,x.

5.::: x2R,x2+ 2x+ 3 = 0.

6.::: x2 ;, 2 = 3.

Exercice 9.Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Lorsqu'elles sont fausses, enoncer

leur negation.

1.9x2N,x2>7.

2.8x2N,x2>7.

3.8x2N,9y2N,y > x2.

4.9y2N,8x2N,y > x2.

5.8(x;y)2Z2, ((xy),(x2y2)).

6.8(x;y)2Z2, ((xyx2))(yx))

Exercice 10.On noteA= [0;1]. Examiner les propositions suivantes. Lorsqu'elles sont vraies, en donner une demonstration; sinon, proposer un contre-exemple.

1.8x2A,8y2A, (x+y)2A.

2.8x2A,9y2A, (x+y)2A.

3.9x2A,8y2A, (x+y)2A.

Exercice 11.NotonsEl'ensemble des etudiants de l'universite Lyon 1,Sl'ensemble des jours de la semaine et, pour tout etudiantx,hj(x) son heure de reveil le jourj. 1. Ecrire avec des symboles mathematiques la proposition :"Tout etudiant de l'universite Lyon 1 se reveille au moins un jour de la semaine avant 8h». 2. Ecrire la negation de cette proposition avec des symboles mathematiques puis l'enoncer en francais. Exercice 12.On considere la proposition :8x2R;9y2R+;8z2R+;((zy))(z2x2)).

L'ecrire en francais puis decider sa veracite.

Exercice 13.Recurrence.

1. Montrer que pour tout entiern4, on an22n.

2. Montrer que pour toute fonctionj:N!Nstrictement croissante et toutn2N, on aj(n)n.

3. Soit (un)n0la suite reelle determinee paru0= 2,u1= 3 et pour toutn2N,un+2= 3un+12un.

Montrer que pour toutn2N,un= 2n+ 1.

4. Soit (un)n0la suite denie paru0= 1 etun+1=u0+u1++unpour toutn0. Donner une

expression deunen fonction den. 3

Exercice 14.

1. Montrer que

p262Q:

2. Calculer

p2 p2 p2

3. Montrer que9x2RnQ; xp2

2Q:

4. Montrer que9(x;y)2(RnQ)2; xy62Q:

Exercice 15.1. Soientxetydeux reels distincts de 1. Montrer que six6=y, alors1x16=1y1.

2. Montrer que l'ensemble des nombres premiers est inni.

3. Montrer que toute fonction deRdansRpeut s'ecrire comme la somme d'une fonction paire et

d'une fonction impaire. Exercice 16.Pythagore reciproque.On admet le theoreme de Pythagore "direct" : SiABCest un triangle rectangle avec l'angle droit enA, alorsjABj2+jACj2=jBCj2:

Prouver la reciproque suivante :

Si dans un triangleABCon ajABj2+jACj2=jBCj2alors le triangleABCest rectangle enA: 4quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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