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Comment calculer la limite d'une fonction trigonométrique ?
Limite d'une fonction trigonométrique en utilisant une identité trigonométrique (identité de Pythagore) On calcule la limite en x = 0 de (1 - cos x)/(2sin² x) en réécrivant l'expression gr? à l'identité trigonométrique sin² x + cos² x =1.Comment faire une fonction trigonométrique ?
L'amplitude d'une fonction trigonométrique a pour formule: A=max?min2. A=max?min2. On appelle déphasage la translation horizontale que subit le graphique d'une fonction sinus, cosinus ou tangente par rapport au graphique de sa fonction de base. Ce déphasage est noté par le paramètre h.Comment calculer la limite d'une tangente ?
En prenant l'inverse des deux côtés, en appliquant la règle des puissances pour les limites, nous obtenons que la limite quand tend vers zéro de divisé par la tangente de est égal à un sur pour toute constante réelle non nulle. Cependant, nous prenons toujours la limite quand tend vers zéro.- Tracer l'axe d'oscillation et des droites horizontales au maximum et au minimum. Placer le point (h,k), puis tracer le rectangle et les points d'inflexion. Déterminer la variation à l'aide de a et de b, puis tracer un premier cycle. Si a et b sont de même signe, la fonction est croissante à partir de (h,k).
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L1Exercices d"Orsay
Table des mati`eres
I SM1 Exercices 4
1 Nombres complexes 4
1.1 Forme cart´esienne, forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 G´eom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Ensembles, r´eels 5
2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 R´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Logique et raisonnements 8
4 Fonctions, limites 9
4.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Continuit´e 10
6 D´erivabilit´e 11
6.1 D´efinition, calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 Th´eor`eme de Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Convexit´e13
7.1 Convexit´e, concavit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3 Fonctions trigonom´etriques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.4 Croissance compar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II SM1 Devoirs 16
8 Devoir : Nombres complexes 16
19 Devoir : In´egalit´es, nombres complexes, r´ecurrence 17
9.1 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.3 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9.4 Probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 Devoir : Fonctions 18
11 Devoir : Limites, continuit´e 19
12 Devoir : D´erivabilit´e 20
13 Devoir : Fonctions r´eciproques 21
14 Examen22
III SM2 Exercices 22
15 Int´egration 22
16´Equations diff´erentielles 24
17 Matrices, syst`emes lin´eaires 25
18 Espaces vectoriels : d´efinition 27
19 Espaces vectoriels : bases, dimension 28
20 Applications lin´eaires 30
21 Int´egrales multiples 32
IV SM2 Devoirs 34
22 Devoir : Int´egration 34
23 Devoir :
´Equations diff´erentielles 34
24 Devoir : Matrices 35
25 Devoir : Int´egration 35
26 Devoir :
´Equations diff´erentielles 36
27 Devoir : Matrices, syst`emes lin´eaires 37
28 Devoir : Espaces vectoriels 37
29 Devoir : Espaces vectoriels 38
30 Interrogation : Espaces vectoriels 38
231 Interrogation : Int´egration, ´equations diff´erentielles 39
32 Interrogation : Espaces vectoriels 39
33 Examen : partiel 39
34 Examen : Juin 2004 40
35 Examen : Septembre 2004 41
V Corrections 43
3Premi`ere partie
SM1 Exercices
1 Nombres complexes
1.1 Forme cart´esienne, forme polaire
Exercice 1Calculer le module des nombres complexes suivants : Z1=-i;Z2= 1 +i;Z3= 2i(3 +i)(1 +i)
Z4=(2 + 3i)(1 + 2i)(-1 +i)(1 +i);Z5=(1 +i)42 +i;Z6=2 +i1-i+2i1 +i
Exercice 2Placer sur le cercle trigonom´etrique les nombres complexes suivants : Z Exercice 3Mettre sous forme trigonom´etrique les nombres complexes suivants :1 +i; 1-i⎷3 ;-⎷3 +i;1 +i⎷3⎷3-i
Exercice 4Mettre sous forme alg´ebrique, c"est-`a-dire sous la formea+ib(a,b?R), les nombres complexes suivants : Z1=3 + 6i3-4i;Z2=?1 +i2-i?
2 +3 + 6i3-4i;Z3=2 + 5i1-i+2-5i1 +i Z 4=? 12 +i⎷3 2 3 ;Z5=(1 +i)9(1-i)71.2 Trigonom´etrie
Le but des exercices suivants est de retrouver les formules usuelles de trigonom´etrie `a partirdes propri´et´es de l"exponentielle complexe. On rappelle les propri´et´es suivantes (x, y?R) :
|eix|= 1 ;ei(x+y)=eixeiy;eix= cosx+isinx.Exercice 51. Montrer que (eiθ)-1=e
iθ=e-iθ(θ?R).2. Etablir les formules d"Euler :
cosθ=eiθ+e-iθ2 et sinθ=eiθ-e-iθ2i. Exercice 61. Calculer sin(x+y), cos(x+y) et tan(x+y) en fonction des sinus, cosinus et tangente dexou dey; en d´eduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y?R).2. Calculer cosxet sinxen fonction de tanx2
pourx?=π+ 2kπ , k?Z.Exercice 7En utilisant les formules d"Euler,
41. exprimer cosacosb, sinasinbet cosasinb`a l"aide de somme de cosinus et/ou sinus,
2. lin´eariser cos
2aet sin2a.
Exercice 8Etablir la formule de Moivre (θ?R,n?N) : (cosθ+isinθ)n= cos(nθ) +isin(nθ).Exercice 9CalculerZ= (1 +i⎷3)
2003.Exercice 10Calculer cos(π/12).D´eveloppercos(x-y)pour de "bonnes" valeurs dexety. Exercice 11R´esoudre dansRles ´equations suivantes et placer les images des solutions sur le cercle trigonom´etrique : sinx=⎷3 2 ; tanx=-1.
Exercice 12R´esoudre dansRl"´equation
cos(5x) = cos?2π3 -x?1.3 G´eom´etrie
Exercice 131. R´esoudre dansCl"´equationz/(z-1) =i. Donner la solution sous forme alg´ebrique.2. SoientM,OetAles points d"affixes respectivesz, 0, 1; on suppose que ces trois points
sont distincts. Interpr´eter g´eom´etriquement le module et un argument dez/(z-1) et retrouver la solution de l"´equation du (1).Exercice 14Trouver les nombres complexesztels que
a)z-1z+ 1?R;b)z-1z+ 1?iR.2 Ensembles, r´eels
2.1 Ensembles
Exercice 15On poseA={(x,y)?R2;y > x2-1}etB={(x,y)?R2;y <1-x2}. Repr´esenter graphiquementA,B,A∩B,A?B,?A,?B,?A??Bet?(A∩B).Tous les compl´ementaires sont pris ici dansR2.Ecrire chacun de ces ensembles sous la forme{(x,y)? R2;...}.
Exercice 16SoientAetBdeux parties d"un ensembleE. Exprimer?(A∩B) et?(A?B) `a l"aide de?Aet?B. Exercice 17Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, ´eventuellement vide, I 1=10? n=1? 1-1n ,2-1n ;I2=10? n=1? 1-1n ,2-1n I3=+∞?
n=1[n,+∞[ ;I4=+∞? n=1? 1n 52.2 R´eels
Exercice 18Mettre sous forme de fractions irr´eductibles les nombres rationnels suivants, donn´es par leurs d´eveloppements d´ecimaux p´eriodiques : x1= 3,14?14...;x2= 0,9?9...;x3= 3,149?9...
Exercice 191. Montrer que pour toutn?1, on a :⎷n+ 1-⎷n=1⎷n+ 1 +⎷n2. Montrer que pour tout entiern?1, on a
2( ⎷n+ 1-⎷n)<1⎷n <2(⎷n-⎷n-1)3. En d´eduire un encadrement de la somme
?N n=11⎷n , pour toutN?1.4. Quelle est la partie enti`ere de 1 +
1⎷2
+1⎷3 +···+1⎷10000 Encadrer s´epar´ement la somme den= 2`aN= 10000, puis den= 1`aN-1. Exercice 20On noteE(x) la partie enti`ere d"un r´eelx, c"est `a direE(x) est l"unique entier relatif v´erifiantE(x)?x < E(x) + 1.1. Montrer que pour tout r´eelsxety, on aE(x) +E(y)?E(x+y)?E(x) +E(y) + 1.
2. CalculerE(x) +E(-x) pourxr´eel.
3. Montrer que pour tout entier natureln?1 et pour tout r´eelx,E(x) =E?E(nx)/n?.
Exercice 21Comparer 6⎷5 et 8
⎷3, puis2⎷6-⎷5
et3⎷5-⎷2 +4⎷6 + ⎷2 Exercice 22Soientxetydes r´eels tels que-5?x?4 et-10?y?-6. Trouver des encadrements dex+y,x-y,xy,x/yet⎷x2. Que peut-on dire de 1/x?
-facultatifmˆeme question pour-7?x?9 et-2?y?-1. R´eponse :-9?x+y?8 ;-6?x-y?11 ;-18?xy?14 ;-9?x/y?7 ; 0?⎷x 2?9 -facultatifmˆeme question pour-12?x?1 et-3?y?4. R´eponse :-15?x+y?5;-16?x-y?4;-48?xy?36; 0?⎷x 2?12. x/yn"est pas d´efini poury= 0 et{x/y;-12?x?1 et-3?y?4 ety?= 0}est non born´e. -facultatifmˆeme question pour 3?x?4 et-5?y?-3R´eponse :-2?x+y?1; 6?x-y?9;-20?xy?-9;-43
?x/y?-35 ; 3?⎷x 2?4.Exercice 23Dans cet exercice, on demande d"utiliser les propri´et´es de la relation d"ordre dans
Ret non d"´etudier les variations d"une fonction. R´esoudre dansRles in´equations suivantes :
a)|x-3|+|x+ 4|?7 b) 0?⎷x2+ 3-⎷x
2+ 1?1
c)⎷x2-4x+ 4?|3x2
-1| d) 0Exercice 25D´emontrer l"implication suivante :
|x|?1 =?????x+ sinxx7+x-3?
????2 Exercice 26Pour tout r´eelanon nul, on noteIa={x?R| |x-a|<|a|/2}.1. D´ecrire en termes d"encadrement, puis en termes d"intervalle, l"ensembleIa. Hachurer sur
la droite r´eelle l"ensembleIapoura=-2 eta= 1. V´erifier que pour toutx?Ia, alorsx est non nul et a mˆeme signe quea.2. Peut-on dire qu"il existe une constantem >0 ind´ependante deatelle que pour toutx
appartenant `a l"ensembleIa, on ait|x|> m? Exercice 27D´eterminer si les ensembles suivants sont born´es et en donner eventuellement des bornes. {n-1n+ 1|n?N},{(-1)nn|n?N},{(-1)n+1n |n?N?}.Exercice 28Soitz?Ctel que 2?|z|?4. Montrer que
15 ?????5-zi+z? ????9. Exercice 29Trouver les racines carr´ees complexes des nombres complexes suivants : Z1=-1, Z2=1-i⎷3
2 , Z3= 1 +i , Z4= 5-12i , Z5=2-i⎷5 3Pour les trois premiers, on donnera le r´esultat sous forme alg´ebrique et trigonom´etrique; pour
Z4etZ5, sous forme alg´ebrique.
Exercice 30R´esoudre dansCles ´equations suivantes : a)z2+ (1-2i)z+ 1 + 5i= 0, b)z4+ (1-2i)z2-3-i= 0, c) (z+ 1)4+ 16(z-1)4= 0, d)?z+1z-1?3+?z-1z+1?
3= 0.Exercice 31
´Enoncer la formule du binˆome (z1+z2)net l"expliciter pourn= 5. A l"aide de la formule d"Euler et de la formule pr´ec´edente, exprimer cos5(θ) en fonction de cos(θ), cos(3θ)
et cos(5θ). Plus difficile : essayer de g´en´eraliser la formuler pour cos n(θ).Remarque : cette m´ethode sera r´eutilis´ee pour le calcul d"int´egrales de fonctions trigonom´etriques.
Exercice 32Somme g´eom´etrique :
1. Montrer que pour tout nombre complexez?= 1,n?
k=0z k=1-zn+11-z.Formule `a connaˆıtre.2. Soitθun nombre r´eel. on poseZn= 1 +eiθ+e2iθ+···+eniθ=n?
k=0e ikθ. Simplifier l"expression deZn. En d´eduire des expressions simples de :quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] 2074 i
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