[PDF] Déterminer la forme canonique

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1. Déterminer la forme canonique

1 1

Déterminer

la forme canoniqueQuand on ne sait pas! La plupart des polynômes du second degré peuvent s'écrire sous 3 formes : développée, factorisée et canonique.

EXEMPLE 1

2 1 3 2 Ax x . Ici, A est sous forme factorisée.

EXEMPLE 2

2

2 11 21Bx x x. Ici, B est sous forme développée.

EXEMPLE 3

2

3 25Cx x. Ici, C est sous forme canonique.

La forme canonique de l'expression

2

A x ax bx c est du type :

2 Ax ax

Que faire ?

Dans un premier temps, on détermine les valeurs de a, b et c. Ensuite on calcule les valeurs de et à l'aide des formules de cours : 2 b a et2 - 4 4 b ac a On peut maintenant mettre A sous forme canonique en remplaçant et par leur valeur dans la formule : 2 Ax ax REMARQUE On constate avec cette égalité que l'on a : A .

EXEMPLE 4

2

3 52Ax x x .

On a : 3, 5, 2ab c .

On en déduit :

5 6 et 1 12

Second degré

On trouve alors :

2 51
3 6 12 Ax x

Conseils

Il faut faire attention aux signes dans les calculs, ainsi le moins devant la barre de fraction pour le calcul de s'applique à l'ensemble de la fraction. Il faut prendre garde également au fait que le carré d'un nombre négatif est un nombre positif : par exemple, le carré de -3 s'écrit 2

3, et non pas

2

3 qui est égal à -9.

Il est toutefois plus facile de calculer la valeur de en considérant l'égalité : A celle du départ.

Exemple traité

Mettre sous forme canonique l'expression suivante : 2

25Ax x x

SOLUTION

On repère les valeurs de a, b et c : 1, 2, 5a bc .

On calcule :

2 1 22
b a On calcule ensuite , le plus simple est de le calculer avec : 2

1 215 6A (ce calcul est plus rapide et moins

générateur de fautes de signe). On peut donc conclure sur la forme canonique de A : 2

116Ax x ou

2

16Ax x ou si l'on préfère :

2

61Ax x

Exercices

ExErcicE 1.1 Mettre sous forme canonique

2

28Ax x x.

ExErcicE 1.2 Mettre sous forme canonique

2

36 1Bx x .

1. Déterminer la forme canonique

Solutions

ExErcicE 1.3 Mettre sous forme canonique

2

31Cx x x .

ExErcicE 1.4 Mettre sous forme canonique 2 11 3Dx x x.

ExErcicE 1.5 Mettre sous forme canonique :

32 7 41 3Ex x x x x

Pour vous aider à démarrer

ExErcicE 1.1 Attention, ici on a : 0c

ExErcicE 1.2

Il faut d'abord développer B ou mettre le -3 en facteur dans le carré.

ExErcicE 1.3 Il faut ordonner C.

ExErcicE 1.4 Développer D

ExErcicE 1.5 Développer E puis réduire et ordonner.

Solutions des exercices

ExErcicE 1.1

Comme 2

2 8,Ax x x on a alors : 2, 8, 0a bc .

Ceci permet de calculer et .

8 2 4 et 2

22 828A

La forme canonique de A est donc :

2

2 28Ax x

ExErcicE 1.2

On développe d'abord B et on obtient

2

9 36 37.Bx x x

Second degré

On a alors : 9, 36, 37ab c, ce qui permet de calculer les valeurs de et de . On trouve : 36

2 et 2 1

18

BB .

La forme canonique de B est :

2

9 21Bx x

REMARQUE On pouvait choisir de mettre -3 en facteur dans le carré, ce qui donnait : 2222

3 2 1 3 219 21Bx xxx .

ExErcicE 1.3

On ordonne C suivant les puissances décroissantes de x, ce qui donne : 2

31Cx x x

Comme 1, 3, 1ab c, on a alors les valeurs de et . 3 2 et 7 4

La forme canonique de C est :

2 37
24
Cx x

ExErcicE 1.4

On développe la forme factorisée de D :

2

6 1.Dx x x On détermine

ensuite et . On trouve 1 12 et 25
24
et D peut s'écrire sous la forme suivante : 2 1 25 6 12 24 Dx x

ExErcicE 1.5

On développe d'abord E :

22

2 7 6 21 3 4 12Ex x x x x x x puis on réduit et on ordonne,

ce qui donne : 222

2 21 11 3 4 5 12 25Ex x x x x x x

On a alors 5, 12 ab et 25.c Ce qui permet de calculer les valeurs de et . On trouve = 12 6 10 5 et 6 161 55
EE

La forme canonique de E est :

2 6 161 5 55
Ex x

2. Résoudre une équation du 2

nd degré 2 2

Résoudre une équation

du 2 nd degré

Quand on ne sait pas!

Revoir la résolution d'équation du 1

er degré du type xab ou ax b, ainsi que d"équation du 2 nd degré de la forme 2 .xa ou d'une identité remarquable.

EXEMPLE 1Résoudre

2

30xx revient à résoudre : 3 0.xx

EXEMPLE 2 Résoudre

2 1 3 90 4 xx revient à résoudre : 2 1 30
2 x

Dans le cas d'équations du 2

nd degré, incomplètes, du type 2

0ax c, se

ramener à une équation de la forme : 2 c x a . On discute ensuite selon le signe de c a de l'existence de solution.

EXEMPLE 3 Résoudre

2

2 60x revient à résoudre :

2

3.x Il y a donc 2

solutions qui sont : 3 et 3.

EXEMPLE 4 Résoudre

2

3 50x revient à résoudre :

2 5 3 x . Or un carré ne pouvant être négatif, l'équation n'a pas de solution.

Que faire ?

Dans un premier temps, on détermine les valeurs de a, b et c.

Ensuite on calcule la valeur du discriminant.

2 4b ac

Second degré

Si 0, alors l"équation a deux solutions distinctes : 1 xet 2 x.

Si 0, alors l"équation a une seule solution :

0 x. Si 0, l"équation n"a aucune solution réelle. elles existent.

Si 0, alors les solutions sont :

1 2 b x a et 2 2 b x a

Si 0, alors l"équation a une seule solution :

0 2 b x a

EXEMPLE 5 Résoudre

2

5 60xx .

On a : 1, 5, 6ab c .

On en déduit :

2

5 416 1

Comme le discriminant est positif, l'équation admet 2 solutions. On remplace les valeurs de , ab et . On obtient alors : 1 51
2 2 x et 2 51
3 2 x

Conseils

,,abc en faisant attention aux signes.

Il faut se rapporter à une équation du 2

nd degré dont le second membre est nul : 2

0ax bx c

Le calcul du discriminant n"est pas toujours nécessaire, en particulier dans le cas d"équations incomplètes. Les formules précédentes ne sont valables que pour des équations du 2 nd degré, pas pour des équations de degré supérieur.

2. Résoudre une équation du 2

nd degré

Exemple traité

Résoudre l'équation suivante :

2

2 5 70xx

SOLUTION

On repère les valeurs de a, b et c : 2, 5, 7abc .

On calcule :

2

5 4 2 7 25 56 81 .

0, donc l'équation admet 2 solutions.

Les solutions de l'équation sont donc :

1

5 81 5 9 7

22 4 2

x u et 2

5 81 5 9

1 22 4
x u On peut conclure que l'ensemble solution de l'équation est : 7 ;1 . 2 S

Exercices

ExErcicE 2.1 Résoudre

2 21
0 34
xx.

ExErcicE 2.2 Résoudre

2 7 20 2 xx .

ExErcicE 2.3 Résoudre 3 2 13 17xx x .

ExErcicE 2.4 Résoudre 2 9 8 72xx .

ExErcicE 2.5 Résoudre

2

4 25 9xx .

ExErcicE 2.6 Résoudre

2 ( 6) 25 0x. ExErcicE 2.7 Quelles sont les dimensions d'un rectangle de périmètre 37 m et d"aire 76,5625 m 2

Second degré

Pour vous aider à démarrer

ExErcicE 2.1

ExErcicE 2.2

ExErcicE 2.3

Développer le membre de gauche et se ramener à une

équation du 2

nd degré dont le membre de droite est nul.

ExErcicE 2.4

Développer le membre de gauche et se ramener à une

équation du 2

nd degré dont le membre de droite est nul.

ExErcicE 2.5

Développer le membre de droite et se ramener à une équation du 2 nd degré dont le membre de droite est nul. ExErcicE 2.6 Que peut-on dire d'une équation du type 22
0ab ?

ExErcicE 2.7

Noter 1 xet 2 x les 2 dimensions du rectangle, écrire le 2 nd degré dont elles sont solutions.

Solutions des exercices

ExErcicE 2.1

Comme l'équation est

2 21
0 34
xx alors 21
, 1, 34
a bc .

Le calcul du discriminant donne :

2 2 15 14 3 43

Comme 0, il y a donc 2 solutions qui sont :

1 355
31
3 15 33
2 44
2 3 x et 2 355
31
3 15 33
2 44
2 3 xquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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