[PDF] Travaux dirigés Postulats de la mécanique

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Université de Cergy-Pontoise S6 - P Physique Quantique II Travaux dirigés 2013/2014

Universit´edeCergy-Pontoise

PhysiquequantiqueII

S6-P -2013-2014

C.Pinette s

Planducour sdeph ysiquequantiqueII

I.Les principesde lam´ecaniquequantique

Exp´eriencedeSternetGerlach. Notiond'op´ erateur.Formalisme deDirac.P ostulatsdelam´ecanique

quantique.Illustrationdes postulats.Valeurmoy enned'uneobse rvable.Evolutiondans letemps.

Repr´esentation{?r}.

II.L'oscillateurhar monique

Introduction.R´esolutionparlam´etho dedeDirac.Oscillateurharmonique3d.

III.Th´eoriedu momentcin´etique

D´efinitiondumomentcin´e tique

J.Etatspropres de

J.Moment cin´etiqueorbital

L.Moment

cin´etiquedespin S.Description compl`eted'uneparticule .Magn´etisme.

IV.Atome d'hydrog`ene

Syst`emes`a2corpsdans unpotentielcen tral.Etatsli ´es del'atomed'h ydrog` ene.Syst`emeshy- drog´eno¨ıdes.Classificationdutableaup´eriodique .Notiondeliaisonchimique. Siteweb ducours:http://cpinettes.u-cergy.fr/S6-MecaQ Vousytrouverezdes documen tsutilespourlecours, desannaleset dessuppl´ements(liensvers descoursen ligne,desvid ´eos,des expos´ esetde sarticlesdevulgarisation...).

Universit´edeCergy-Pontoise

PhysiquequantiqueII

S6-P

Ouvragesdem´ec aniquequant iquerecommand´es

Enfran¸cais

Ilexiste d'excellentsouvra gesdem´ecaniquequa ntiqueenfran¸cais.

NiveauLicence,jerecomma ndedans l'ordre:

-J-L.Bas devant,J.Dalibard:M´ecaniqueq uanti que,Editionsdel 'EcolePo lytechnique(2002) Excellentlivre,clair etconcis.Deno mbreusesapplica tionsconcr `etesetr´ecentesetdesexos corrig´es. -C.Cohe n-Tannoudji,B.Diu,F.Lalo¨e:M´ecaniquequantique(2 tomes), Hermann(1977) Lar´ ef´erenceniveauLicence-Master1.Tr`esco mplet(1500pa ges).Insistesurleformalisme,

explicationsetcalculsd´etaill ´es.D enombreux compl´ementsd´eveloppa ntdesexemplesphysiques

concrets. -J-L.Basd evant:12le¸consdem´ecanique quan tique,Vui bert(2 006) Excellentlivrep ourcomprendre lam´ecaniquequantique. Tr`esprochedela 1`erer´ef´erence,il

insistedavan tagesurlesconceptsphysiquesetlaisselesd´eveloppementsmath´ematiquesdecˆot´e.

Agr´eable`alire,raconte enmˆemetemps lag´en` esehistoriquedela m´eca niquequan tique. -C.Aslan gul:M´ecaniquequantique (3to mes),DeBoeck(2010) Coursr´ecentett r`escomplet.Commenceparunelo nguepa rtiesur lesexp´ erienceshist oriques. -C.Ngo,H. Ngo:Physiqueq uanti que:intr od uction,Dunod(1991)

Livred'enseignementcla iretstandard.

-M.Le Bellac :Physiquequantique,EDPSci en ces/CNRSEditions(200 7) Approcheoriginale.Abor delesd´eveloppementsdelam´ ecaniquequan tiquelesplusr´ecents. -A.Mes siah:M´ecaniquequanti que( 2tomes),Dunod(1968) Lar´ ef´erencehistorique.Dense,unpeudifficilepo urunepremi`ereapproche.

Enanglais

-D.Griffiths:In trod uctiontoQuantumMechanics(2ndeditio n),Pearso n(2005) -B.Bran sden,C.Joachain:QuantumMechanic s,Pearso n(2000) -Transform´eesdeFourier:Appendice I,tome2 duCohen-Tannoudji. -"Fonctions"δdeDira c:Appendice II,tome2 duCohen-Tannoudji. -EspacesdeHibert:Annexe Aduco ursen lignede Mila;cha pitres2(dimensionfinie)et7 (dimensioninfinie)duLeBell ac.

FORMULAIREDEMECANIQUEQUANTIQUE

Oscillateurharmonique

a= mω

2¯h

X+ i

2m¯hω

P X a n n+1|? n+1 ?[a,a ]=I a mω

2¯h

X- i

2m¯hω

P X a|? n n|? n-1

Momentcin´ etique

J 2 |j,m?=j(j+1)¯ h 2 |j,m?J =J x

±iJ

y J z |j,m?=m¯h|j,m?J |j,m?=¯h j(j+1) -m(m±1)|j,m±1?

Premiersharmoniquessph´eriques

Y 0 0 1 4π ;Y 0 1 3 4π cosθ;Y ±1 1 3 8π sinθe

±i?

Y 0 2 5

16π

(3cos 2

θ-1);Y

±1 2 15 8π sinθcosθe

±i?

;Y ±2 2 15

32π

sin 2 θe

±2i?

Y 0 3 7

16π

(5cos 3

θ-3cosθ);Y

±1 3 21

64π

sinθ(5cos 2

θ-1)e

±i?

Y ±2 3 105

32π

sin 2

θcosθe

±2i?

;Y ±3 3 35

64π

sin 3 θe

±3i?

Atomed'hydrog`ene

RayondeBohr:a

0

4π?

0 e 2 ¯h 2 ?0,529 A

Energied'ionisatio n:E

I e 2

4π?

0 2

2¯h

2 e 2

4π?

0 1 2a 0 ?13,6eV R 1,0 (r)= 2 a 3/2 0 e -r/a 0 ;R 2,0 (r)= 2 (2a 0 3/2 1- r 2a 0 e -r/2a 0 ;R 2,1 (r)= 1 3 1 (2a 0 3/2 r a 0 e -r/2a 0 R 3,0 (r)= 2 (3a 0 3/2 1- 2r 3a 0 2r 2 27a
2 0 e -r/3a 0 ;R 3,1 (r)= 4 2 9 1 (3a 0 3/2 1- r 6a 0 r a 0 e -r/3a 0 R 3,2 (r)= 4 27
10 1 (3a 0 3/2 r a 0 2 e -r/3a 0

Int´egralesgaussiennes

I p 0 x p e -ax 2 dx:I 0 1 2 a ,I 1 1 2a ,I 2 1 4a a ,I 3 1 2a 2

Universit´edeCergy-Pontoise

PhysiquequantiqueII

S6-P -2013-2014

TDn o

1:For malismedeDirac

Ex.1.Syst `eme` adeuxniveaux:lamol´e culed'ammoniac Dansses´ etatsdeplus basse´energie,lamol ´eculed'ammoniac (NH 3 )a uneforme pyramidale avecunatomed'azoteausommetet troisatomes d'hydrog` ene`a labaseforman tuntriangle ´equilat´eral.Lesmouvementsde basse´energiec orrespondentaud´eplacementduplande strois atomesH(assimil´e`auneparticuledemassem)par rapport` al'atomeNlelongde l'axede sym´etriedelamol´e cule(mouveme ntunidime nsionnellelongdel'axex). Classiquement,leplande stroisatomes Hposs`ededeuxpositionsd'´equilibres tablesdepart et d'autredel'atome N.Lep otentielV(x)est doncsym´etrique etposs `ededeuxminimas´epar´es parunebarri `erede potentielmaximaleenx=0(corres pondant aux4atomescoplanaires).Pour simplifier,onmo d´ eliseralamol´eculeNH 3 parlep otentiel paireV(x)suivan t:

V(x)=V

0 pour0V(x)= 0pour b-a/2

V(x)= +∞pourx>b+a/2

Lespuitsson tcentr ´esen±betdelargeur a;onnotera Δ=2b-alalargeurde labarri` ere.

Pourlamol´ eculeNH

3 onade plus,V 0 ?E,E´etantl'´energiedela mol´ecule,K 0

Δ?1et

K 0 a?1av ecK 0 2mV 0 /¯h 2

1.V(x)´etan tpair,onpeutchercherles solutionsde l'´equation deSchr¨odingerparmi lesfonc-

tionspaires, ψ S (x)etimpaires, ψ A (x).Exprimerces solutions.En´ ecrivant lesconditions deraccordemen t,´etablirl'´equationexprimantla quantificationdel'´ energiepourchaque solutionpaireou impaire.

2.Onnotera E

S etE A les´ene rgieslesplusbassespourchaquecas pairet impair.Mon trer qu'ellesnesons pas´egales (contrairement aucas classique)etqu'ellespe uventsemettre souslaf ormeE S =E 0 -AetEquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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