[PDF] Seconde - Cercles et trigonométrie - ChingAtome

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Seconde/Cercles et trigonométrie

1.Cercles et tangentes :

Exercice 1450

On considère la configuration donnée ci-dessous :()OCA B CP 1. A l"aide de l"équerre, vérifier que la droite(∆)est une tangente du cercleCde centreO. 2. Tracer le cercleC′de centrePet tangent à la droite(∆). Par quel(s)point(s)passe(ent)de la figure, le cercleC′ passe-t-il?.

Exercice 1094

SoitCun cercle de centreOetAun point situé à l"extérieur du cercleC. On noteC′le cercle ayant pour diamètre[OA]. On noteMetNles deux points d"intersection des cerclesC etC′. 1. Réaliser une figure représentant cette configuration. 2.

Que peut-on dire de la droite(AM)relativement au

cercleC? Justifier votre affirmation.

Exercice 1093

On considère la configuration suivante :

"Soit(d)une droite etHun point de cette droite.C est un cercle tangent à la droite(d)ayant pour point de contact le pointH." Effectuer le tracé d"une telle configuration et indiquer une méthode de construction.

Exercice 2936

Dans le plan, on considère le triangleABCrectangle enB etMun point du segment[AC]tel queÖAMBsoit un angle droit; les pointNetPsont les symétriques du pointM, respectivement par rapport aux droites(BC)et(AB): ABC MN P 1. a. Justifier les égalités suivantes de longueurs :

BM=BN=BP

b.

Montrer que :

ÕPBN=180o.

c. Justifier que le cercleCde diamètre[NP]admet la droite(AC)comme tangente au pointM. 2. a.

Démontrer que les pointsB,C,M,Nsont cocy-

cliques d"un cercle qu"on nommeraC′. b. Donner la position de la droite(AB)relativement au cercleC′.

Exercice 1840

On considère un cercleC, un pointOet les deux droites(d1) et(d2)tangentes au cercle passant par le pointO.

OIMN(d1)

(d2)(D) C A On considère une droite(D)passant parOet comprise entre les droites(d1)et(d2): on est libre de placer la droite(D)a n"importe quel endroit mais assujetti à ces deux contraintes. Le but de cet exercice est de déterminer l"ensemble décrit par Ilorsque la droite(D)décrit l"ensemble des droites passant parOet comprise entre(d1)et(d2): Seconde - Cercles et trigonométrie - http://chingatome.fr

1.a.Où se trouve le pointIlorsque la droite(D)est tel

que les pointsMetNsoient diamétralement opposés.b.Tracer la droite(D)à trois endroits différents ainsi que

le pointIassocié.2.a.Faîtes une conjecture quant à l"ensemble de points décrit par le pointI.b.Etablir cette conjecture.

2.Rappels sur la trigonometrie :

Exercice 530

SoitABCun triangle équila-

téral dont la mesure des côtés vautx.

On noteIle milieu du segment

[BC]. 1.

Que représente la droite

(AI)dans le triangle ABC? 2.

Remplir le tableau ci-

dessous :ABC Ix CIA CAB CAI ICA

Mesure en degré

3. a.

Donner la mesure du segment[CI]en fonction dex.

b. A l"aide du théorème de Pythagore, déterminer la me- sure du segment[AI]en fonction dex. c. Dans le triangleAIC, déterminer le sinus, le cosinus et la tangente des angles

ÔIACetÔICA. Puis, remplir

le tableau suivant : cos sin tan 60
o 30
o

Exercice 531

On considère le triangle

rectangle-isocèle enCci- contre. On notexla mesure du côtéAC. 1.

Compléter le tableau :

A BC x ACB CAB

Mesure en degré

2. a. A l"aide du théorème de Pythagore, exprimer la me- sure du côté[AB]en fonction dex. b. Dans le triangle rectangleABC, déterminer le sinus, le cosinus et la tangente de l"angle

ÕCAB.

c.

Compléter le tableau :

cos sin tan 45
o

255.Exercices non-classés :

Exercice 2183

On considère le plan muni

du repère orthonormé(O;I;J). SoitCle cercle de centreOetde rayon 1: ce cercle s"appelle lecercle trigonométrique.

On considère la tangente

(∆)au cercleCpassant par le pointIet perpendiculaire

à l"axe des abscisses.

On place un pointMsur le

cercleC, on note : OIJ C M N MxM yN y o

On repère ce point par l"angle=ÕIOM

M xle projeté orthogonal deMsur l"axe(OI); M yle projeté orthogonal deMsur l"axe(OJ); On repère ainsi le pointMpar l"angle qu"il définit : on note M(), ou par ses coordonnées cartésiennesM(Mx;My). Le pointN, s"il existe, est l"intersection de la droite(∆)avec la droite(OM). On note : N yle projeté orthogonal deNsur(OJ); 1.

On se place dans le triangleOMMx:

a.

Quel est la nature du triangleOMMx. Justifier.

b.

Etablir les égalités suivantes :

cos=OMx;sin=MMx 2. Dans le triangleONIrectangle enI, établir l"égalité sui- vante : tan=NI 3. Relativement à l"angle, dire ce que représente les lon- gueursOMx,OMyetONy. 4. Aux vues du travail effectué précédemment, justifier l"égalité : Seconde - Cercles et trigonométrie - http://chingatome.fr cos)2+(sin)2= 1Exercice 3110 On considère les deux cercles trigonométriques ci-dessous :O IJ C 45
o N O IJ C 6? o M 1.

Donner, dans le repère

(O;I;J), les coordonnées des pointsMetN. 2.

Dans l"intervalle

]180o;180o], résoudre leséquations suivantes : a. cosx=1 2 b. sinx=p 2 2 c. sinx=1 2 3.

Dans l"intervalle

]180o;180o], résoudre les équations suivantes : a. sinx=1 2 b. cosx=p 2 2 c. 2 2 4. Que peut-on dire de l"ensemble des solutions de chacune des équations précédentes, si on cherche la mesure des angles dans l"ensembleR?

Exercice 4920

On considère une droite graduée d"origineOsur laquelle est placé des points définis par leur abscisse : a( 2 ;b();c( 2 ;d();e( 3 f (3 4 ;g( 3 ;h( 4 ;j( 5 6 I O a

2b-2c-d

3e3

4f-3g-4h-56j

?o2? o 4?o 6?o 8?o 1??o 12? o14? o16? o 18?o 16? o14? o12?o 1??o 8?o 6? o 4? o 2? o On considère le cercleCde rayon1placé sur la droite graduée comme l"indique la figure précédente. 1. a.

SoitMun point deCtel que l"arcøOMmesure.

Donner la mesure de l"angle

ÕOIM

b. Placer l"unique pointAdu cercleCtel que l"arc÷OA ait pour longueur. 2. a.

SoitMun point deCtel que l"arcøOMmesure

2

Donner la mesure de l"angle

ÕOIM

b.

Placer les deux pointsBetCappartenant au cercle

Ctel que les arcs÷OBet÷OCaient pour longueur 2 3. De même, placer les pointsE,F,G,H,Jtels que les arcs÷ longueur que l"abscisse des pointse,f,g,h,j.Exercice 6574 1. Dans les quatre cas suivants, un pointMest placé sur le cercle trigonométrique repéré par un angle. On rap- pelle qu"on note alors :

ÕIOM=ouM().

A partir de ce pointMest placé un nouveau pointM′: a. O IJ M M? b. O IJ M M? c. O IJ M M? d. O IJ M M? Exprimer l"angle repérant le pointM′en fonction de. 2. Nous utiliserons la définition et les propriétés suivantes :

Définition :

Deux triangles sontisométriquessi leurs côtés sont deux à deux de même mesure.

Proposition :

Si deux triangles ont un côté de même longueur ad- jacent à deux angles respectivements égaux alors ces deux triangles sont isométriques a. O IJ M M? b. O IJ M M? c. O IJ M M? d. O IJ M M? Justifier, dans chaque cas, que le triangle présenté en trait plein et le triangle présenté en pointillés sont iso- métriques. Seconde - Cercles et trigonométrie - http://chingatome.fr

3.Ouvrir le fichier "angleAssocie.ggb".

Modifier la position du pointMet observer la relation entre les coordonnées du pointMetM′dans chacun des cas. 4. Indiquer sur la figure les coordonnées du pointM′en fonction des coordonnées (x;y)du pointM:a. O IJ Mx y M? b. O IJ Mx y M? c. O IJ Mx y M? d. O IJ Mx yM? Seconde - Cercles et trigonométrie - http://chingatome.frquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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