[PDF] Informatique pour la finance Sacha Kozlov

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Informatique pour la finance

Sacha Kozlov

(green.fr@gmail.com) EFREI 2011

2011EFREI - Finances2Plan de cours

Cours d'initiation aux concepts de la finance

Taux d'intérêt

Actualisation / Capitalisation

Emprunt indivis

Les obligations

La courbe des taux

2011EFREI - Finances3Plan de cours

Cours d'initiation aux concepts de la finance

Taux d'intérêt

Actualisation / Capitalisation

Emprunt indivis

Les obligations

La courbe des taux

2011EFREI - Finances4Initiation à la finance

Pragmatisme

Les simplifications nécessaires

Il y a toujours des contre-exemples

Intuition

2011EFREI - Finances5Plan de cours

Cours d'initiation aux concepts de la finance

Taux d'intérêt

Actualisation / Capitalisation

Emprunt indivis

Les obligations

La courbe des taux

2011EFREI - Finances6Taux d'intérêt

Placement

Pourquoi une rémunération ?

Taux période

Taux simple, taux composé

Taux équivalent, taux continu

2011EFREI - Finances7Placement

Placer l'argent sur un période déterminé

Somme placée - V0

Durée de placement - T

Opération est rémunérée

Somme récupérée - VT

Taux d'intérêt - rT

VT=V0(1+rT)

2011EFREI - Finances8Pourquoi une rémunération ?

1€ aujourd'hui ≠ 1€ demain

Inflation (pas vraiment une réponse)

Abandon de la liberté d'utiliser son argent

Prise en compte des risques :

-De perdre son argent ; -De ne pas pouvoir vendre au moment désiré ; -Etc...

2011EFREI - Finances9Taux période

Application du taux sur le période adapté

Adaptation du taux pour d'autres périodes

Taux simple

Taux composé

Unité commune de mesure - taux annuelVT=V0(1+rT)

VnT=V0(1+nrT)

VnT=V0(1+rT)n

2011EFREI - Finances10Taux simple v.s. taux composé

La différence - capitalisation des intérêts Intérêts simples - des intérêts non capitalisés : Intérêts composés - des intérêts capitalisés :V2T=V0+2V0rT=V0+V0rT+V0rT

V2T=V0(1+rT)2=V0+V0rT+VTrT

2011EFREI - Finances11Taux d'intérêt dans la réalité

Taux simple - durées inférieurs à 1 an

Date de versement de la rémunération :

À terme échu (postcompté)

À terme à échoir (précompté)

Date de valeur - quinzaine des banques

Calcul de la durée :

Exact, sur 360/365 jours, en mois, en semaines...

Taux commercial...

2011EFREI - Finances12Taux équivalent

Taux nominal - r pour une période d'un an

L'année est divisée en k périodes

Taux appliqué à chaque période - r/k

Taux composé

Taux équivalent :

Taux continu :re

(k)=(1+r k) k -1lim k→∞re(k)=er-1

2011EFREI - Finances13Plan de cours

Cours d'initiation aux concepts de la finance

Taux d'intérêt

Actualisation / Capitalisation

Emprunt indivis

Les obligations

La courbe des taux

2011EFREI - Finances14Actualisation

Valeur actuelle

Actualisation et capitalisation

Annuités

Taux de rendement actuarielle

Cas des annuités constantes

2011EFREI - Finances15Valeur actuelle

Valeur actuelle (present value) - V0 en date 0

Avec taux r donne Vn en n années

Date de départ commune pour les flux futurs

2011EFREI - Finances16Actualisation et capitalisation

Actualisation :

Capitalisation est inverse à l'actualisation :

La même utilisation : mettre les montants sur

une base commune de comparaisonV0=Vn (1+r)n

Vn=V0(1+r)n

2011EFREI - Finances17Exercice : actualisation

Sachant le taux d'actualisation de 4%

Quel est le montant préférable :

-100€ immédiatement -108€ dans 2 ans -5000€ dans 100 ans Comparer 100€ aujourd'hui avec 200€ dans 20 ans -En ramenant les deux montants à la date 0 -En ramenant les deux montants à la date dans 20 ans -En ramenant les deux montants à la date dans 10 ans

2011EFREI - Finances18Séquence des flux et annuités

Chaque flux j est défini par :

Son montant Fj

Sa date de versement tj

Annuités - versements périodiques

Souvent annuels, mais pas obligatoirement

Synonymes en fonction du contexte :

-" arrérage » dans les rentes ; -" coupon » dans les obligations, etc. ;

2011EFREI - Finances19Exercice : des annuités constantes

Séquence des flux :

n Flux

Du montant identique - a

Des dates équidistantes (flux annuels)

Premier flux à la date t = 1

Le taux d'actualisation r

Donner une expression pour la valeur actuelle

-VA d'une séquence des flux = somme des VA des flux

Idem pour une séquence infinie

2011EFREI - Finances20Solution d'exercice

En mettant

En utilisant les propriétés de la progression géométrique :

Pour une rente perpétuelle :V0=∑

j=1 na (1+r)j=a∑ j=1 n vj=av1-vn 1-v V0=av 1-v=a rv=1 1+r

2011EFREI - Finances21Taux de rendement actuariel (TRI)

Séquence finie des flux - Fj, tj

Valeur actuelle :

TRI = taux d'intérêt qui annule la valeur actuelle

Solution existante et unique si le signe du

premier flux est différent des signes des autres Applicable aux certaines séquences infiniesV0=∑ j Fj (1+r)tj

2011EFREI - Finances22Exercice : TRI simple

Soit le taux d'actualisation de 4%

La personne A investi 100€

Dans 10 ans elle reçoit 150€

Calculer la valeur actuelle de la séquence

Calculer le TRI

Avec le même taux d'actualisation

La personne B investi 120€

Pendant 9 ans qui suivent elle reçoit les flux de 15€

Les mêmes questions que pour la personne A

2011EFREI - Finances23Notes suite à l'exercice

La somme simple des flux n'a pas de sens

Avant de comparer les flux il faut les ramener à la même date TRI - mesure (caractéristique) de la séquence

Comprendre les signes de VA

2011EFREI - Finances24Exercice : TRI général

Soient les flux suivants :

Soit le taux d'actualisation de 4%

Calculer la valeur actuelle de cette séquence

Calculer le TRIDate012356789

2011EFREI - Finances25Plan de cours

Cours d'initiation aux concepts de la finance

Taux d'intérêt

Actualisation / Capitalisation

Emprunt indivis

Les obligations

La courbe des taux

2011EFREI - Finances26Emprunt indivis

Définition d'un emprunt indivis

Tableau d'amortissement

Différentes schémas de remboursement :

Zéro coupon

In fine

Par annuités constantes

2011EFREI - Finances27Emprunt indivis

Emprunt auprès d'un seul prêteur

Montant prêté - S0

Taux d'intérêt - i

Remboursements

Remboursements périodiques F0 ... Fn

Différentes schémas de remboursement possibles

2011EFREI - Finances28Remboursement zéro coupon

Une seule annuité à la fin d'emprunt

Exercice : démontrer que TRI = iSn=S0(1+i)n

2011EFREI - Finances29Correction de l'exercice

L'actualisation du flux aux taux r donne :

j∈{0,n}Fj (1+r)j=-S0+S0(1+i)n (1+r)n=0 (1+i)n=(1+r)n⇒i=r

2011EFREI - Finances30Remboursement in fine

Chaque annuité (sauf la dernière) rembourse

uniquement les intérêts de la période passée

La dernière annuité rembourse le capital en

plus

Exercice : démontrer que TRI = iFj={

-S0j=0

S0i0

S0(1+i)j=n

2011EFREI - Finances31Correction de l'exercice

L'actualisation des flux aux taux r donne :∑

j=0 nFj (1+r)j=-S0+∑ j=1 n-1S0i (1+r)j+S0(1+i) (1+r)n=0 -S0+S0i∑ j=1 n-1 vj+S0(1+i)vn=-S0+S0i∑ j=1 n vj+S0vn=0 -1+iv1-vn

1-v+vn=0⇒iv1-vn

1-v=1-vn⇒i=1-v

v=r

2011EFREI - Finances32Tableau d'amortissement

Représentation visuelle d'emprunt :

Date de situation

Montant d'annuité

-Dont les intérêts depuis la dernière situation -Dont le remboursement du capital

Capital restant dû

Les cas plus complexes → plus de champs

2011EFREI - Finances33Exercice : tableau d'amortissement

Capital emprunté : 1000€

Taux d'intérêt : 4%

Durée d'emprunt : 10 ans

Différé de payement : 3 ans

Périodicité des annuités : annuelle

Première annuité (dans 4 ans) : 50€

Les annuités augmentent de 50€ chaque année

Calculer la dernière annuité

2011EFREI - Finances34Rbt par des annuités constantes

Chaque annuité a est composé de :

Remboursement des intérêts

Remboursement d'une partie de capital

Exercice 1 : trouver la formule pour a

Exercice 2 : démontrer que TRI = iFj=a=Sj-1i intérêts mj rbt.capital

2011EFREI - Finances35Correction de l'exercice 1 - I

On peut remonter à partir du dernier flux :

De même manière (en introduisant u) :Fn=Sn-1i+mn=mn(1+i)=aSn-1=mnmj=aquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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