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Sacha Kozlov
(green.fr@gmail.com) EFREI 20112011EFREI - Finances2Plan de cours
Cours d'initiation aux concepts de la finance
Taux d'intérêt
Actualisation / Capitalisation
Emprunt indivis
Les obligations
La courbe des taux
2011EFREI - Finances3Plan de cours
Cours d'initiation aux concepts de la finance
Taux d'intérêt
Actualisation / Capitalisation
Emprunt indivis
Les obligations
La courbe des taux
2011EFREI - Finances4Initiation à la finance
Pragmatisme
Les simplifications nécessaires
Il y a toujours des contre-exemples
Intuition
2011EFREI - Finances5Plan de cours
Cours d'initiation aux concepts de la finance
Taux d'intérêt
Actualisation / Capitalisation
Emprunt indivis
Les obligations
La courbe des taux
2011EFREI - Finances6Taux d'intérêt
Placement
Pourquoi une rémunération ?
Taux période
Taux simple, taux composé
Taux équivalent, taux continu
2011EFREI - Finances7Placement
Placer l'argent sur un période déterminé
Somme placée - V0
Durée de placement - T
Opération est rémunérée
Somme récupérée - VT
Taux d'intérêt - rT
VT=V0(1+rT)
2011EFREI - Finances8Pourquoi une rémunération ?
1€ aujourd'hui ≠ 1€ demain
Inflation (pas vraiment une réponse)
Abandon de la liberté d'utiliser son argent
Prise en compte des risques :
-De perdre son argent ; -De ne pas pouvoir vendre au moment désiré ; -Etc...2011EFREI - Finances9Taux période
Application du taux sur le période adapté
Adaptation du taux pour d'autres périodes
Taux simple
Taux composé
Unité commune de mesure - taux annuelVT=V0(1+rT)VnT=V0(1+nrT)
VnT=V0(1+rT)n
2011EFREI - Finances10Taux simple v.s. taux composé
La différence - capitalisation des intérêts Intérêts simples - des intérêts non capitalisés : Intérêts composés - des intérêts capitalisés :V2T=V0+2V0rT=V0+V0rT+V0rTV2T=V0(1+rT)2=V0+V0rT+VTrT
2011EFREI - Finances11Taux d'intérêt dans la réalité
Taux simple - durées inférieurs à 1 an
Date de versement de la rémunération :
À terme échu (postcompté)
À terme à échoir (précompté)
Date de valeur - quinzaine des banques
Calcul de la durée :
Exact, sur 360/365 jours, en mois, en semaines...
Taux commercial...
2011EFREI - Finances12Taux équivalent
Taux nominal - r pour une période d'un an
L'année est divisée en k périodes
Taux appliqué à chaque période - r/k
Taux composé
Taux équivalent :
Taux continu :re
(k)=(1+r k) k -1lim k→∞re(k)=er-12011EFREI - Finances13Plan de cours
Cours d'initiation aux concepts de la finance
Taux d'intérêt
Actualisation / Capitalisation
Emprunt indivis
Les obligations
La courbe des taux
2011EFREI - Finances14Actualisation
Valeur actuelle
Actualisation et capitalisation
Annuités
Taux de rendement actuarielle
Cas des annuités constantes
2011EFREI - Finances15Valeur actuelle
Valeur actuelle (present value) - V0 en date 0
Avec taux r donne Vn en n années
Date de départ commune pour les flux futurs
2011EFREI - Finances16Actualisation et capitalisation
Actualisation :
Capitalisation est inverse à l'actualisation :
La même utilisation : mettre les montants sur
une base commune de comparaisonV0=Vn (1+r)nVn=V0(1+r)n
2011EFREI - Finances17Exercice : actualisation
Sachant le taux d'actualisation de 4%
Quel est le montant préférable :
-100€ immédiatement -108€ dans 2 ans -5000€ dans 100 ans Comparer 100€ aujourd'hui avec 200€ dans 20 ans -En ramenant les deux montants à la date 0 -En ramenant les deux montants à la date dans 20 ans -En ramenant les deux montants à la date dans 10 ans2011EFREI - Finances18Séquence des flux et annuités
Chaque flux j est défini par :
Son montant Fj
Sa date de versement tj
Annuités - versements périodiques
Souvent annuels, mais pas obligatoirement
Synonymes en fonction du contexte :
-" arrérage » dans les rentes ; -" coupon » dans les obligations, etc. ;2011EFREI - Finances19Exercice : des annuités constantes
Séquence des flux :
n FluxDu montant identique - a
Des dates équidistantes (flux annuels)
Premier flux à la date t = 1
Le taux d'actualisation r
Donner une expression pour la valeur actuelle
-VA d'une séquence des flux = somme des VA des fluxIdem pour une séquence infinie
2011EFREI - Finances20Solution d'exercice
En mettant
En utilisant les propriétés de la progression géométrique :Pour une rente perpétuelle :V0=∑
j=1 na (1+r)j=a∑ j=1 n vj=av1-vn 1-v V0=av 1-v=a rv=1 1+r2011EFREI - Finances21Taux de rendement actuariel (TRI)
Séquence finie des flux - Fj, tj
Valeur actuelle :
TRI = taux d'intérêt qui annule la valeur actuelleSolution existante et unique si le signe du
premier flux est différent des signes des autres Applicable aux certaines séquences infiniesV0=∑ j Fj (1+r)tj2011EFREI - Finances22Exercice : TRI simple
Soit le taux d'actualisation de 4%
La personne A investi 100€
Dans 10 ans elle reçoit 150€
Calculer la valeur actuelle de la séquence
Calculer le TRI
Avec le même taux d'actualisation
La personne B investi 120€
Pendant 9 ans qui suivent elle reçoit les flux de 15€Les mêmes questions que pour la personne A
2011EFREI - Finances23Notes suite à l'exercice
La somme simple des flux n'a pas de sens
Avant de comparer les flux il faut les ramener à la même date TRI - mesure (caractéristique) de la séquenceComprendre les signes de VA
2011EFREI - Finances24Exercice : TRI général
Soient les flux suivants :
Soit le taux d'actualisation de 4%
Calculer la valeur actuelle de cette séquence
Calculer le TRIDate012356789
2011EFREI - Finances25Plan de cours
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Taux d'intérêt
Actualisation / Capitalisation
Emprunt indivis
Les obligations
La courbe des taux
2011EFREI - Finances26Emprunt indivis
Définition d'un emprunt indivis
Tableau d'amortissement
Différentes schémas de remboursement :
Zéro coupon
In fine
Par annuités constantes
2011EFREI - Finances27Emprunt indivis
Emprunt auprès d'un seul prêteur
Montant prêté - S0
Taux d'intérêt - i
Remboursements
Remboursements périodiques F0 ... Fn
Différentes schémas de remboursement possibles2011EFREI - Finances28Remboursement zéro coupon
Une seule annuité à la fin d'emprunt
Exercice : démontrer que TRI = iSn=S0(1+i)n
2011EFREI - Finances29Correction de l'exercice
L'actualisation du flux aux taux r donne :
j∈{0,n}Fj (1+r)j=-S0+S0(1+i)n (1+r)n=0 (1+i)n=(1+r)n⇒i=r2011EFREI - Finances30Remboursement in fine
Chaque annuité (sauf la dernière) rembourse
uniquement les intérêts de la période passéeLa dernière annuité rembourse le capital en
plusExercice : démontrer que TRI = iFj={
-S0j=0S0i0 S0(1+i)j=n
2011EFREI - Finances31Correction de l'exercice
L'actualisation des flux aux taux r donne :∑
j=0 nFj (1+r)j=-S0+∑ j=1 n-1S0i (1+r)j+S0(1+i) (1+r)n=0 -S0+S0i∑ j=1 n-1 vj+S0(1+i)vn=-S0+S0i∑ j=1 n vj+S0vn=0 -1+iv1-vn 1-v+vn=0⇒iv1-vn
1-v=1-vn⇒i=1-v
v=r 2011EFREI - Finances32Tableau d'amortissement
Représentation visuelle d'emprunt :
Date de situation
Montant d'annuité
-Dont les intérêts depuis la dernière situation -Dont le remboursement du capital Capital restant dû
Les cas plus complexes → plus de champs
2011EFREI - Finances33Exercice : tableau d'amortissement
Capital emprunté : 1000€
Taux d'intérêt : 4%
Durée d'emprunt : 10 ans
Différé de payement : 3 ans
Périodicité des annuités : annuelle
Première annuité (dans 4 ans) : 50€
Les annuités augmentent de 50€ chaque année Calculer la dernière annuité
2011EFREI - Finances34Rbt par des annuités constantes
Chaque annuité a est composé de :
Remboursement des intérêts
Remboursement d'une partie de capital
Exercice 1 : trouver la formule pour a
Exercice 2 : démontrer que TRI = iFj=a=Sj-1i intérêts mj rbt.capital 2011EFREI - Finances35Correction de l'exercice 1 - I
On peut remonter à partir du dernier flux :
De même manière (en introduisant u) :Fn=Sn-1i+mn=mn(1+i)=aSn-1=mnmj=aquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10
S0(1+i)j=n
2011EFREI - Finances31Correction de l'exercice
L'actualisation des flux aux taux r donne :∑
j=0 nFj (1+r)j=-S0+∑ j=1 n-1S0i (1+r)j+S0(1+i) (1+r)n=0 -S0+S0i∑ j=1 n-1 vj+S0(1+i)vn=-S0+S0i∑ j=1 n vj+S0vn=0 -1+iv1-vn1-v+vn=0⇒iv1-vn
1-v=1-vn⇒i=1-v
v=r2011EFREI - Finances32Tableau d'amortissement
Représentation visuelle d'emprunt :
Date de situation
Montant d'annuité
-Dont les intérêts depuis la dernière situation -Dont le remboursement du capitalCapital restant dû
Les cas plus complexes → plus de champs
2011EFREI - Finances33Exercice : tableau d'amortissement
Capital emprunté : 1000€
Taux d'intérêt : 4%
Durée d'emprunt : 10 ans
Différé de payement : 3 ans
Périodicité des annuités : annuelle
Première annuité (dans 4 ans) : 50€
Les annuités augmentent de 50€ chaque annéeCalculer la dernière annuité
2011EFREI - Finances34Rbt par des annuités constantes
Chaque annuité a est composé de :
Remboursement des intérêts
Remboursement d'une partie de capital
Exercice 1 : trouver la formule pour a
Exercice 2 : démontrer que TRI = iFj=a=Sj-1i intérêts mj rbt.capital2011EFREI - Finances35Correction de l'exercice 1 - I
On peut remonter à partir du dernier flux :
De même manière (en introduisant u) :Fn=Sn-1i+mn=mn(1+i)=aSn-1=mnmj=aquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10[PDF] exercice vibration et ondes pdf
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