[PDF] MAT 2250 Introduction à la théorie des groupes

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ñoe

MAT2250

Introductionàlathéoriedesgroupes

(àpart irdenotesdeLucBél airetCh ristopheHohlweg )

FrançoisBergeron

13déc embre2015

Université du Québec à Montréal

Département de mathématiques

Case postale 8888, Succursale Centre-Ville

Montréal (Québec) H3C 3P8

2

Tabledesmatiè res

Page

TabledesFigures8

Avant-propos9

1Groupes11

1.1Introd uctionàlanotiondegroupe..............................11

1.2Définit iondegroupes.....................................14

1.3Exemples classiques.....................................18

1.4Table demultiplication d'ung roupe.............................21

1.5Règlesde calcul........................................22

1.6Sous-g roupes.........................................24

1.7Ordred 'ungroupe,ordre d'unélément...........................27

1.8Legrou pesymét riqueS

n ....................................31

1.9Groupes engendréspardesréflexi ons............................37

1.10Ungroup eàlaGal ois....................................38

2Actionsdegroupes49

2.1Groupeso pérantssurdesensem bles............................50

2.2A ctionsdeS

E

2.3Classes modulounsous-gr oupe...............................56

2.4Orbites vsstabilisateurs...................................59

2.5Lemmed eBurnside......................................61

2.6Morphi smesd'actions,sommesd'actions, etactionstransitives..............63

2.7Lesyst èmedecr yptographieRSA..............................66

2.8Legro upedesi sométriesducube..............................69

2.9Espaces homogènes......................................72

3

4TABLEDESMATIÈ RES

2.10Legroup eSL

2

2.11Actionsli néaires.......................................75

3Morphismesdegroupes83

3.1Définiti on...........................................83

3.2Noyaud 'unmorphismede groupes.............................85

3.3Isomor phismesdegroupes..................................87

3.4Autom orphismesintérieurs..................................88

3.5Théorèmed eCayley.....................................88

3.6Action setmorphismesdegroupes .............................90

3.7Tousles groupesfinis......................................91

4.1Groupesq uotients......................................97

4.2Théorèmed 'isomorphisme..................................99

4.3Présenta tions(finies)degroupes...............................101

4.4Sous-g roupesd'ungroupequotient.............................102

4.5Groupesm onogènesetcycliques...............................103

4.6A 5 commegroupedes rotationsdudodécaèdr e......................105

4.7Groupesr ésolubles......................................108

5Produitsdegroupes113

5.1Leprod uitdir ect.......................................113

5.2Leprod uitdir ectinterne...................................115

5.3Produi tssemi-directs.....................................117

6Groupesabéliensfinis121

6.1Groupescy cliques........................................121

6.2Groupes abéliensprimaires .................................122

6.3Décompos itionprimaire...................................123

6.4Théorèmep rincipal......................................127

7Lesp-groupes,etthéorèmesdeSyl ow129

7.2Théorèmesd eSylow.....................................130

TABLEDESMATIÈ RES5

BRappelssurlesensemblesetfonctions137

Solutionsdecertainsexercices141

Bibliographiecommentée157

Index161

6TABLEDESMATIÈ RES

Tabledesfigure s

1.1Symétri esd'untriangleéquilatér al.............................12

1.2Cubede Rubik........................................12

1.3Retourn ementsdematelas..................................13

1.4Formed elamoléculeC

60
..................................14

1.5Table demultiplication ....................................22

1.6Permuto èdre..........................................26

1.7Deuxgra phesdeCayley pourS

3 ...............................27

1.8Compos itiondepermutations................................32

1.9Uncycle. ...........................................34

1.10Décomposit ionencyclesdisjoints..............................36

1.11Arrangem entd'hyperplansdansR

3 ,cor respondantàS 4 .................37

1.12Réflexionset arrangementdedroites............................38

2.1Orbites dansCpourlestransl ations etrotations.....................52

2.2Colorat ionsdutétraèdre...................................62

2.3Treilli sdessous-groupesdeS

4 ................................65

2.4Rotati onsducube.......................................69

2.5Pavage duplanhyperbolique ................................74

2.6P ortiondepavagedeR

3 parleperm utoèdre. .......................82

3.1Isomor phismeentrelessymétriesdutriangleetS

3 .....................85

3.2Graphed eCayleydeA

5 ...................................86

4.1Graphed eCayleydugroupel ibre...............................101

4.2Lescinq cubesins critsdansl edodécaèdre ..........................105

4.3Rotati ondudodécaèdre...................................105

4.4Version réalisted'uncubeins critdansledodécaèdre....................106

4.5Permut ationdes5cubesd'undodécaèdre.........................107

5.1Graphed eCayleydeZ

3 ˆZ 3 .................................114 7

8TABLEDESFIGUR ES

5.2L'octaèd re...........................................118

TABLEDESFIGUR ES9

Avant-propos

Cerecu eilestencoursd'a méliora ti on.Ilestbiende consulterlapageinternetducourspourles misesàjour.On remer cied'avanceceux quipren drontlapeinedesi gnalerleserreursdetouten ature. Laversi onélectroniqueestdyna mique,avecdesliensversplusieursr essources externes.Enparticulier, pourlesquelqu esfigures ouimagesprovenantd' autressources,unli enpermet deretrouvercettesou rce. Danstouscescas, lesimagessont dud omainepub lic.Lesn otescontiennentaus siparfoisdesa llusio ns àdes sujetspl usavancés,ouex ternesaucours.L orsquecelaestpossibl e,ilyaa ussidesliensversd es pagesquiexpli quent(enpar tie)cesnotions.

10TABLEDESFIGURE S

Chapitre1

Groupes

Lanoti ondegroupejoueunrôl efonda mentalenmathématiques. C'estl'une desprin cipales structuresalgébriques,aveccell esd'anneau,decorps,modules,etespacesv ectoriels.D 'unepart, elle

formaliselespropriétésdeplu sieursd esopérationsbienconnuesentred esobjetsm athématiquesdivers

commeles:nomb res,vecteu rs, matrices,fonctions,etc.D'a utrepart,elledonne uncontexteclairpour discuterdetransformat ionsd etoutessortes:rotations,translations,symétri es,etc.; ouencorede manipulationsd'objets.Elleestessentiellepou rcomprendredesaspectsfondament auxdelaphys ique

(théoriedelarelativité,t héorie desquan tas),delachimie(calculdesisom ères),delacristallog raphie

(symétriesdescristaux),del acrypto graphieàclépublique(systèmeRSA, courbesel liptiq ues),et

del'étu dedescodescorrecteursd'er reurs.E llejoueau ssiunrôlefondamentalent héoriedeGalois 1

(quiétudielar ésolutiond'équat ionspo lynomiales),enthéoriedesnombres ,engéométrie,etdansla

théoriedesinvarian ts.Bref,c'estl 'unedesnotionslesplusintéressantespa rmicelles élaboréespar les

mathématiciens.

1.1Intro ductionàlanotiondegroupe

Ledodéca èdre.

Souvent,ungroupedécritles trans formationspossiblesd 'unobjet, oulesma nipula tionsqu'onpeutfairesurunobjet.Onsupposequ 'ap- pliqueràl'objetconsidér éu nesuitedetransfo rmationssuccessives estauss iunetransformati on.Ondir aalorsqu'ona"composé»les transformationspourenproduireunenouvelle.Onsu pposeaussiq ue défaireunetransfor mationest unetransformation.Ondiraquec'est

1.Dueà ÉvaristeGalois,1811-1832.

11

12CHAPITRE1.GROUPES

àla transfo rmation"inverse».Legroupeestl'ensembledest ran sformationspossible. Pourfi xerles

idées,onconsidè reparex emplelesdiversesrotationsd udodécaèdre (voirfigureci-cont re),ouencor e

lessymét riespossiblesd'untriangl eéquilatéral,commel'illust relafigure1.1.On constat equ'ilya3

manièresdefairee ectuerunesym étriederot ationdutriangle,et3sym étriesax iales(deréflexions).

ñoe

Figure1.1-Lessym étr iesd'un triangleéquilatéral.

Figure1.2-LeCub e

deRubik . Commenousallo nslevoirdan scecours,lefaitd'encomp rendre les transformationspossiblespermetdemieuxsaisirler ôled'unobjet,etd'en dégagerlespropriétés essenti elles.Pourillustrerlesensdecet tea rmation, considéronslefameuxcasse-têtequ'es tleCubedeRubi k.Les mouvemen ts possiblesconsistentàfairet ournerunedes6"faces »ducube de90 ,com me l'illustrelafigureci-contre.L'object ifestd eramenerlecubeàson état original(àsavoirceluioùles facessont toutesd'unecouleurun iforme),par unesuccessio ndetelsmouvements.Dansce contexte, onconsidère doncle "gr oupe»detouteslessui tesp ossibl esderotationdesfaces .Compr endrece groupepermetdecompren drecommentrésou drele cube.Grâceàlathéorie desgrou pes,onpeutcalculer 2 qu'ilya p3 8 ˆ2 12

ˆ12!ˆ8!q{12"43252003274489856000

états(positio ns)possiblesducube,dontuneseuleestlab onne(lasolution).Lorsqu 'onma nipulele

cube,ons'a perçoitr apidementquelerésoudren'est pasfacile.Paressaieterreur,on découvre(a ssez)

vitecommentren dreunedesfacesàson étatdecouleuruni forme;puis ,unpeu moinsrapi demen t, comments'approcher delasolution.Malheureusement,quan donenes ttoutp roche,ons'aperçoitqu'il

2.Lath éoriea ideàtrouverlabonnefor mule.

1.1.INTRODUCTI ONÀLANOTIONDEGROUPE13

fautrevenir enarrière(etdéfaireenp art iecequel'onafait)pou rarri veràlasolution.C'esta lo rsloin

d'êtreévident. Heureusement,sionlaconnaît,lat héoried esgroup espermet d'organiserlesétapesnécessaires.Donc, enuncerta insens,leprob lème duCubed eRubikest unprob lèmedethéoriedesg roupesa ppliqu ée. Lamani pulationduCubepermetd'illustrerbeaucoupdes concepts de basedelathéo rie.Même àlamai son,lathéoriedesgro upestrouve application.DansunarticleduNewYork Times,on décrit( sourireen coin)lesdiverses manières deretournerunmatela sgrâceàlathéorie desgro upespourenéviterladéfor mation.Oncon sid èred'abordque lescoins dumatelasson tétiquet éscommel'illustrela figureci-contre 3 .Ilyatroismanipulations possiblesdumatelas,illustr éesàlafi gure1.3.

Figure1.3-Retou rnem entsdematelas.

Étatsettransitio nsp ourlematelas.

Lematel aspeutseretrouverdan sl'undeq uatreét ats,illus- trésàlafigu reci -contre, aveclesdiversesman ipulationsqui permettentdepasserd'unéta tàl'au tre.Enuncertainsen saussi, ilyaun egr and eanalogi eaveclaphysiquemath ématique.Pour comprendreunobjetphysique(o uunphén omène),laclé consiste àcom prendrelegroupedestransfor mation sdecetobjet.Par exemple,dansladécou vertedu"buc kminst erfullerène 4

»,un e

moléculeconstituéede60 atomesdecarboneassembléscomm e l'indiquelafigure 1.1,la théorie desgroupesàpermisdeca lculer lespect redecettemoléculeav antmême qu'onenai ttrouvédes exemplesdanslanatu re(autantsu rTerreq uedansl'espace). Celadéterm inequellessontlesnotion squ'onpeututilis erpourformuler leslois delaphysiquequi

régissentlecomportementde cetobjet(o uphénomène).Lathéoriedesgroupes estdonc cruci alepour

dégagerlesthéoriesd elaphy sique.Ainsi,leslois delarel ativit égénérale,leséquationsdeMaxw ell,et

3.Lesfigures sont cell esduNewYorkTimes

4.Ai nsiappeléenl'honneurdeRichardBuckminsterFu ller(1895-1983),l econcepteurdel abiosphère.

14CHAPITRE1.GROUPES

leséquat ionsdeDiracdécrivantlespro priétésd esélectronssont"in variantes»pourlestrans formati ons

dugrou pedeLorentz 5 .Grâ ceàcefait,on peut fort ementcirconscrir eleurfor mulation. Voilàpourquoi plusieurslivresdelaphysiq uemoderneamorcent leursexp osésavec lathéoriedesgroupes.

Figure1.4-Form ede lamoléculeC

60
,labuckminsterfullerène,et lab iosphèr e.

1.2Définition degroupes

Lathéor iedesgroupesestnéede laconver gencedeplu- sieursdomaines:t héoriedesnombres,géométri e,r ésolution d'équationsalgébriques,etc.Elles 'estdégagéedanslase- condemoitiédu 19esiècle.C'estàGaloisq u'ondo itleterme "gr oupe»,qu'ilautilis éunpeu ausensde"regroupem ent» pourdestransfo rmatio ns.Ons'estensuiteaperçuqu'elleper- mettaitd'unifierplusi eursnotionsconsidéréesàl' époque,pour autantqu'onenisole lespropriétéscorr ectemen t.Ontrouve beaucoupdesnotionsmo dernessu rlesgroupesdansleTraité dessubstitutionset desé quationsalgébriquespubliéen1870 parJ ordan 6 .Ab straitementdonc,ungroupeestsimplement unensemb lemunid'uneopérati onavecdebonnes propriétés. Dansunpremiert emps,no usallonsendonner unedescription précise,pourensuite donnercorpsàl anotionenprésentant unefamille d'exemplestypiques.En cesens,onprocèdedonc àl' inversedecequis'estproduit histor iqu ement.

6.CamilleJordan,(1838-1922).

1.2.DÉFINITI ONDEGROUPES15

Loide composition, ouopération.Pourlasuite,o nsuppo sequeEestunens embleno nvide. onutil isesouventunenotation infixe,c' est-à-direque

Parmilesloisdeco mposit ion,certainespo ssèdent despropriétésparticulièresquilesrendent plus

intéressantes.Lechoixdecespropriétésn'es tpasar bitraire.Ene et,c'est unevasteexpér ience

mathématiquequiapermisdedégagerqu'el lessontlesp rop riétésquidonnentà uneloi decomposition

unestruct uresu sammentrichepourqu 'elleaitunimpact importantsur l'étuded'uncontexted ans lequelelleappar aît.Nous auronsmaintesfoisl'occasiondeco nstaterqu'une foismisesenévidenceces puisqu'iln'yapasd'ambiguït ésurlafaço nde fairelecalcu l.Bienentendu,touteslesloisnesontpas associatives.

Exemples.Parexemple,o na

(a)Lesopéra tionsusuellesd'addition"`»etd emu ltipli cation"¨»d' entiers(dansZ)so nttoutes

deuxcommuta tivesetassociatives.Ilenestdemêmepo urlesent iersmodulon,c.- à-d.dans Z n "Z{nZ.Da nscequisuit,o nsu pposeque l'ensembleZ n estident ifié 7

àt0,1,...,nu.

(b)Laloid ecompositi on':px,yq"Ñxy`1surNestcomm utative,maispasassociative.Ene!et, pourx,y,zPN,ona px'yq'z"pxy`1q'z"pxy`1qz`1"xyz`z`1,et x'py'zq"x'pyz`1q"xpyz`1q"xyz`x`1.

Lesrésu ltatssontdoncsontmanifestemen tdi

érentsix#"z.

(c)Onvérifi efacilementquel'op érationx'y:"x y ,pourxetydansN,n 'estniassociat iveni commutative. (d)Dansl'ensemble M n pRqdesmatr icesnˆnàcoe "cientsréels,l' additionestunelo iassociative etcom mutative,tandisquelamultiplicat ionestuneloiassocia tive,maisp ascommu tativeen général(voirExercice 1.16).

7.C' estunlégerabusdelangage quis erarediscutéauChapi tre4.

16CHAPITRE1.GROUPES

8 uneopérati onsurAcarlafo nction Ene

x,y,zPAsous-ensembledeE.O nconsta tedelamêmemanièrequela commuta tivité esthéréditaire.

Nousauronsp lusieursexemplesdecette situationdanscequisuit.Co nsidérécommesous-ens emblede

Z,l' ensembleZ

(desentiersn onnuls)eststabl epourlamu ltiplication,ma isZ n'estpasstabl epour Élémentneutre,etmonoïdes .Toutcommec'estl ecasde1pourlamulti plicati onusuelle,oude associativequiadmetunélémentneutre.U nmonoïdees tditcommutatif,si l'opér ationestdeplus eete 1 1 "e 1 1 ,etd onc eete 1 coïncidentforcément.Ilestclai r

apprendquelesopératio nsdepZ,`qetpQ,¨qsontcommutat ives.Enalgèbrelinéaireonestconfronté

(souventpourlapremièrefo is)àuneopérat ionno ncommutative:lamult iplicationde mat rices. Élémentsinversibles,etg roupes.Uneautrefa çondeconcevoirladi visionden ombresx{y(resp.la

soustractionx´y)etd epen serqu' ellecorrespondà lamultiplicationde xpar"l'inv erse »multiplicatif

1{y,dey(resp.l'additio ndel'inverseadditif´y).Cette approchees tplusnaturellelorsqu'onc hercheà

,¨q,l' inversedexest

1{x.Da nsunpremiercour sd'al gèbrelinéaire,onmo ntrequ'unem atricenˆnréelleestinvers iblepo ur

lamult iplicationdematrices,sietseulementsisondétermin antest nonnul.Ondésignehabit uellement parGL n pRql'ensembledesmatricesréellesded étermina ntnonnul. Noussommesmai ntenantprêtsàdon nerunedéfinitionprécisedelanoti ondegroupe.On di tque 9 etpQ ,¨qsontdesgroupes abéliens ,maispGL n pRq,¨qnel'est pas.

8.Ri goureusementparlant,ondevraitdénoter'|AˆAlarest rictionde'àA,ma isiln'yapas risque deconfusio n.

9.Dum athématici ennorvégienNielsH.Ab el(1802-1829).

1.2.DÉFINITI ONDEGROUPES17

Notredéfinitionde groupeestnaturelle,maislégèr ementredo ndante.Poursimplifi erletra vail devérifi cationqu'onabienungroupepG,'q,il estparfo isutil edelareformulerunpeu. Defaçon

inversible(aussiàdroiteauta ntqu'àgauche).Parhy po thèse,chaquexPGadmetuninvers eàgauc he

calculealorsque

cequ idonnelap ropriétédésirée.De façontrès semblable,pourvoirquee(l'élémentneutreàgauche)

estaus siélémentneutreàdro ite,oncalcule commesuit.PourxPG,on saitma intenantqu'i lexiste existe,estunique.En e!et,pour xPE,siy,y 1

PEdeuxinvers espotentiels,alors

1 1 1 "y 1 Ilsont doncforcémentéga ux.Onpeutdonc parlerdel'inverse 10 dex,eto nl enoterx.On vérifie facilement(voirExercice1.3)que r rx"x,etre"e.(1.1)

Ondéno teparE

l'ensembledesélémentsinvers iblesdeE: E :"txPE|xestinv ersibleu.(1.2) Lapro positionsuivantefournitunoutilgénér alpour"construire»desgrou pes.

Démonstration.Ilfautm ontrerque

10.Las ubtili térésidedansl'utilisationdu" l»-apostrophe,quisoul ignel 'unicité.

18CHAPITRE1.GROUPES

;en d'autr estermes,queE (3)ToutélémentdeE estinver sible.

Montronsd'abord(1).Ilsu

E.Ona E estinver sible,cequimontre(iii).

Montronsmaintenant(2).On saitqueE

etdo ncpE Notationadditive etmultiplicativedesgroupes.Lesconventionssuivantessontd'uneutili-

sationgénéralisée,etpra tiquesionencomprendbienlesen s. Cependant,ellesmènentparfoisàla

confusionsionenignorela portée.L orsque leco ntexteestclair,ondit souvent queGestun"g roupe» (sansmentionnerl' opération),aulieudepG,¨q.Sa ufmentioncont raire,onnotehabitu ellementles opérationsdegroupesmultiplicativement:px,yq"Ñxy,eto ndi tqueces ontdesproduits 11 .De plus,onécritx ´1 "rxpourl'invers edexPG,etl 'élém entneutreestnoté1,ou1 G .Da nslecasspécial onditq uecesontd essommes.On écritalo rs´x"rxpourl'inverse dexPG,ap peléaussiopposé dex,et l'élément neutreestnoté0,ou0 G

1.3Exemplesc lassiques

Lesexempl esclassiquessuiva nts(certainsdéjàmentionnés)ap paraissentnaturellementdansd ivers

contextesdesmathémati ques.Leurva riétésoulignel'importancedelanotiond egroupe.Év idemment,

lespremi ersexemplessontlesplu ssimples. L'additiondenombres .L'additiondenombrescomplexespa,bq"Ña`bestune loidecompo sition surC,etpC,`qestungr oupeab éliend'élémentneutre0.De même (a)pN,`q,pZquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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