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Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 1

TRAVAUX DIRIGES

DE

BIOSTATISTIQUES

Jean-Marc Labatte

UFR Sciences, Université d'Angers

Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 2

TRAVAUX DIRIGES I - Statistiques descriptives

Exercice 1 Les bases

Pour chacune des variables ci-dessous, indiquer leur nature (quantitatives ou qualitatives), préciser

les paramètres statistiques et les représentations graphiques adaptés.

Nature de la

variableParamètres statistiquesReprésentation graphique

Les marques des voitures garées

sur un parking de supermarché

Les nationalités des touristes se

rendant au festival de Bayreuth.

L'âge des auditeurs de Radio rap

Les températures matinales relevées

chaque jour à Annecy

La hauteur des précipitations s

tombées chaque mois à Lyon.

Les notes sur 20 obtenues en

biologie par les élèves de quatrième Exercice 2 Dans les situations suivantes : •Calculer les paramètres statistiques pertinents, •Proposer une représentation graphique adaptée, •proposer une question pertinente à laquelle pourrait répondre le données..

1.Situation 1

On demande à des individus salariés s'ils sont opposés (0), indifférents (1) ou favorables (2) à la

suppression d'un jour férié en solidarité. On obtient les réponses suivantes :

1 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 1 1 1 0 2 1 2 2 0

2.Situation 2

La créatine phosphokinase (CPK) est une enzyme essentielle dans le métabolisme énergétique

musculaire. Elle peut être employée comme marqueur biologique des lésions musculaires et permet

d'apprécier dans le suivi d'un groupe de sportifs la tolérance de la préparation musculaire vis-à-vis

de l'intensité et des types de travail. On considère des valeurs de CPK de l'ordre de 1000 (en UI/l)

comme importantes. On présente ici les valeurs de CPK relevées -chez 5 footballeurs d'une équipe de Ligue 1 : 180 220 392 266 387 -chez 5 tennismen : 332 405 308 507 376

3.Situation 3

Sur un échantillon de huit coureurs réalisant tous moins de 1h15 au semi marathon, on a relevé la

VO2max, la vVO2max (plus petite vitesse qui sollicite VO2max) et tlim100, c'est-à-dire le temps limite

en secondes tenu à vVO2max. On trouve les seize données de tlim100 :

289 189 283 367 ; 227 332 158 180 ;

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TRAVAUX DIRIGES II - Tests élémentaires

Exercice 3 Test de conformité d'une proportion

Afin de tester une solution toxique, on fait des injections à un groupe de 80 souris. On admet que

l'injection est mortelle dans 80% des cas. Le fait que 22 souris ne soient pas mortes est-il compatible au seuil 5% avec cette hypothèse ? Exercice 4 Test de conformité d'une proportion Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95% pour la proportion des étudiants ayant un

quotient d'intelligence (Q.I.) dépassant 120 sachant que sur 160 étudiants de cet établissement, on a

compté 40 élèves ayant un Q.I. supérieur à 120. Le taux observé est-il conforme au taux national de

30%?
Exercice 5 Test de conformité d'une proportion

Une anomalie génétique touche en France 1/1000 des individus. On a constaté dans une région

donnée : 57 personnes atteintes sur 50 000 naissances. Cette région est-elle représentative de la

France entière ?

Exemple 6 Comparaison de deux populations (à la main) Dans un échantillon de 1000 personnes on observe 40% de fumeurs. Parmi les fumeurs 175 sont

malades et 180 parmi les non fumeurs. Y-a-t-il indépendance entre la maladie et le fait de fumer?

Saisie d'un tableau de contingence

menu statistiques tableau de contingence saisir

Exemple 7 Conformité d'une distribution

Au cours d'une semaine, on observe 41 accidents le dimanche, 24 le lundi, 22 le mardi, 27 le mercredi, 25 le jeudi, 31 le vendredi et 40 le samedi. Le nombre d'accidents journaliers est-il indépendant du jour?

Exercice 8 Tests du Chi²

Dans chacun des exercices ci-dessous :

1. Formuler l'hypothèse nulle testée.

2. Rappeler les conditions d'applications du test.

3. Interpréter les résultats obtenus.

A. Un traitement est administré à trois doses différentes D 1, D 2, D 3, à un groupe de sujets atteints

d'une même maladie. L'expérimentation est faite en double aveugle. On compte le nombre de guérisons pour chaque dose. Les résultats sont les suivants : guérisnon guérisTotal

Dose D 1303060

Dose D 2423577

Dose D 3583189

Total13096226

L'efficacité du traitement est-elle liée à la dose utilisée ? Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 4

D. Sur un échantillon de la population française, on a noté pour chaque personne, la couleur des

yeux et celle des cheveux (naturelle). Peut-on conclure à l'indépendance de ces deux caractères

qualitatifs ?

Cheveux

YeuxNoirsBrunsBlondsRoux

Marrons1522478311

Vert-gris73114378

Bleus3610212710

E. L'analyse du polymorphisme de l'enzyme estérase 1 dans un échantillon de 300 personnes a

révélé l'existence de 3 niveaux de migration (E1, E2 et E3) à l'origine de 6 génotypes dont les

effectifs sont les suivants : E1E1 = 72, E2E2 =24, E3E3 = 15, E1E2 = 99, E1E3 = 57, E2E3= 33 Cette population suit-elle la loi de Hardy-Weinberg ? Exercice 9 Intervalle de confiance (à la main)

Une association de consommateurs a effectué une enquête sur le prix des pellicules photo dans les

supermarchés. Pour l'une des pellicules choisies, les prix suivants ont été relevés dans 6

supermarchés différents :

8 € - 8 € - 6 € - 7 € - 10 € - 9 €

En supposant que le prix de cette pellicule se comporte comme une variable aléatoire normale X, -calculer une estimation de la moyenne et de l'écart-type, -donner les intervalles de confiance à 90 et 95% pour la moyenne. Exemple 10 Statistiques descriptives et variables quantitatives Un échantillon de 20 poissons de la même espèce a fourni les poids suivant (en g)

61829297101104109118131155

10511012113816674859399102

1.Présenter une synthèse de ce tableau (graphiques et paramètres)

2.La distribution de cette variable peut-elle être considérée comme normale ?

2.Déterminer un intervalle de confiance à 95% de la moyenne.

3.La moyenne est-elle significativement différente de 100 avec un risque de 5% ? de 1%

Exercice 11 Test de conformité d'une moyenne

Chez les sujets normaux, le dosage de l'activité d'un enzyme suit une loi normale d'espérance 10,7

et d'écart-type inconnu. Une série de dosages effectués sur une même personne a donné :

12,9 ; 8,7; 9,0; 1,2; 2,7; 9,7; 9,1;10,3

Cette personne peut-elle être considérée comme normale ? Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 5 Exercice 12 Comparaison de moyennes (à la main) On souhaite comparer deux méthodes pédagogiques pour la lecture. Pour cela on a formé deux

groupes d'enfants, le premier groupe est soumis à la méthode dite classique et le second à la

méthode moderne. Les notes obtenues en fin d'année scolaire sont les suivantes :

Groupe 1 : 15 18 17 18 17 19 16 17 14 19

Groupe 2 : 20 16 19 16 18 17 16 20 21 17

On supposera que ces notes sont des réalisations de variables aléatoires normales indépendantes.

1- Donner une estimation ponctuelle des moyennes et écart-types de chaque groupe.

3- Peut-on conclure au seuil 0,05 que ces deux méthodes donnent des résultats significativement

différents?

4- Peut-on conclure au seuil 0,05 que la méthode moderne donne en moyenne de meilleurs

résultats?

5- Mêmes questions avec n1 = 38, n2 = 39, x = 18:9, s1 = 2:5, y = 21:5 et s2 = 2:8

Exercice 13 Comparaison de moyennes (à la main) Parmi des enfants présentant des troubles du comportement on en choisit 18 au hasard que l'on répartit en deux groupes A et B. Au groupe A on projette un film d'aventure et au groupe B on projette un documentaire sur la montagne . Pendant les six heures qui suivent la projection, on dénombre les comportements agressifs de chacun des enfants des deux groupes.

A254017850193372888

B206525334015917

1.On suppose que les conditions d'application sont vérifiées pour un test t. Rappelez ces

conditions.

2.Peut-on dire alors que la nature de la projection a exercé une influence sur le comportement

agressif des enfants ?

3.En fait, les conditions d'application (normalité et égalité de variances) ne sont pas vérifiées,

quelle alternative proposez vous?

Exemple 14 Comparaison de deux populations

Longueur de la mâchoire inférieure (en mm) de 10 chacals mâles et 10 chacals femelles mâle120107110116114111113117114112 femelle110111107108110105107106111111

Saisie des données quantitative :

Utiliser dans Rcommander le menu donnée nouveau. Ici, les données ne sont pas appariées. Pour la saisie : - il faut créer une colonne var1 avec 1 pour male et 2 femelle et un colonne var2 pour les longueurs. - Ensuite, il faut transformer var1 en un facteur, avec le menu donnee gérer les variables convertir. - cliquer sur var1 et var2 pour changer le noms (sexe, longueur). Quand les données sont appariées, il faut saisir deux colonnes, l'une avant, l'autre après.

1. Décrire les données dans chacune des populations.

Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 6

2. Vérification des hypothèses

a. Les distributions peuvent-elles êtres considérées comme normales ? b. Les variances peuvent-elles être considérées comme égales?

3. Test d'égalité de la moyenne

a. Peut-on utiliser un test paramétrique? lequel ? L'appliquer? b. Proposer un autre test. Exemple 15 Transformation des données (mouche.txt) Les données décrivent le nombre de mouches émergeant selon le milieu de culture. milieuAAAAAAAAAAAAAAA

N011111222222444

milieuBBBBBBBBBBBBBBB

N7789910101011121314151616

1/ L'hypothèse d'égalité de variance est-elle acceptable?

2/ Reprendre l'étude en posant Y= log(N)

Exemple 16 Comparaison de deux populations

Temps de survie (en jours) de patients atteints d'un cancer et traités par un médicament donné en

fonction de l'origine du cancer: Reprendre les questions de l'exemple précédent.

Exemple 17 Comparaison de deux populations

Dans le but d'étudier l'influence du type d'atmosphère d'élevage sur la durée de développement des

drosophiles femelles, ces dernières ont été élevées à 14°C sous atmosphère normale (N) ou enrichie

en C02 (C02). Les résultats suivants ont été obtenus : N864, 768, 912, 804, 924, 984, 888, 816, 840, 936, 792, 876 C02840, 948, 936, 1032, 912, 948, 1020, 936, 1056, 876, 1032, 918

Que peut-on conclure ?

Exercice 18 Comparaison de moyennes (à la main)

Un psychologue qui participe à la gestion d'un foyer pour délinquants juvéniles veut montrer que le

passage en foyer permet de réduire la délinquance. Il s'intéresse à un échantillon de 12 adolescents

considérés comme délinquants. La variable indicatrice retenue est le nombre de jours d'absentéisme

scolaire enregistré -durant le semestre précédant le placement en foyer -durant le semestre suivant le départ du foyer

Les données recueillies sont les suivantes

Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 7

Ado123456789101112

Avant101112185131891310718

Après981013981369533

Le placement en foyer a-t-il une influence significative ?

Exercice 19 Comparaison de moyennes

A. Pour étudier l'action d'un produit sur un paramètre biologique, on a mesuré, sur un échantillon de

10 individus, la valeur du paramètre avant et après le traitement. Les résultats sont les suivants :

Individu12345678910

Valeur avant traitement5,336,135,664,505,356,324,245,836,274,86 Valeur après traitement5,326,005,644,595,496,174,115,866,134,68 Le traitement modifie-t-il de façon significative le paramètre biologique (a = 5 % ) ? B. Un laboratoire de recherche et développement a mis au point un nouveau processus de

production permettant d'accroître, on l'espère, la résistance de la corde de nylon. A partir de 6

fournées choisies au hasard, il teste le nouveau processus sur chaque demi-fournée et l'ancien processus sur chacune des demi-fournées restantes. On enregistre ainsi la force de rupture d'une corde testée à partir de chaque demi-fournée :

Fournée123456

Ancien620600640630570600

Nouveau660620670620580630

Construire un intervalle de confiance pour apprécier l'amélioration due au nouveau processus?

C. Plusieurs sujets sont choisis au hasard dans une population et, parmi ceux-ci, certains sont tirés

au sort pour recevoir un traitement (Groupe A), les autres devant servir de témoins (Groupe B). Le traitement est censé modifier le résultat d'un dosage biologique. Les résultats, exprimés en mg/l, sont les suivants :

Groupe A6,505,508,007,006,00

Groupe B7,008,508,007,509,007,208,20

a) Quel test choisir ? b) Préciser les hypothèses (H 0) et (H 1). c) Rappeler, éventuellement, les conditions d'application du test utilisé. d) Peut-on admettre (a = 5%), que le traitement modifie le paramètre biologique ? Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 8

TRAVAUX DIRIGES III - Régression linéaire

Exemple 20 Régression

On mesure, sur un ensemble de volontaires, une note de stress (X) et le nombre de consultations Y au cours des trois mois suivants le passage du test de stress. On trouve :

X010145203122221

Y12325231516

1.Existe-t-il une liaison significative entre le stress et les consultations ?

2.Une note de stress de 10 conduit à combien de consultations en moyenne?

Exemple 21 Régression

On désire étudier la relation entre la consommation quotidienne de cigarettes et l'espérance de vie.

On a réalisé une enquête auprès de 15 sujets dont voici les résultats :

Consommation journalière8221814142703162105812

Age du décès727468758476707985728472838477

3.Existe-t-il une liaison significative ?

4.Calculer le nombre d'années perdues en fumant 2, 10 et 20 cigarettes?

5.Quelle conclusion en tirez-vous?

Exemple 22 Transformation des variables

On étudie l'influence d'un antibiotique sur une culture bactérienne.

Partie A:

On répartit dans 10 tubes des volumes égaux de culture additionnées d'une quantité X

d'antibiotique, et on mesure, après incubation, la densité optique D. La densité optique permet de

déterminer la concentration en bactérie du milieu de culture.

Antibiotique X0,20,20,40,40,60,60,80,811

densité optique D192135386466115130200210

a/ Construire le nuage des points M de coordonnées (Xi ;Di) représentant la densité optique en

fonction de la concentration d'antibiotique (les deux premiers points sont construits). b/ Un ajustement linéaire semble-t-il justifié ?

Partie B: On reprend l'analyse en posant Z=ln D.

a/ Reprendre les questions a et b de la partie A. b/ En déduire une expression de D en fonction de X. Justifier le modèle utilisé.

c/ Vérifier les hypothèses du modèle: indépendance, normalité, stabilité de la variance.

Exemple 23

Les données expérimentales sont la concentrations initiales en substrat, s, et les vitesses initiales v.

On souhaite étudier la relation existant entre s et v. (v=f(s)). Effectuer les changements de variables 1/s et 1/v et conclure. Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 9 sv

0.00520.866

0.01041.466

0.02082.114

0.04162.666

0.08333.236

0.16703.636

0.33303.636

Exemple 24 Pratique de la régression simple

1. Reprendre l'exemple Crabs dans library MASS.

a. Etudier FL en fonction de CW. Le modèle est-il validé? b. Etudier log(FL) en fonction de log(CW) (statistiques - ajustement du modèle - modèle).

2. Prendre l'exemple ironslag dans library DAAG et étudier chemical en fonction de magnetic.

Pour linéariser la relation, il est possible de remplacer Y=chemical par Y^2 ou poly(Y,2).

3. Etude de la taille du mari en fonction de celle de la femme.

Charger le fichier :

heights.table = read.table('http://www-stat.stanford.edu/~jtaylo/courses/stats191/data/heights.table',

header=T, sep=',')

4. Utiliser l'exemple cars dans Dataset et étudier dist en fonction de speed.

5. Utiliser l'exemple anscombe dans Dataset et étudier Yi en fonction de Xi.

Exemple 25 Les pièges de la régression (tomassone.txt)

On propose ci-dessous un fichier de données contenant une variable explicative X et 4 variables Y1

à Y4.

XY1Y2Y3Y4

75.530.117.43.86

89.943.778.554.94

94.257.438.477.5

108.668.799.628.58

1210.7412.6910.6912.22

1315.1412.8910.618.84

1413.9414.2510.539.92

149.4516.5511.7515.86

157.1215.6211.6813.97

1713.6917.2112.7419.09

1818.116.2813.8917.2

1911.2817.6512.5912.33

1921.3614.2115.0419.76

2015.6915.5813.7416.38

2118.9814.6514.8818.94

2317.6913.9529.4312.19

Pour chacune des variables Y, effectuer la régression de Y sur X.

Identifier alors si la régression vous semble correcte, sinon quel est le problème rencontré et

Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 10 proposer une solution possible

Parmi les solutions possibles ici :

Y ~ poly(X,2,raw=T) (Y=a+bX+cX²)

Suppression d'une valeur aberrante

Exemple 26 Quatre caractères A (PIB par habitant en dollars), B (taux de croissance de la

population en 1/1000), X (taux de mortalité infantile en 1/1000), Y (taux d'analphabétisme en 1/100)

ont été mesurés dans 10 pays choisis au hasard dans une liste de pays.

Les résultats sont les suivants :

Pays12345678910

A33015 5221 8539 8574 5628642602 2641 716155

B 306171092518121627

X14384210291041214433150

Y90,20,97,70,90,865,057,65,38,366,8

Les deux variables A et B sont les variables explicatives, les variables X et Y sont les variables à

expliquer.

Exemple 27 Pollution (airpolll.txt)

Le tableau analysé décrit la pollution en SO2 (mg/L) en fonction de la température moyenne, du

nombre d'entreprises (PME), de la population (en milliers), de la vitesse du vent (miles/h) et du

nombre de jours de précipitation annuels dans 41 villes américaines (Biometry, Sokal et Rohlf, ed

Freeman).

T°CMPEPOPWINDPRECSO2

Phoenix70.321358263610

Déterminer à l'aide d'une régression multiple le modèle le mieux adaptés

Exemple 28 Crise cardiaque (coeur.txt)

Les données présentent le taux de décès par attaques cardiaques chez les hommes de 55 à 59 ans

dans 22 différents pays. Les variables sont: -Y : 100 [log(nombre de décès par crise cardiaque pour 100 000 hommes de 55 à 59 ans) -2]; -X1 : nombre de téléphone pour 1 000 habitants; -X2 : calories grasses en pourcentage du total des calories ; -X3 : calories provenant de protéines animales en pourcentage du total de calories. Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 11

Travaux dirigés IV : Analyse de variance

Exemple 29 Anova à un facteur (à la main)

On relève par un score Y les croyances au surnaturel dans différents pays. La variable pays sera

notée P . On trouve les valeurs suivantes :

FranceBelgiqueLuxembourg

241
552
773
863
652
743
747
Conclure en supposant les conditions d'application vérifiées. Exemple 30 Anova à un facteur (à la main)

On mesure par une note de qualité Q l'efficacité de différentes thérapies pour lutter contre la

dépression nerveuse. On trouve les valeurs suivantes :

COPSTE

367
527
436
553
670
771

CO : thérapie cognitive

PS : thérapie psychanalytique

TE : témoin (la "thérapie" consiste à discuter avec un acteur qui ne connaît pas la psychologie).

Conclure en supposant les conditions d'application vérifiées.

Exemple 31 Nature du sol (sol.txt)

Pour définir l'impact de la nature du sol sur la croissance d'une plante X, un botaniste a mesuré la

hauteur des plantes pour 4 types de sol. Pour chaque type de sol, il disposait de 3 réplicats. type1234 rep 115251710 rep 29212313 rep 34192016 Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 12 La croissance de plante X est-elle dépendante de la nature du sol ? a.quelle technique proposée vous ? b. Préciser le modèle utilisé. c.Quelle est (sont) l'hypothèse testée ? d.Quel modèle proposez-vous? Justifier votre réponse. e. Quelles sont les conditions d'application de la technique utilisée à vérifier ? Ces conditions sont-elles vérifiées ? f.Commenter les résultats obtenus.

Exemple 32 Rendement (céréale.txt)

Le rendement céréalier a été mesuré pour quatre variétés différentes de blé. Les résultats obtenus sont les suivants:

III IIIIV

50525753

54566047

53575947

51606249

49566448

52555852

51536350

55546146

Exemple 33 Pluie acide (acide.txt)

Dans une étude sur l'impact des pluies acides sur l'écologie des lacs du massif des Laurentides

(Québec), l'effet des acides sulfurique et nitrique a été analysée dans 4 ruisseaux expérimentaux. Le

premier ruisseau a été acidifié au H2SO4 et HNO3, le second au H2SO4, le troisième au HNO3. Le

quatrième ruisseau a servi de ruisseau témoin. Après une période expérimentale d'acidification de

48 heures, la concentration en chlorophylle a (m l l-1) a été mesurée dans chacun des ruisseaux.

Pour chaque ruisseau, 5 mesures ont été réalisées.

H2SO4/H2NO3AcidifiéNon acidifié

Acidifié1,541,65

1,51,5

0,991,18

1,522,19

1,881,11

Non acidifié1,553,28

1,162,94

1,993,5

1,223,07

1,953,04

Analyser les résultats à l'instar du I. Commenter l'effet de l'interaction des deux acides. Université d'Angers, Master TVPSTP Analyse de données p. 13

Exemple 34 Patelle (oxygène.txt)

La quantité d'oxygène consommée (ml O2 mg-1 min-1) par deux espèces de patelle, Acmaea scabra

et A. digitalis a été analysée pour différentes conditions halines. Les résultats suivants ont été

obtenus: % d'eau de mer100 75 50 Analyser les résultats obtenus au cours de cette expérience.

Exemple 35 Café

Exemple 36 Vache et lait (vache.txt)

Dans le but d'optimiser sa production, une coopérative laitiére a été amenée à doser la quantité de

matière grasse (%) présente dans le lait de vaches appartenant à 4 races distinctes. Pour chaque race,

des vaches âgées de 2 et 5 ans ont été sélectionnées. Cinq échantillons de lait ont été analysés pour

chaque couple race/âge. Les résultats obtenus sont présentés ci-dessous:

AyrshireGuernseyHolsteinJersey

2 ans3,744,543,44,8

4,015,183,556,45

3,775,753,835,18

3,785,043,954,49

4,104,644,435,24

5 ans4,445,33,795,75

4,374,53,665,14

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