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Cours de Mr JULES v4.7 Classe de Quatrième Contrat 5 Page 1 sur 16

NOM et Prénom 4ème

LES REGLES DU CALCUL LITTERAL

" Les Mathématiques sont des inventions très subtiles et qui peuvent beaucoup servir, tant à contenter les curieux qu'à faciliter tous les arts et à diminuer le travail des hommes. » Descartes1 I. Expressions littérales : un truc pas si nouveau ! __________________________________________ 2 II. Simplification d'écriture des produits. __________________________________________________ 3

III. Simplification des sommes algébriques : Réduction. _____________________________________ 4

IV. _______________________________________ 5

V. 2 types de développement. ____________________________________________________________ 6 VI. ème). __________________________________________ 7

VII. Exercices récapitulatifs sur la distributivité. ___________________________________________ 8

VIII. _________________________________________ 10 IX. Travail de TA. __________________________________________________________________ 15

X. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________ 16

Pré-requis pour prendre un bon départ :

Nombres décimaux relatifs

Fractions

Puissances : définition, propriétés, opérations etc.

1 Descartes : grand philosophe et mathématicien français du XVIIème siècle.

Auteur de la célèbre maxime : " Cogito ergo sum » ( (esprit cartésien : esprit rationnel qui pense que toute chose est une conséquence résultant de causes). Cours de Mr JULES v4.7 Classe de Quatrième Contrat 5 Page 2 sur 16 I. EXPRESSIONS LITTERALES : UN TRUC PAS SI NOUVEAU !

Définition : Une expression est dite littérale lorsque des quantités sont représentées par des lettres.

Les expressions littérales ne sont pas si nouvelles que cela ! On a déjà utilisé des lettres :

A. Pour énoncer une formule afin de généraliser :

Plutôt longuement en français :

o " La longueur L d'un cercle est égale au produit de par le diamètre D du cercle », on a la formule littérale suivante : L(cercle) = D = 2R (classe de Sixième)

o " La somme de 2 fractions de même dénominateur est égale à la fraction dont le numérateur est la somme

des numérateurs et dont le dénominateur est le dénominateur commun. » on a la formule littérale suivante : a d b d ab d (classe de Cinquième) B. Pour désigner une quantité inconnue dans une égalité2 :

Soit un triangle équilatéral de périmètre égal à 2,1 cm. On veut trouver la longueur commune de chacun des

3 côtés de ce triangle équilatéral. Appelons L cette longueur inconnue :

galité : 3 L = 2,1.

C. Pour exprimer " en fonction de » :

On connaît la formule de l'aire A A (disque) = R².

Sachant que R est la moitié du diamètre D, on peut exprimer l'aire du disque en fonction du diamètre D :

A (disque) =

D 2 = D 2 D

2 = D²

4 D. Ecritures littérales déjà rencontrées :

Soient a et b 2 nombres, alors :

a + b ou b + a désigne leur somme. a b ou b a -a et - 1 a et 1 b D'autres écritures littérales on peut décrire en français :

2a le double de a

a/2

2n avec n entier un nombre pair

2n + 1 avec n entier

( a + b )² a² + b² Quels sont les avantages des écritures littérales par rapport au français ?

2 Une égalité : " Les Equations ».

Cours de Mr JULES v4.7 Classe de Quatrième Contrat 5 Page 3 sur 16

E. 2 types de lettres utilisées :

Quand fixée, on dit que cette lettre est une constante : La valeur de la lettre reste TOUJOURS la même !

Si au contraire, une lettre représente une quantité, dont la valeur peut varier, on dit que cette lettre est une

variable : La valeur de la lettre peut changer ! Exemple : Reprenons la formule de l'aire A d'un disque : A (disque) = R². Dans cette formule :

La valeur de ne change pas quel que soit le disque ! (Ce n'est que l'arrondi que l'on choisit pour qui

peut varier, suivant la précision souhaitée.) La lettre

La valeur de R (la longueur du rayon) change suivant le disque considéré. La lettre R est donc une

II. SIMPLIFICATION D'ECRITURE DES PRODUITS.

Afin d'alléger les écritures des produits (et seulement pour eux !), on adopte les conventions suivantes :

A. Ordre des facteurs dans un produit :

1. Le produit des nombres isolés hors parenthèses.

2. Puis le produit des lettres isolées hors parenthèses écrites dans l'ordre alphabétique.

3. Puis le produit des parenthèses écrites dans

B. Disparition du signe " » dans un produit : Le signe de la multiplication " » disparaît : entre 2 lettres : ex : a b ou b a s'écrit de la seule façon entre un nombre et une lettre : ex : 3 a ou a 3 s'écrit de la seule façon entre des nombres, des lettres et des parenthèses : ex : ( 2f + 1 ) 4 a Le signe " » disparaît toujours, sauf entre 2 nombres pour lesquels on calcule leur produit.

Enfin, 1 Ex : 1 y 1

(-1) Ex : (-1) (-1) a 1

Ex : z

1 -h

1 b + 1

1 Cours de Mr JULES v4.7 Classe de Quatrième Contrat 5 Page 4 sur 16 Application : Simplifier les écritures des produits suivants. Méthode : 2 c (u + 5) 7b = 2 7 b c (u + 5) I !! = 14 bc (u + 5). On a supprimé les signes " » inutiles, sauf entre 2 nombres. k 2 7b ( x + 2 ) 5 a t 2 f y 2 a b 4 (y + 3) a (y + 5) z (-f 3) 2k III. SIMPLIFICATION DES SOMMES ALGEBRIQUES : REDUCTION. A. Rappel Somme algébrique : définition (5ème).

Une somme algébrique est une suite d'additions et/ou de soustractions de termes littéraux ou numériques.

Exemple : Soit la somme algébrique E = 5 + a² + 3a 2 + 3a² a 7 + 5a² + 10a².

Cette somme algébrique comporte 3 sortes de termes : 4 termes en " a² » (qui sont +a², +3a², +5a² et +10a²) ;

2 termes en " a » (qui sont +3a et a) ; et enfin 3 termes numériques constants (qui sont 5 ; -2 et -7).

B. Réduction des sommes algébriques :

Réduire l'écriture de la somme E, c'est rassembler puis compter ensemble les termes de même sorte.

En reprenant notre somme algébrique E plus haut, on calcule de tête les 3 sortes de termes : + a² + 3a² + 5a² + 10a² = . a² + 3a a 5 2

Puis en rassemblant, on obtient finalement l'écriture réduite ou simplifiée de E : E = 19a² + 2a 4.

C. Ordre dans une somme algébrique :

Dans une somme algébrique :

Les doubles lettres

Puis en dernier les nombres isolés dont on calculera la somme. Application : Réduire en colonnes les sommes algébriques suivantes : Conseil : Entourer couleur les termes de même sorte, avec le signe + ou qui les précède.

M = 7a + 1 3a 5

A = 2a + 6 3a + 3

P = 3y + 2 y 4y

O = 3a 2y + 5 8a + 3y 6

U = 2c 3 + 2a c a a 3

L = 5 + 2ab 10 + a + b 3a + 5ab + 2a

E = 2xy 6z + 8yz xy yz + z

Cours de Mr JULES v4.7 Classe de Quatrième Contrat 5 Page 5 sur 16 S = 2x x² + 3 x 2 x + 3 + 5 x² 1

S = 4x² + 3 x + 2

I = 5 x + 6 x 10 x² + 10 x² + x

I = -11x²+ 6x + 15

IV. o On désire calculer des expressions de type produit par une somme, comme par exemple 3 (5 + ). Et plus généralement de type : k(a + b). k(a + b) se lit " k facteur de (a + b) ». o Illustrons géométriquement sur la figure ci-contre ce produit k (a + b). Pour cela, considérons un grand rectangle de largeur k et de longueur (a + b).

Pour calculer l'aire totale du grand rectangle formé par les 2 petits rectangles et , il y a 2 manières possibles :

1ère manière :

On va calculer la somme des aires des 2 petits rectangles et .

2ème manière :

On va calculer directement l'aire du grand rectangle.

Aire (Rectangle ) =

Aire (Rectangle ) = .

La largeur du grand rectangle vaut

La longueur du grand rectangle vaut

Finalement, Aire (Grand Rectangle) = + Donc, Aire (Grand Rectangle) = .... (

Les 2 calculs permettant évidemment de calculer la même aire du grand rectangle, ces 2 écritures sont donc équivalentes.

On peut donc écrire ...

A. Formule très importante de distributivité : On vient de montrer la formule très importante suivante : Quelques soient les valeurs des 3 quantités k, a et b, on a :

Factorisation

k a + k b = k (a + b)

Développement

Le sens permet de transformer une somme en un produit. c-à-d la

Le sens

c-à-d le

B. 5 remarques sur la distributivité :

Une même expression peut donc avoir 2 formes :

une forme développée ou somme : ka + kb et une forme factorisée ou produit : k (a + b)

Le facteur k facteur commun.

En effet, k est commun aux 2 termes ka et kb. On peut donc factoriser (mettre en commun) k dans ka + kb pour trouver k (a + b).

a b k Cours de Mr JULES v4.7 Classe de Quatrième Contrat 5 Page 6 sur 16 " k (a + b) = ka + kb » :

En effet, quand on développe le produit k (a + b) en la somme ka + kb distribuait » k sur a puis sur b.

Cette égalité de distributivité reste évidemment valable avec la soustraction : k (a b) Evidemment, on a aussi par exemple k (a + b + c d) Cas particuliers importants : signe " + » ou signe " » devant une parenthèse :

+ (a + b) = (+1) (a + b) Un " + » devant une parenthèse revient à multiplier cette parenthèse par (+1).

= (+1) a + (+1) b On a développé en utilisant le sens : k (a + b) = ka + kb. + (a + b) = + a + b

(a + b) = (-1) (a + b) Un " » devant une parenthèse revient à multiplier cette parenthèse par (1).

= (-1) a + (-1) b On a développé en utilisant le sens : k (a + b) = ka + kb. (a + b) = a b

V. 2 TYPES DE DÉVELOPPEMENT.

A. (rappels de 5ème) :

Méthode sur un exemple : On veut développer le produit 2 (3f 5 + 3y) en somme algébrique.

2 ( 3f 5 + 3y ) On

( = 2 3f 2 5 + 2 3y On a développé de tête le produit 2 (3f 5 + 3y) en utilisant le sens . Etape de tête !)

= 6f 10 + 6y On a réduit les écritures des mini-produits en faisant attention aux signes.

Pour simplifier, ON EFFECTUE DIRECTEMENT LES MINI-PRODUITS : 2 3f , 2 5 et 2 3y (no étape !)

Application : Dessiner les flèches de développement. Puis développer et réduire les expressions suivantes.

J = 2 ( a + 5 3b )

E = y + ( -3 + y ) 2

V = -3 ( 3b 8 )

O = x ( y 2x )

U = 2 x + ( y 2x )

S = -6a ( 3a + 2y )

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