Polycopié Probabilités Cours et exercices dhapplications Algérie 2019 PDF

Terminale S - Probabilités Exercices corrigés

On considère deux entiers naturels n et k tels que 2. 1. k n. ? < ? . On dispose d'une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont

Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

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Polycopié Probabilités Cours et exercices dhapplications Algérie 2019

des exercices en se basant directement sur les corrigés. 1.2.2 Tribus et probabilités . ... 1.3.2 Formule des probabilités composées .

Université des Sciences et de la Technologie

Mohamed Boudiaf -Oran-

Faculté des Mathématiques et Informatiques

Département des Mathématiques

HAMDAOUI Abdenour

Polycopié

Probabilités

Cours et exercices d"applications

Algérie 2019

Remerciements

J"exprime mes sincères remerciements à Mr. Mounir TLEMCANI, Professeur à l"université des Sciences et de la Technologie d"Oran-Mohamed Boudiaf-, qui m"a fait l"honneur de bien vouloir expertiser ce modeste travail. Je le remercie particulièrement

pour ses remarques importantes et ses précieux conseils qui m"ont été très béné...que.

Je tiens à exprimer mes respectueux remerciements à Mme. Zohra BENKAMRA, Maitre de Conférences A à l"université des Sciences et de la Technologie d"Oran-Mohamed Boudiaf-, d"avoir accepter d"être expert de mon modeste travail. Je

tiens à la remercier pour le temps qu"elle a consacré à la lecture de ce polycopié avec une

grande précision. Je la remercie également pour ses commentaires et ses suggestions constructifs, ce qui améliora sans aucun doute la qualité de ce travail. 2

Préface

Ce cours à destination des étudiants de deuxième année licence Mathématique LMD, il comporte le module de Probabilités. Il contient l"essentiel de cours avec des exemples. Des exercices d"applications sont proposés avec des solutions en ...n de chaque chapitre pour permettre à l"étudiant de tester ses connaissances et de se préparer aux tests et aux examens ...naux. D"après mon expérience, lors de l"enseignement de ce module durant quelques années,

j"ai décidé de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales liées à

ce module. Vu le programme proposé par le ministère, j"ai partagé ce modeste travail en deux parties essentielles. La première partie contient le chapitre des variables aléatoires dis- crètes et la deuxième comporte le chapitre des variables aléatoires absolument continues. J"ai commencé la présentation de cet ouvrage par un rappel sur les Probabilités et les Probabilités conditionelles (partie enseignée en L1). Ensuite, j"ai présenté les deux autres parties, en respectant le contenu et l"ordre des chapitres suivant le canevas donné par le ministère. En...n, vu les erreurs répétées souvent dans les copies des examens de ce module, j"ai constaté que la majorité des étudiants ne donnent pas l"importance au cours et ils font des exercices en se basant directement sur les corrigés. Je conseille alors les étudiants de lire d"abord le cours attentivement, de faire tous les exemples cités après chaque résultat

donné et en...n de passer à résoudre les exercices proposé sans retourner au corrigé. Les

l"étudiant. Finalement, j"espère que ce petit document peut aider les étudiants qui veulent maîtriser bien cette partie de domaine des Probabilités. 3

Table des Matières

1 Probabilité et Probabilité conditionelle 7

1.1 Analyse combinatoire et denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Permutations avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Arrangements avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Espace de Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Expérience aléatoire, Espace des évènements, Epreuves et évènements 10

1.2.2 Tribus et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 probabilités Conditionelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Théorème des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4 Théorème de Bayes ou formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.5 Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Variables aléatoires discrètes 32

2.1 Dé...nitions et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Loi d"une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Fonction de masse d"une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . 35

2.2.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire discrète . . . . . . . 38

2.2.3 Probabilité attachée à un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Moment d"ordrek;Espérance mathématique et Variance d"une variable

aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Transformation de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Fonctions remarquables liées à une variable aléatoire discrète . . . . . . . . 45

2.5.1 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.2 Fonction génératrice des moments d"une variable aléatoire réelle dis-

crète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.3 Fonction caractéristique d"une variable aléatoire réelle discrète . . . 47

2.6 Quelques lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.2 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6.3 Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.4 Loi Hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6.5 Loi Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.6 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6.7 Approximation d"une loi Binomiale par une loi de Poisson . . . . . 57

2.6.8 Approximation d"une loi Hypergéométrique par une loi Binomiale . 58

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Variables aléatoires absolument continues 78

3.1 Loi de probabilité d"une variable aléatoire absolument continue . . . . . . . 79

3.1.1 Densité de probabilité d"une variable aléatoire absolument continue 79

3.1.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire absolument continue 80

3.1.3 Probabilité attachée à un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Paramètres d"une variable aléatoire absolument continue . . . . . . . . . . 84

3.2.1 Valeur moyenne ou espérance mathématique d"une v.a.r absolument

continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.2 Variance d"une v.a.r absolument continue . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Transformation de variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . 86

3.3.1 Cas discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.2 Cas Continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4 Fonctions remarquables liées à une variable aléatoire absolument continue . 90

3.4.1 Fonction génératrice des moments d"une variable aléatoire absolu-

ment continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.2 Fonction caractéristique d"une variable aléatoire réelle absolument

continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.5 Quelques inégalitées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.1 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.6 Variables aléatoires absoluments continues usuelles . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.1 Loi Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6.2 Loi Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6.3 Loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6.4 Loi Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6.5 Loi de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Chapitre 1

Probabilité et Probabilité

conditionelle

1.1 Analyse combinatoire et denombrement

Le dénombrement s"emploie pour étudier et dénombrer divers types de groupements que l"on peut faire à partir d"ensembles ...nis. Dé...nition 1.1On considère un ensemble ...niEdenéléments distinctsfx1;x2;:::;xng: On appellecardinaldeE;son nombre d"élémentsnet on écritcard(E) =n:

1.1.1 Permutations

Dé...nition 1.2Tout classement ordonné denéléments distincts est unepermutation de cesnéléments. Par exempleaebcdest une permutation des élémentsa;b;c;d;e: Le nombre de permutations denéléments peut être calculé de la façon suivante : il y anplaces possibles pour un premier élément,n1pour un deuxième élément, ..., et il ne restera qu"une place pour le dernier élément restant. On remarque facilement alors qu"il y an(n1)(n2):::21permutations possibles.

On noten(n1)(n2):::21 =n!:Par convention,0! = 1:

Il y a doncn!permutations denéléments distincts. Alors le nombre de permutations denéléments notéPn;égaln!: 7 La réponse estP5= 5! = 120:Donc on peut ranger ces livres dans cette étagère en120

1.1.2 Permutations avec répétition

Dé...nition 1.4Tout classement ordonné denéléments se répartit enkgroupesn1;n2;:::;nk (i.e.n1+n2+:::+nk=n) tel que les éléments de chaque groupe sont indiscernables (identiques), est unepermutation avec répétitionde cesnéléments. Par exemple aababest une permutation avec répétition des élémentsa;a;a;b;b: On peut remarquer facilement que le nombre de permutations avec répétition den

éléments que l"on notera

ePn1;n2;:::;nknest e

Pn1;n2;:::;nkn=n!n

1!n2!:::nk!;

c"est le nombre de toutes les permutations possibles entre lesnéléments (on considère que de chaque groupe. Exemple 1.5De combien de façons peut-on ranger sur une étagère5livres dont deux livres de mathématiques de même copie et les trois autres livres de physiques sont de mêmes copie.

La réponse est

eP2;3

5=5!2!3!= 10:Donc on peut ranger ces livres dans cette étagère

1.1.3 Arrangements

Dé...nition 1.6Unarrangementdepéléments choisis parmisnéléments est une col- lection depobjets pris parmis lesndont on s"interesse à l"ordre d"apparition et chaque élément ne peut apparaitre qu"une seul fois. Le nombre des arrangements depéléments choisis parmisnéléments est notéApn: 8 est A pn=n(n1):::(np+ 1) =n!(np)! La réponse estA310=10!(103)!= 720:Donc on peut construire ce code en720façons Remarque 1.8Une permutation denéléments est un arrangement denéléments choisis parmisn:

1.1.4 Arrangements avec répétition

Dé...nition 1.9Unarrangement avec répétitiondepéléments choisis parmisnélé- ments est une collection depobjets pris parmis lesndont on s"interesse à l"ordre d"apparition et chaque élément peut apparaitre plus d"une fois. Le nombre des arrangements avec répétition depéléments choisis parmisnéléments est noté eApn: nombre des arrangements avec répitition depéléments choisis parmisnéléments est e

Apn=p foisz}|{

nn:::n=np: Exemple 1.10De combien de façons peut-on construire un mot francais de3lettres (on ne s"interesse pas au sens du mot).

La réponse est

1.1.5 Combinaisons

Dé...nition 1.11Unecombinaisondepéléments choisis parmisnéléments est une collection depobjets pris parmis lesndont on ne s"interesse pas à l"ordre d"apparition de ces éléments. 9 Le nombre de combinaisons depéléments choisis parmisnéléments est notéCpn: Si l"on permute les éléments de chaque combinaison, on obtient tous les arrangements. Il y"a doncp!fois plus d"arrangements que de combinaisons, ce qui s"écrit A pn=p!Cpn; d"où le nombre de combinaisons depéléments choisis parmisnéléments est C pn=n!p!(np)!: Exemple 1.12De combien de façons peut-on choisir un comité constitué de3étudiants dans un groupe de20étudiants.

La réponse estC320=20!3!17!

= 1140:Donc on peut construire ce comité en1140façons

1.2 Espace de Probabilité

1.2.1 Expérience aléatoire, Espace des évènements, Epreuves et

évènements

Dé...nition 1.13Uneexpérienceou unphénomèneest ditealéatoire, si on ne peut pas prédire le résultat avec une certitude. Autrement dit si tous les résultats de cette expérience sont régis par le hasard. Exemple 1.14Si on lance un dé équilibré, alors on peut obtenir soit le1;soit le2;...,soit le6:

Dé...nition 1.15L"ensemble de tous les résultats possibles d"une expérience aléatoire est

appelé l"ensemble des résultats possiblesou l"espace des évènementset on le note par Exemple 1.16Reprenons l"exemple 1.14, l"ensemble des résultats possibles est f1;2;3;4;5;6g: 10

Dé...nition 1.17Unévénementest une propriété dont on peut dire si elle est véri...ée

ou non une fois le résultat de l"expérience connu. Mathématiquement, un événement est

caractérisé par l"ensemble des résultats dans lesquels il est réalisé (un tel résultat est alors

appelé une réalisation de l"événement). Ainsi si l"espace des évènements associé à une expérience aléatoire, tout sous ensembleAde est appelléévènement. Exemple 1.181. Reprenons l"exemple 1.14, c"est-à-dire =f1;2;3;4;5;6g: L"événement : "le lancer est un nombre pair" est l"ensemblef2;4;6g: L"événement : "le lancer est un5" est l"ensemblef5g:

2. On lance deux fois un dé, l"espace des évènements

est =f(r1;r2)= r1;r22 f1;2;3;4;5;6gg: L"événement : "le second lancer est un 6" est l"ensemble f(r;6)= r2 f1;2;3;4;5;6gg: L"événement : "le premier lancer est supérieur au second" est l"ensemble f(r1;r2)= r1> r2oùr1;r22 f1;2;3;4;5;6gg:

Dé...nition 1.19Un singleton (c"est-à-dire un événement réduit à un unique élément de

) est appeléévénement élémentaireou bienépreuve. On appelle l"événement certainet?l"événement impossible. SiAest un événement, on appelleAc=A l"événement contrairedeA. SiAetBsont deux événements, on appelleA\B l"événement "AetB» etA[Bl"événement "AouB» . Finalement, siA\B=?;

AetBsont ditsdisjoints, ouincompatibles.

Dé...nition 1.20Une famille(Ai)i=1;:::;ndes évènements de forme un système complet de ;si i) pour touti6=j(i;j= 1;:::;n) :Ai\Aj=?; ii) n[i=1Ai= 11

1.2.2 Tribus et probabilités

Dé...nition 1.21(Tribu).Soit

un ensemble quelconque. Une familleTd"éléments de P( )(l"ensemble de toutes les parties de l"ensemble ) est ditetribusi elle véri...e les conditions suivantes : i) 2T; ii)Test stable par passage au complémentaire, i.e. pour tout élémentAdeT;son complémentaireAc=Aest un élément deT; iii)Test stable par réunion dénombrable, i.e. siA1;:::;An;:::une suite ...nie ou in...nie d"éléments deT;[n1Anest un élément deT:

Exemple 1.221.f?;

gest une tribu et est appelée tribu grossière. On ne peut en construire de plus petite. 2. Si est dénombrable,P( )est la plus grande tribu dé...nie sur

3. SiA

;l"ensemble des parties?;A;A; est une tribu sur

Proposition 1.23SoitFune famille de parties de

:Il existe une plus petite tribu sur qui contientF:On l"appelle tribu engendrée parFet on la note(F): Exemple 1.24La tribu Borélienne surR;notéeBRest la tribu engendrée par les inter- valle]1;x]oùx2R:

Dé...nition 1.25LorsqueTest une tribu sur

;le couple( ;T)est appeléespace prob- abilisable.

Dé...nition 1.26(Probabilité). Soit(

;T)un éspace probabilisable. On appelleprob- abilitésur( ;T);toute application p:T![0;1]

A7!p(A)

véri...ant : i)p( ) = 1; ii) (-additivité) Pour toute suite(An)n1d"éléments deTdeux à deux disjoints (in- compatibles) p +1[i=1An =+1X n=1p(An): 12 Remarque 1.27Sipest une probabilité dé...nie sur un espace probabilisable( ;T);le triplet( ;T;p)s"appelleéspace de probabilité.

Propriétés

Proposition 1.28Soit(

;T;p)un éspace de probabilité, alors i) (Additivité ...nie) SoitA1;:::;A1une collection ...nie d"événements2à2disjoints.

Alors,

p n[i=1Ai =nX i=1p(Ai); ii)p(?) = 0; iii) pour toutA2T; pA = 1p(A); iv) (Monotonicité) pour toutA;B2T;tel queAB p(A)p(B); v) (Sous --additivité) SoitIun ensemble ...ni ou dénombrable et(Ai)i2Iune collection d"événements. Alors, p i2IAi X i2Ip(Ai); vi) pour toutA;B2T; p(A[B) =p(A) +p(B)p(A\B); vii) plus généralement, pour tout collection ...nieA1;:::;An p n[i=1Ai =nX i=1p(Ai)X

1i
1i +(1)n+1p(A1\A2\::::\An): Démonstration.i) Elle est immédiate d"aprés la Dé...nition 1.26, il su¢ t de prendre pour toutin+ 1 :Ai=?; ii) D"aprés i) on a : 1 =p( ) =p( [?) =p( ) +p(?); 13 doncp(?) = 0: iii) D"aprés i) on a : 1 =p( ) =pA[A =p(A) +pA doncpA = 1p(A): iv) On a : p(B) =pA[B\A =p(A) +pB\A doncp(A) =p(B)pB\A p(B)carpB\A 0: v) Soit la famille d"évènements(Bi)i2Itels que B
1=A1; B2=A2rA1=A2\A

1;:::; Bi=Air
i1[j=1A j (i2I): Il est clair que les évènementsBi(i2I)sont disjoints deux à deux, pour touti2I: B iAiet[i2IAi=[i2IBi:Donc p i2IAi =p i2IBi =X i2Ip(Bi)X i2Ip(Ai): vi) On a :A[B= (Ar(A\B))[(A\B)[(Br(A\B))et les trois évènements Ar(A\B); A\BetBr(A\B)sont disjoints deux à deux. Alors p(A[B) =p(Ar(A\B)) +p(A\B) +p(Br(A\B)) =p(A)p(A\B) +p(A\B) +p(B)p(A\B) carp(A) =p(Ar(A\B)) +p(A\B)etp(B) =p(Br(A\B)) +p(A\B):D"où p(A[B) =p(A) +p(B)p(A\B): 14 vii) En utilisant vi), on trouve p(A1[A2[A3) =p(A1[A2) +p(A3)p((A1[A2)\A3) =p(A1) +p(A2)p(A1\A2) +p(A3)p((A1\A3)[(A2\A3)) =p(A1) +p(A2) +p(A3)p(A1\A2)p(A1\A3)p(A2\A3) +p(A1\A2\A3);quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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