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Observatoire de Paris, Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11,

École Normale Supérieure

MasterAstronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale

Année M2 - Parcours Recherche

2013 - 2014

UE FC5

Relativité générale

Éric Gourgoulhon

Laboratoire Univers et Théories (LUTH)

CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot (Paris 7) eric.gourgoulhon@obspm.fr 2

Table des matières

1 Introduction

1.1 Motivations et objectifs du cours

1.2 Articulation avec les autres cours

1.3 Page web du cours

2 Cadre géométrique

2.1 Introduction

2.2 L"espace-temps relativiste

2.2.1 Les quatre dimensions

2.2.2 Notion de variété

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs

2.3 Tenseur métrique

2.3.1 Définition

2.3.2 Composantesgdu tenseur métrique

2.3.3 Bases orthonormales

2.3.4 Genre des 4-vecteurs

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

2.3.6 Cône isotrope

2.3.7 Distance entre deux points

2.3.8 Bilan

2.4 Lignes d"univers

2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière

2.4.2 Mouvement d"un point matériel

2.4.3 Temps propre

2.4.4 Quadrivitesse

2.4.5 Quadri-impulsion

2.5 Observateurs

2.5.1 Simultanéité et mesure du temps

2.5.2 Espace local de repos

2.5.3 Facteur de Lorentz

2.5.4 Mesures d"énergie et de quantité de mouvement

2.6 Principe d"équivalence et géodésiques

2.6.1 Principe d"équivalence

4TABLE DES MATIÈRES2.6.2 Équation des géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.6.3 Géodésiques de longueur nulle

2.7 Exercices

3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)

3.1 Introduction

3.2 Métrique de Schwarzschild

3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique

3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild

3.2.3 Paramètre de compacité

3.2.4 Théorème de Birkhoff

3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes

3.3 Géodésiques lumière radiales

3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale

3.3.2 Coordonnées d"Eddington-Finkelstein

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein)

3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques

3.4.2 Effet Einstein

3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps

3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle

3.5 Orbites des corps matériels

3.5.1 Quantités conservées

3.5.2 Potentiel effectif

3.5.3 Orbites circulaires

3.5.4 Dernière orbite circulaire stable

3.5.5 Autres orbites

3.5.6 Avance du périastre

3.6 Trajectoires des photons

3.6.1 Potentiel effectif

3.6.2 Allure des trajectoires des photons

3.6.3 Déviation des rayons lumineux

3.6.4 Mirages gravitationnels

3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro)

3.7 Exercices

4 Équation d"Einstein

4.1 Introduction

4.2 Dérivation covariante (connexion)

4.2.1 Gradient d"un champ scalaire

4.2.2 Dérivation covariante d"un vecteur

4.2.3 Extension à tous les tenseurs

4.2.4 Connexion compatible avec la métrique

100

4.2.5 Divergence d"un champ vectoriel

105

4.3 Tenseur de courbure

106

TABLE DES MATIÈRES54.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure. . . . . . . . . . .106

4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann

110

4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d"Einstein

111

4.4 Tenseur énergie-impulsion

112

4.4.1 Définition

112

4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait

113

4.5 Équation d"Einstein

115

4.5.1 Énoncé

115

4.5.2 Limite newtonienne

116

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique

116

4.6.1 Écriture de l"équation d"Einstein

116

4.6.2 Solution de Schwarzschild

118

4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

120

4.6.4 Pour aller plus loin...

122

4.7 Exercices

122

5 Trous noirs

123

5.1 Introduction

123

5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale

124

5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild

124

5.2.2 Singularité centrale

127

5.3 Horizon des événements

127

5.3.1 Définition

128

5.3.2 Genre lumière de l"horizon des événements

129

5.4 Effondrement gravitationnel

131

5.5 Trous noirs en rotation

131

5.5.1 Solution de Kerr

131

5.5.2 Théorème d"unicité (absence de chevelure)

132

5.5.3 Horizon des événements

133

5.5.4 Ergosphère

133

5.6 Mouvement géodésique dans l"espace-temps de Kerr

135

5.6.1 Quantités conservées

135

5.6.2 Effet Lense-Thirring

136

5.6.3 Orbites circulaires dans l"espace-temps de Kerr

138

5.6.4 Processus d"extraction d"énergie de Penrose

139

5.7 Exercices

141

6 Ondes gravitationnelles

143

6.1 Introduction

143

6.2 Linéarisation de l"équation d"Einstein

144

6.2.1 Perturbation de la métrique de Minkowski

144

6.2.2 Équation d"Einstein linéarisée

146

6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT

148

6.3.1 Changement de coordonnées infinitésimal

148

6TABLE DES MATIÈRES6.3.2 Point de vue " théorie de jauge ». . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

6.3.3 Jauge de Lorenz

150

6.3.4 Jauge TT

151

6.4 Effets d"une onde gravitationnelle sur la matière

154

6.4.1 Équation du mouvement en coordonnées TT

154

6.4.2 Variation des distances

156

6.5 Génération d"ondes gravitationnelles

159

6.5.1 Formule du quadrupôle

159

6.5.2 Flux d"énergie

163

6.5.3 Luminosité gravitationnelle

163

6.5.4 Amplitude de l"onde gravitationnelle

165

6.6 Sources astrophysiques et détecteurs

165

7 Solutions cosmologiques

167

7.1 Introduction

167

7.2 Espaces maximalement symétriques

168

7.2.1 Généralités

168

7.2.2 Espaces maximalement symétriques de dimension 3

169

7.2.3 Espaces-temps maximalement symétriques

173

7.3 Espace-temps de de Sitter

174

7.3.1 Définition

174

7.3.2 Plongement isométrique dans Minkowksi 5-D

174

7.3.3 Géodésiques lumière

177

7.3.4 Horizon des particules et horizon des événements

178

7.3.5 Coordonnées de Lemaître

180

7.3.6 Coordonnées statiques

184

7.4 Espace-temps anti-de Sitter (AdS)

187

7.4.1 Définition

187

7.4.2 Immersion isométrique dansR2;3

188
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2.2 L"espace-temps relativiste

2.2.1 Les quatre dimensions

2.2.2 Notion de variété

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs

2.3 Tenseur métrique

2.3.1 Définition

2.3.2 Composantesgdu tenseur métrique

2.3.3 Bases orthonormales

2.3.4 Genre des 4-vecteurs

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

2.3.6 Cône isotrope

2.3.7 Distance entre deux points

2.3.8 Bilan

2.4 Lignes d"univers

2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière

2.4.2 Mouvement d"un point matériel

2.4.3 Temps propre

2.4.4 Quadrivitesse

2.4.5 Quadri-impulsion

2.5 Observateurs

2.5.1 Simultanéité et mesure du temps

2.5.2 Espace local de repos

2.5.3 Facteur de Lorentz

2.5.4 Mesures d"énergie et de quantité de mouvement

2.6 Principe d"équivalence et géodésiques

2.6.1 Principe d"équivalence

4TABLE DES MATIÈRES2.6.2 Équation des géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.6.3 Géodésiques de longueur nulle

2.7 Exercices

3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)

3.1 Introduction

3.2 Métrique de Schwarzschild

3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique

3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild

3.2.3 Paramètre de compacité

3.2.4 Théorème de Birkhoff

3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes

3.3 Géodésiques lumière radiales

3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale

3.3.2 Coordonnées d"Eddington-Finkelstein

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein)

3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques

3.4.2 Effet Einstein

3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps

3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle

3.5 Orbites des corps matériels

3.5.1 Quantités conservées

3.5.2 Potentiel effectif

3.5.3 Orbites circulaires

3.5.4 Dernière orbite circulaire stable

3.5.5 Autres orbites

3.5.6 Avance du périastre

3.6 Trajectoires des photons

3.6.1 Potentiel effectif

3.6.2 Allure des trajectoires des photons

3.6.3 Déviation des rayons lumineux

3.6.4 Mirages gravitationnels

3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro)

3.7 Exercices

4 Équation d"Einstein

4.1 Introduction

4.2 Dérivation covariante (connexion)

4.2.1 Gradient d"un champ scalaire

4.2.2 Dérivation covariante d"un vecteur