Thème 14: Statistique à 2 variables PDF

Statistiques à deux variables : les exercices

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15 déc. 2010 http://cran.r-project.org/doc/contrib/Paradis-rdebuts_fr.pdf ... 3.2.1 Représentation graphique de deux variables . . . . . . . . 53.

Série statistique à deux variables A

Dans tout l'exercice le détail des calculs n'est pas demandé. Les résultats pourront être obtenus à la calculatrice et seront arrondis à près. Partie A. Donner

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1.6 Indépendance de deux variables aléatoires X et Y .. Corrigés des exercices . ... hender les concepts et les notions de base de la statistique.

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Avec les données de l'exercice précédent représenter à l'aide d'un tableur le nuage de points correspondant

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La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable Ref : Statistique exercices corrigés

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 59

3EC - JtJ 2021

Thème 14: Statistique à 2 variables

14.1 Introduction et quelques définitions

Introduction :

Dans le chapitre 10 de statistique, nous nous sommes intéressés

à des questions du type:

Quelle est la taille moyenne de 50 professeurs du gymnase de

Morges ?

Quel est l'écart type du salaire annuel des employés d'une grande compagnie ? Lors d'une évaluation effectuée dans deux classes, laquelle semble être la plus homogène ? Dans toutes ces questions, nous étudions le comportement statistique d'une seule variable: taille, salaire, note lors d'une

évaluation.

Il existe cependant toute une gamme de problèmes statistiques où l'on s'intéresse à la relation entre plusieurs variables.

Par exemple:

• entre l'épaisseur d'un mur et sa résistance thermique; • entre la consommation de carburant et la vitesse d'une voiture; • entre le temps de fonctionnement d'un appareil et la fréquence des pannes.

Pour étudier d'éventuelles corrélations

1 , on est amené à s'intéresser simultanément à deux caractères X et Y d'une même population. On définit alors une série statistique à deux variables statistiques X et Y prenant des valeurs: x 1 , x 2 , ..., x n et y 1 , y 2 , ..., y n

14.2 Nuage de points

Pour étudier les relations ou corrélations entre deux variables statistiques, on peut associer au couple (x i ; y i ) de la série statistique double le point M i de coordonnées (x i ; y i

L'ensemble des points M

i ainsi obtenu est appelé nuage de points représentant la série statistique. 1

En statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables statistiques numériques, c'est étudier l'intensité de la

liaison qui peut exister entre ces variables.

Modèle 1 :

dans un échantillon de 20 individus: Poids 67,1 60,7 54,9 58,8 64,7 60,4 63 62,5 71,5 70,8

Taille 173 175 176 178 178 180 182 186 189 196

Poids 63,1 74,8 71,1 73,1 63,5 69,4 70 82 76,5 84,6 tracer une droite (appelée droite d'ajustement mieux par ces points, ou plutôt dans une position que l'on qualifierait "d'au milieu du nuage de points

3 cas de figure :

entre les deux variables. orientation, on dira qu'il y a une absence de corrélation. Corrélation positive Corrélation négative

Absence de corrélation

taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 50
60
70
80
90
x y x y x y x y

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 61

3EC - JtJ 2021

Remarques :

La qualité de la corrélation entre deux variables peut se mesurer par la dispersion des points autour de la droite d'ajustement:

Corrélation parfaite Bonne corrélation

(corrélation forte)

Mauvaise corrélation

(corrélation faible)

Modèle 1 :

Afin de comparer la taille des gymnasiens avec l'étendue de leurs bras, on a effectué les mesures sur 32 élèves qui a permis d'effectuer la représentation graphique du nuage de points suivant: a) Représenter une droite d'ajustement "à la règle". b) Proposer une équation de cette droite d'ajustement. c) Proposer quelques constats. x y x y x y

100120140160180200

taille [cm] 100
120
140
160
180
200

Étendue des bras [cm]

62 THÈME 14

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Exercice 14.1:

Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignement pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans le nuage de points suivant: a) Représenter une droite d'ajustement "à la règle". b) Proposer une équation de cette droite d'ajustement. c) Proposer quelques constats.

Exercice 14.2:

À propos des élèves (garçons puis filles) de 4 classes de ECGC d'un gymnase lausannois, on désire comparer une éventuelle corrélation entre leur taille et leur poids. Utiliser les 2 représentations graphiques des nuages de points: Que pouvez-vous constater à propos de la corrélation taille - poids pour les garçons (à gauche) et les filles (à droite) ? 02468
résultat "nal (%) 20 40
60
80
100

Nbre dheures dabsence

taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 40
50
60
70
80
90
taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 40
50
60
70
80
90

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 63

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3 démarches différentes vous seront proposées pour déterminer

au mieux une droite d'ajustement sur un nuage de points. On commence par représenter le nuage de points, puis on trace au jugé une droite d passant le plus près possible des points du nuage. Pour ce faire, on utilise une règle transparente et on la dispose suivant la direction constatée, en s'efforçant d'équilibrer les nombres de points situés de part et d'autre suivant les abscisses croissantes. À l'aide des coordonnées de 2 points choisis sur cette droite, on détermine alors une équation approximative de la droite d'ajustement. C'est cette démarche qui vous a été suggérée dans le paragraphe précédent. Lorsque l'on pense pouvoir réaliser un ajustement affine d'un nuage, il peut sembler intéressant, avant de tracer la droite, de placer le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses x i et dont l'ordonnée est la moyenne des ordonnées y i

On appelle d'un nuage de n points M

i (x i ; y i ) le point G de coordonnées: x G =x=1 nx i i=1n et y G =y= ny i i=n On commence par trier les points selon leurs abscisses croissantes, puis on détermine la médiane des x i afin de partager le nuage en deux parties ayant le même nombre de points. On détermine ensuite G 1 et G 2 , les points moyens respectifs de chacune de ces parties. La droite G 1 G 2 est appelée de la série statistique. Il est à noter que la droite de Mayer d'un nuage passe toujours par le point moyen, de ce nuage. x y G 1 G 2

Modèle 2 :

y i x i

Clinique C

C C C C C C C C C x i y i a) b) c) x

8090100110120130140150160170180190200

y 150
200

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 65

3EC - JtJ 2021 Vérifier que le point moyen est sur la droite d'ajustement. Si une clinique contient 200 lits, estimer le nombre de postes nécessaires pour le personnel non médical.

Exercice 14.3:

Enfant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Masse en kg 2,5 2,6 2,7 3 3,2 3,3 3,4 3,6 3,8 3,9

Taille en cm 45 46 48 50 51 52 53 54 54 57

a) b) c) d) e)

Exercice 14.4:

x i y i x i y i a) b) c) d)

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 67

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14.2.3 Méthode des moindres carrés

Méthode des moindres carrés :

Il existe une méthode plus "rigoureuse" pour déterminer la "meilleure" droite: c'est la méthode des moindres carrés. Elle consiste, dans sa version la plus simple, à trouver la droite qui minimise les carrés des écarts des points représentatifs à cette droite. Trouver la droite telle que la somme des carrés des écarts d 1 , d 2 , ... , d n soit minimale: d i i=n Soit y=mx+h l'équation de la droite cherchée (droite de régression).

On calculera:

• sa pente m : m=x 1 x y 1 y +x 2 x y 2 y +...+x n x y n y x 1 x 2 +x 2 x 2 +...+x n x 2 où sous sa forme plus compacte: m=(x i x)(y i y) i=1n (x i x) 2 i=1n • son ordonnée à l'origine h: où =1 x i i=1 et y=1 ny i i=1n x y d 1 d 2 d 3 d 4 d 5

68 THÈME 14

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Modèle 3 :

On considère deux variables statistiques X et Y dont on donne le tableau de valeurs et le nuage de points. Déterminer l'équation de la droite de régression. x i y i 10 25 20 30 30 41
x= y= Sommes

Exercice 14.5:

Suite du modèle précédent :

On considère maintenant ces 3 nouvelles paires de valeurs: x i y i 10 28 20 24 30 44
x= y= Sommes a) Déterminer l'équation de la droite de régression. b) Compléter le graphe du modèle précédent grâce à ces 3 nouvelles valeurs. Que constatez-vous?

Remarque :

Le signe de la pente m donne le sens de corrélation, mais pas sa qualité. m > 0 corrélation positive m < 0 corrélation négative m = 0 pas de corrélation La qualité de la corrélation peut être mesurée par le coefficient de corrélation r défini ci-dessous. x

1015202530

y 20 25
30
35
40
45

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 69

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Définition :

On définit le coefficient de corrélation par: =1 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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STATISTIQUE À 2 VARIABLES 59

Thème 14: Statistique à 2 variables

14.1 Introduction et quelques définitions

Introduction :

à des questions du type:

Morges ?

évaluation.

Par exemple:

Pour étudier d'éventuelles corrélations

14.2 Nuage de points

L'ensemble des points M

Modèle 1 :

Taille 173 175 176 178 178 180 182 186 189 196

3 cas de figure :

Absence de corrélation

150160170180190200

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 61

Remarques :

Corrélation parfaite Bonne corrélation

Mauvaise corrélation

Modèle 1 :

100120140160180200

Étendue des bras [cm]

62 THÈME 14

Exercice 14.1:

Exercice 14.2:

Nbre dheures dabsence

150160170180190200

150160170180190200

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 63

3 démarches différentes vous seront proposées pour déterminer

On appelle d'un nuage de n points M

Modèle 2 :

Clinique C

8090100110120130140150160170180190200

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Exercice 14.3:

Enfant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Taille en cm 45 46 48 50 51 52 53 54 54 57

Exercice 14.4:

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 67

14.2.3 Méthode des moindres carrés

Méthode des moindres carrés :

On calculera:

68 THÈME 14

Modèle 3 :

Exercice 14.5:

Suite du modèle précédent :

Remarque :

1015202530

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 69

Définition :

Nbre dheures dabsence