Exercices corrigés – Nombres complexes PDF

3. Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que Z soit imaginaire pur. Exercice 16 corrigé disponible.

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES ( ) ) ( ) ( ) ) ( )

6) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant 1. 3 2 3 z i. − +. = . Exercice n°12. Pour tout nombre complexe z on définit : ( ). ( ) ( ).

Les nombres complexes - Lycée dAdultes

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Terminale S - Nombres complexes Exercices corrigés

Terminale S. 15. F. Laroche. Nombres Complexes corrigés http://laroche.lycee.free.fr. Partie B. 3. A z i. = −. − . 1. 3. B z i. = −.

Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques

À cet effet le style d'écriture est souvent plus proche du post-bac que de la terminale. Exercice 350 ( 3 Nombres complexes et théorème de la médiane). a) ...

MATHÉMATIQUES

Corrigés des exercices . ON sont colinéaires. Chapitre 1 Les nombres complexes. 13. Page 24. Exercice 4. 1. z = a +ib a

EXERCICES TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES

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Trouver alors les solutions. 3. Calculer les racines cubiques de. √3+ . √3− . Allez à : Correction exercice 29 : Exercice 30 : Résoudre dans ℂ l'équation.

Nombres complexes

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Terminale générale - Nombres complexes - Exercices

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Nombres complexes (partie II) – Exercices

Déterminer la forme exponentielle de . Page 3. Nombres complexes (partie II) – Exercices – Terminale S – G. AURIOL Lycée

MATHÉMATIQUES

1 Calculs avec les nombres complexes . 6 Exponentielle d'un complexe . ... Corrigés des exercices .

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Nombres complexes

[000001]. Exercice 2. Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : [000003]. Exercice 3. Calculer le module et l'argument de u = /. 6-i.

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux `a connaˆ?tre

http://xymaths.free.fr/Lycee/TS/Exercices-Corriges-Complexes.php. Table des mati`eres 6. 4 Détermination d'ensembles de points dans le plan complexe.

exercices-corriges-nombres-complexes.pdf

et déterminer la nature du triangle BEC. Exercice n°11. z étant un complexe on note( le système. )S. 2. 6.

Nombres Complexes Exercices

Complexes exercices http://laroche.lycee.free.fr. Terminale S. Nombres Complexes. Exercices. 1. 1. DiversQCM

Exercices corrigés - nombres oomplexes

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Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle

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A B C P Q R S Om

2 3 4-1-2-3-4-5-62

3456
-1 -2 -3 -4 -5 -60 1 1 xy A B C P Q R S Om

Correction de l"exercice 1

Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé (), ,O u vr r , d"unité graphique 1cm, on place les points A, B, C, P d"affixes respectives z A= 3

2 +6i, zB= 3

2 -6i, zC=-3- 1

4 i, zP=3+2i :

(a) Déterminons l"affixe zQ du point Q, image du point B par la translation t de vecteur Åw d"affixe zÅw=-1+ 5

2 i : t a pour écriture complexe z′=z+zÅw donc zQ=zB+zÅw = 3 2 -6i+( )-1+ 5 2 i = 1 2 - 7 2 i.

(b) Déterminons l"affixe zR du point R, image du point P par homothétie h de centre C et de rapport - 1

3 : h a pour écriture complexe z′-zC=- 1 3

×( )z-zC donc zR-zC=- 1

3 ×( )zP-zC donc zR=- 1

3 ×????3+2i-( )-3- 1

4 i+( )-3- 1 4 i =- 1

3 ( )6+ 9

4 i-3- 1

4 i donc z

R=-2- 3

4 i-3- 1

4 i = -5-i.

2 : r a pour écriture complexe z′-zA=e-i π

2 ( )z-zA donc zS-zA=e-i π

2 ( )zP-zA donc zS=-i????3+2i-( ) 3

2 +6i+ 3

2 +6i =-i( ) 3

2 -4i+ 3 2 +6i donc z

S=-i× 3

2 +4i2+ 3

2 +6i = - 5 2 + 9 2 i. (d) Plaçons les points P,Q,R et S : D"après les affixes des points P, Q, R et S, on déduit que

P(3;2), Q( ) 1

2 ;- 7

2 , R(-5;-1) et S( )- 5

2 ; 9 2 2. (a) Démontrons que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme :

Calculons z

ÄQR et zÄPS :

zÄQR =zR-zQ =-5-i-( ) 1 2 - 7 2 i =- 11 2 + 5 2 i z

ÄPS =zS-zP =- 5

2 + 9 2 i-(3+2i) =- 11 2 + 5 2 i

Donc z

ÄQR = zÄPS donc ÄQR=ÄPS donc PQRS est un parallélogramme. (b) Calculons zR-zQ zP-zQ : zR-zQ zP-zQ = - 11 2 + 5 2 i 3+2i- ( ) 1 2 - 7 2 i - 11 2 + 5 2 i 5

2 + 11

2 i -11+5i

5+11i =i× 5+11i

5+11i =i

2 (2π) donc ( )ÄQP;ÄQR = π

2 (2π) (**)

Grâce à (*) et (**) on peut en déduire que le parallélogramme PQRS est un carré

PQRS étant un carré, son centre que l"on note Ω est le milieu de ses diagonales et celles-ci sont de même longueur soit ΩP=ΩR=ΩQ=ΩS.

Par conséquent les points P, Q, R et S appartiennent au même cercle de centre Ω et de rayon ρ=ΩP=ΩR=ΩQ=ΩS.

Déterminons l"affixe de son centre ainsi que son rayon : Ω est le milieu [PR] donc z Ω= zP+zR 2 = 3+2i-5-i

2 = -1+ 1

2 i.

Et ρ=ΩP=

| |zP-zΩ =????3+2i-( )-1+ 1

2 i =| |4+ 3

2 i=42+( ) 3 2

2 = 73

4 = 73

2 __

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Correction de l"exercice 2

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( )O;Åu;Åv d"unité graphique 2cm.

1. Résolvons dans IC l"équation

z-4 z =i z-4 z =iñz-4=iz et zÞ0 ñ z(1-i)=4 et zÞ0 ñ z= 4

1-i ñ z= 4(1+i)

2 =2(1+i) =2+2i

L"unique solution de l"équation est 2+2i

2. Résolvons dans IC l"équation z2-2z+4=0

Le discriminant est ∆=4-4×4=-12=( )2i3

2 ∆<0 donc l"équation admet deux racines complexes conjuguées : z

1= 2-2i3

2 =1-i3 et z2=z1=1+i3

Ecrivons les solutions sous forme exponentielle :

| |z1=1+3=2 donc z1=2((( 1

2 - i3

2 =2(())cos(())- π

3 +isin(())- π

3 =2e - iπ

3 et z2=z1=2e

iπ 3

3. Soient A, B, A′ et D les points d"affixes respectives a=2, b=4, a′=2i et d=2+2i. Quelle est la nature

du triangle OBD ? d-zO d-b = 2+2i

2+2i-4 = 2+2i

-2+2i =- (2+2i)(2+2i)

4+4 =- 8i

BD d"où OD

BD =1, donc le triangle OBD est isocèle

en D. ▪ arg d-0 d-b =arg(-i)(2π)=- π

2 (2π). Or, arg(())

d-0 d-b =( )ÄBD;ÄOD(2π) donc ( )ÄBD;ÄOD=- π

2 (2π), le triangle OBD est rectangle en D.

En conclusion, le triangle OBD est rectangle isocèle en D

4. Soient E et F les points d"affixes respectives e=1-i3 et f=1+i3. Quelle est la nature du quadrilatère

OEAF ?

parallélogramme OEAF a deux côtés consécutifs de même longueur, donc c"est un losange.

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C′ le cercle de centre A′ et de rayon 2. soit r la rotation de

centre O et d"angle 2 . a. On désigne par E′ l"image de E par r. Calculons e′ l"affixe de E′. L"écriture complexe associée à la rotation de centre O et d"angle π

2 est z′-zO=e

iπ 2 ( )z-zO

Càd z′=iz

Ainsi e′=i

( )1-i3=i+3 b. Démontrons que E′ appartient à C ". A′E′=| |zE′-zA′=| |i+3-2i=| |3-i=3+1=2

Donc E′ appartient bien au cercle C′.

c. Vérifions que que e-d=( )3+2 (e′-d) et déduisons-en que E, E′ et D sont alignés

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( )3+2 (e′-d)=( )3+2( )i+3-2-2i=( )3+2( )3-2-i =3-2

3-i3+23-4-2i= -1-i( )3+2

e-d =( )1-i3-(2+2i)=1-i3-2-2i= -1-i( )3+2

Donc e-d=

( )3+2 (e′-d)

Donc z

ÄDE=( )3+2( )zÄDE′ donc ÄDE=( )3+2ÄDE′ donc les vecteurs ÄDE et ÄDE′ sont

colinéaires, d"où les points E, D et E′ sont alignés.

6. Soit D′ l"image de D par r. Montrons que le triangle EE′D′ est rectangle.

E′ et D′ sont les images de E et D par r donc ( )ÄDE;ÄD′E′ = π

2 (2π).

Donc (DE)┴(D′E′). Or, E, D et E′ sont alignés donc (EE′)┴(D′E′) donc le triangle EE′D′

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2 3 4-1-2-3-4-5-62

Correction de l"exercice 1

2 +6i, zB= 3

4 i, zP=3+2i :

×( )z-zC donc zR-zC=- 1

3 ×( )zP-zC donc zR=- 1

3 ×????3+2i-( )-3- 1

3 ( )6+ 9

4 i-3- 1

R=-2- 3

4 i = -5-i.

2 ( )z-zA donc zS-zA=e-i π

2 ( )zP-zA donc zS=-i????3+2i-( ) 3

2 +6i =-i( ) 3

S=-i× 3

2 +4i2+ 3

P(3;2), Q( ) 1

2 ;- 7

2 , R(-5;-1) et S( )- 5

Calculons z

ÄQR et zÄPS :

ÄPS =zS-zP =- 5

Donc z

2 + 11

5+11i =i× 5+11i

5+11i =i

2 (2π) donc ( )ÄQP;ÄQR = π

2 (2π) (**)

2 = -1+ 1

Et ρ=ΩP=

2 i =| |4+ 3

2 = 73

4 = 73

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Correction de l"exercice 2

1. Résolvons dans IC l"équation

1-i ñ z= 4(1+i)

2 =2(1+i) =2+2i

L"unique solution de l"équation est 2+2i

2. Résolvons dans IC l"équation z2-2z+4=0

Le discriminant est ∆=4-4×4=-12=( )2i3

1= 2-2i3

2 =1-i3 et z2=z1=1+i3

Ecrivons les solutions sous forme exponentielle :

2 - i3

2 =2(())cos(())- π

3 +isin(())- π

3 et z2=z1=2e

3. Soient A, B, A′ et D les points d"affixes respectives a=2, b=4, a′=2i et d=2+2i. Quelle est la nature

2+2i-4 = 2+2i

4+4 =- 8i

BD d"où OD

BD =1, donc le triangle OBD est isocèle

2 (2π). Or, arg(())

2 (2π), le triangle OBD est rectangle en D.

4. Soient E et F les points d"affixes respectives e=1-i3 et f=1+i3. Quelle est la nature du quadrilatère

OEAF ?

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C′ le cercle de centre A′ et de rayon 2. soit r la rotation de

2 est z′-zO=e

Càd z′=iz

Ainsi e′=i

Donc E′ appartient bien au cercle C′.

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3-i3+23-4-2i= -1-i( )3+2

Donc e-d=

Donc z

6. Soit D′ l"image de D par r. Montrons que le triangle EE′D′ est rectangle.

2 (2π).