Analyse de Fourier et applications

Devoirs Examens Intégration

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/Enseignement/Annales/annales-integration-fourier.pdf

Exercices corrigés sur les séries de Fourier

La série converge-t-elle vers f ? Exercice 2 Calculer la série de Fourier sous forme trigonométrique

CORRIGÉ DE LEXAMEN DANALYSE DE FOURIER Exercice 1

19 déc. 2013 Rappeler la définition des coefficients de Fourier bn de f et l'énoncé des théorèmes de. Dirichlet et de Parseval. Solution Exercice 1. Points 4 ...

Références

Analyse de Fourier et Applications. Exercices corrigés. Masson . [E]. R.E. Edwards. Fourier Series : A Modern Introduction. Rinehart and Winston

Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés . ... majeur à l'utilisation de l'analyse de Fourier jusqu'à ce que Cooley et Tukey ...

Espaces de Hilbert et Analyse de Fourier Licence de

5 déc. 2013 Une liste d'exercices corrigés (en relation avec le chapitre 2 de ... 2.6 L'outil Fourier couplé avec l'analyse hilbertienne; deux exemples ...

Analyse hilbertienne et analyse de Fourier

15 janv. 2013 Analyse hilbertienne et analyse de Fourier ... Beaucoup d'aspects de l'analyse de Fourier appliquée ... et ses exercices corrigés.

Analyse de Fourier et applications - Cours et exercices

comprendre la transformation de Fourier pour analyser un probl`eme (3) vérifier le corrigé des exercices de la semaine précédente sur le poly `a part.

Références Table des matières Notations

Witomski. Analyse de Fourier et Applications. Exercices corrigés. Masson . [S]. L. Schwartz. Théorie des distributions. Hermann

Distributions analyse de Fourier

http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf

Antoine Levitt

Cours et exercices

2020-2021

Cours ENPC - IMI - 2eme annee

Table des matieres

Syllabus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Convergence L

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.2 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Applications des series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Applications aux equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Premieres applications a l'analyse en frequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Transformee de Fourier dans L

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Proprietes algebriques de la transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Transformee de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Une application : le theoreme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Transformee de Fourier des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Fonctions lisses a decroissance rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 L'espaceS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.1.2 Transformee de Fourier dansS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.2 Distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Denition des distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Convergence et derivation dansS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2.3 Injection de L

pdansS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2.4 Transformee de Fourier dansS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4 Espaces de Sobolev et equations aux derivees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Transformee de Fourier dans L

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

4.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Resolution d'equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Series de Fourier des distributions periodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1 Distributions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Series de Fourier des distributions periodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Transformee de Fourier des distributions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI Table des matieres

Echantillonnage et transformee de Fourier discrete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

6.1.1Echantillonnage d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

6.1.2 Theoreme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Le recouvrement spectral (aliasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Exemple de repliement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2 Suppression de l'aliasing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Transformee de Fourier discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Transformee de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Presentation generale de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2 Calcul de complexite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Appendice : integrales et sommes dependant d'un parametre. . . . . . . . . . . . . . . 45

8 Appendice : distributions a support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Syllabus

Bref apercu du contenu du cours

L'analyse en frequences, en particulier la transformee de Fourier, est un outil qui permet de decomposer les signaux selon leurs modes fondamentaux. Cette theorie mathematique a de nombreuses applications pour l'ingenieur, parfois spectaculaires : etude des cours de la bourse, comprehension climatique de la temperature des oceans, mise en resonance de structures de genie civil conduisant a leur ruine, compression de sons et d'image, etc. L'objectif de ce cours est de comprendre la transformation de Fourier pour analyser un probleme physique ou un signal donne, et de conna^tre les limitations theoriques, pratiques et numeriques de cet outil. Le plan du cours est le suivant. On considere dans la section 1 des fonctions periodiques de periode 2. Les fonctions periodiques elementaires sont les exponentielles complexes einx, pour n2Z. La theorie des series de Fourier enonce que, sous certaines conditions de regularite, toute fonctionuperiodique peut s'ecrire comme combinaison lineaire innie de ces harmoniques : u(x) =1p2X n2Zc n(u)einx: La theorie des espaces de Hilbert donne un cadre geometrique a cette decomposition, les fonc- tions einxp2etant vues comme une base orthonormale de l'espace L2(;) des fonctions de carre sommable. Cette geometrie permet notamment d'etablir des formules simples pour les coecients de Fouriercn(u). Les fonctions de base einxse comportent particulierement agreablement pour la derivation (qui agit comme une simple multiplication), ce qui permet la resolution d'equations aux derivees partielles lineaires homogenes. La decomposition d'un signal en serie de Fourier per- met egalement son analyse et son traitement (de la compression d'images a la reconnaissance automatique de morceaux musicaux). Une fonctionfmaintenant denie sur toute la droite reelle ne peut pas ^etre decomposee en serie de Fourier : a la dierence des fonctions periodiques, elle contient un continuum de frequences possibles. La decomposition adaptee est alors celle de la transformee de Fourier f(x) =12Z R ^f()eixd: Cette formule aa prioriun sens (f(x) est ni) quand^fest integrable (section 2), ce qui introduit une asymetrie desagreable entre la transformee de Fourier et son inverse. Pour retrouver un cadre geometrique similaire a celui des series de Fourier, on voudrait avoirfet^fdans l'espace de Hilbert L

2des fonctions de carre sommable. Malheureusement, l'interpretation de la formule precedente

n'est pas evidente dans ce cadre. Via un detour par la transformee de Fourier des distributions (section 3), on montre qu'on peut neanmoins lui donner un sens (section 4). On peut alors resoudre des equations aux derivees partielles posees sur la droite reelle.

2 Table des matieres

Une propriete fondamentale de la transformee de Fourier est qu'elle transforme la decroissance a l'inni en regularite, et vice-versa. Une fonction periodique de periodeT(vue comme une distribu-

tion), qui ne decro^t pas a l'inni, a une transformee de Fourier tres singuliere, une somme de masses

de Dirac placees aux frequencesf2nT ;n2Zg. Cela permet de reinterpreter les series de Fourier en termes de transformee de Fourier (au sens des distributions) de fonctions periodiques (section 5). Reciproquement, la transformee de Fourier d'une somme de masses de Dirac est periodique. On

peut alors analyser l'eet d'un echantillonnage sur un signal, qui introduit des repliques periodiques

dans la transformee de Fourier du signal echantillonne. Cette interpretation permet de montrer le puissant theoreme de Shannon : si un signal contenant des frequences uniquement jusqu'afmax est echantillonne a une frequencef >2fmax, alors on peut reconstruire le signal original a partir de ses echantillons (section 6).

Modalites generales

Ce cours, comme celui d'analyse et de calcul scientique de premiere annee, est enseigne en \pedagogie active" (aussi connu sous le nom de \classe inversee") : le cours est appris a la maison

par les etudiants, et les seances de cours sont reservees a des discussions sur des points techniques

(lancees a l'initiative des etudiants, s'ils ont prepare des questions), et a la resolution d'exercices

en groupes librement composes de 3/4 personnes. Ce cours est valorise a 1.5 ECTS, ce qui signie que, selon les normes de la commission europeenne, vous devriez travailler en moyenne 40h sur le semestre pour cet enseignement. Il faut donc compter environ 2h de travail personnel par semaine pour ce cours. L'idee est qu'un travail serieux et continu vous permettra de limiter les revisions des examens, et vous permettra une meilleure assimilation du materiau presente. Concretement, votre travail d'une semaine a l'autre consistera a : (1) lire les pages du p olyqui se rontdemand ees.Les sections alire p ortentsur des notions qui seront mises en oeuvre la semaine suivante. Attention, \lire" veut dire bien apprendre toutes les denitions, comprendre le contenu des resultats (theoremes, propositions, etc), et avoir un minimum re echi a l'articulation desdits resultats. Il vaut mieux prevoir plusieurs (re)lectures du materiau, espacees dans le temps, copieusement annoter le poly, mettre en evidence les resultats importants, refaire les petits calculs qui sont menes, et vous interroger sur les enonces des theoremes (penser a des exemples et contre-exemples); (2) faire, sur feuille apart, les exercices pr eparatoires(marqu esEP sur le syllabus). Le sexercices preparatoires sont souvent de simples applications des denitions, et ne devraient pas vous demander beaucoup de temps. Les exercices preparatoires seront systematiquement ramasses en debut de seance; (3) v erierle corrig edes exercices de la semaine pr ecedente,sur le p oly apart. C'est en particulierquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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