[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Exercices de Christophe Mourougane

Contents

I L13

1 Géométrie en petites dimensions

3

1.1 242.01 - Inégalité triangulaire

3

1.2 242.01 - Diagrammes de Voronoï

4

1.3 242.01 - Pour aller plus loin

5

1.4 104.05 - Manipulation des fonctions trigonométriques

6

1.5 242.01 - Un peu de géométrie plane

7

1.6 242.01 - Produits scalaires

8

1.7 242.01 - Aires

8

1.8 242.01 - Théorème de Pythagore

10

1.9 242.01 - Découpage

10

1.10 242.01 - Transformations, déplacements

11

1.11 242.01 - Constructions élémentaires

12

1.12 242.01 - Constructions diverses

13

1.13 242.01 - Opérations sur les longueurs

14

1.14 242.01 - Constructions au compas seul

14

II L217

2 Arithmétique 217

2.1 203.01 - Groupes et sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.2 203.04 - Anneaux et structure d"anneaux surZ=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.3 203.04 - Anneaux de polynômes

22

2.4 203.06 - Corps finis

24

2.5 203.04 - Exemples d"anneaux

26

2.6 Révisions

28

2.7 203.99 - Structures algébriques

30

2.8 203.01 - Groupes finis

31

3 Examens32

3.1 203.01 - Un examen

32

3.2 203.01 - Un examen

33

3.3 203.04 - Devoir Maison

34

3.4 203.04 - Contrôle continu

35

3.5 203.99 - Examen terminal

36

3.6 203.99 - Examen terminal

39

3.7 203.99 - Examen

41

3.8 203.99 - Examen

42

3.9 203.99 - Examen

43

4 106, 107, 108 - Algèbre linéaire

44
1

III L346

5 Géométrie euclidienne

46

5.1 240.00 - Exercices de géométrie affine

46

5.2 204.00 Exercices sur les espaces vectoriels euclidiens

51

5.3 242.00 - Exercices sur les espaces affines euclidiens

52

5.4 242.01-02 - Isométries

58

5.5 241.00 - Constructions par isométrie

60

6 Géométrie euclidienne (Examen)

61

6.1 242.01-02 Examen 1

61

6.2 242.01-02 Examen 2

62

6.3 242.01-02 Examen 3

64

6.4 242.01-02 Examen 4

66

7 Fonctions holomorphes

67

7.1 104.01-02 - Généralités sur les nombres complexes

67

7.2 229.01-07 Topologie

69

7.3 440.00 - Pour apprendre le cours

70

7.4 440.00 - À l"aide des équations de Cauchy-Riemann

70

7.5 440.00 - Etude d"applications holomorphes

72

7.6 440.00 - Biholomorphismes

73

7.7 222.01 - Modes de convergence

74

7.8 220.03-99 - Séries entières

74

7.9 441.00 - Fonctions spéciales

75

7.10 441.00 - Applications logarithmes

76

7.11 444.00 - Intégrales sur les chemins du plan complexe

76

7.12 444.00 - Théorie de Cauchy

78

7.13 220.06 - Développement en séries entières

79

7.14 440.00 - Concept d"holomorphie

80

7.15 443.00 - Singularités isolées

81

7.16 446.00 - Série de Laurent

82

7.17 444.00 - Résidus

82

7.18 444.00 - Calculs à l"aide du théorème des résidus

83

7.19 444.00 - Nombre de zéros

84

8 446.00 - Fonctions holomorphes (Examens)

84

IV M196

9 Géométrie différentielle

96

9.1 352.00 - Courbes dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

9.2 352.00 - Courbes en petites dimensions

98

9.3 352.00 - Surfaces

100

9.3.1 Exemples de surfaces dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

9.4 353.00 - Applications régulières

102

9.5 352.00 - Etude métrique des sous-surfaces différentiables deR3. . . . . . . . . . . . . . . .103

9.5.1 Calcul d"aires

105

10 352.00 - Géométrie différentielle (Examen)

108
2

11 Théorie des groupes et géométrie114

11.1 314.00 - Géométrie projective

120

11.2 320.00 Groupes

124

11.3 320.00 - Groupes abéliens

128

11.4 321.00 - Sous-groupes distingués

129

11.5 320.00 - Résolubilité

129

11.6 320.00 - Simplicité

131

11.7 323.00 - Anneaux d"invariants

131

12 328.00 - Formes bilinéaires

132

12.1 328.00 - Décomposition et classification

133

12.2 328.00 - Théorème de Witt

133

12.3 314.00 - Géométrie projective

134

12.4 313.00 - Groupes orthogonaux, unitaires et symplectiques

135

12.5 328.00 - Formes sesquilinéaires

137

V M2 - Agrégation

145

13 Algèbre145

13.1 322.00 - Actions de groupes, Théorèmes de Sylow

145

13.2 320.00 - Groupes diédraux ; produit semi-direct

147

13.3 322.00 - Groupes d"ordre inférieur à 12

148

13.4 322.00 - Simplicité

150

13.5 322.00 Générateurs et simplicité deA5etAn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

13.6 320.00 Groupes dérivés, résolubilité

151

13.7 320.00 - Divers

154

13.8 328.00 - Décomposition polaire des matrices

155

13.9 328.00 - Généralités sur les formes bilinéaires et sesquilinéaires

155

13.10313.00 - Endomorphismes orthogonaux et unitaires

156

13.11328.00 - Endomorphismes symétriques et hermitiens

157

13.12313.00 - Quaternions,SO3(R)etSO4(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

13.13328.00 - Classification des coniques euclidiennes affines

159

Part I

L1

1 Géométrie en petites dimensions

Exercices de Christophe Mourougane et Lionel Fourquaux.

1.1 242.01 - Inégalité triangulaire

Exercice 7249SoientP,Q,Rtrois points du plan. Dans cet exercice, on notera~u~vle produit scalaire de deux vecteurs~uet~v.

1.

Montrer que, pour tout l2R, on a

~QP+l~QR)2=~QP2+2l~QP~QR+l2~QR2: 2.

En considérantlediscriminantdupolynôme(enlavariablel)dedroitedansl"égalitéprécédente, montrer

que~QP~QR6QPQR: 3

3.Montrer que

PR2=~QP22~QP~QR+~QR2:

4.

En déduire que

PR6PQ+QR:

5.

Montrer que PR=PQ+QRsi et seulement siQ2[PR].

6. On considère maintenant quatre points P,Q,RetS. Montrer que

PS6PQ+QR+RS

et caractériser les configurations de quatre pointsP,Q,RetSqui vérifient l"égalitéPS=PQ+QR+RS.

Exercice 7250Diagramme de Voronoï. Médiatrice, diagramme de 2 pointsUndiagramme de Voronoïest une famille de parties du plan (ou de l"espace, mais dans cet exercice on se

limitera au plan) et de points associés telle que: chaque partie du plan a un unique point associé, qui est contenu dedans;

chaque partie est e xactementég aleà l"ensemble des points du plan qui sont plus proches du point associé

à cette partie que des points associés aux autres parties. Autrement dit, c"est une famille(Ai;Pi)i2I, où: •Iest un ensemble; pour tout i2I,Aiest une partie (i.e. un sous-ensemble) du plan etPi2Ai; pour tout i2I, on a (en notantPle plan): A i=Q2P8j2InfigPiQ6PjQ:

Les partiesAisont appelées lescellulesdu diagramme de Voronoï. Le pointPiassocié à la celluleAiest appelé

legermede la cellule.

Les diagrammes de Voronoï sont un outil utile pour représenter les zones de couverture d"antennes radio, ou

pour étudier l"implantation d"écoles, d"hôpitaux, de bureaux de poste, etc, dans une région.

1. Soient AetBdeux points du plan. Montrer que l"ensemble des points équidistants deAetB(autrement

dit, l"ensemble des pointsPdu plan tels quePA=PB) est une droite (qu"on noteraD, et qui est appelée

lamédiatricedu segment[AB]). 2. Montrer que la droite Dest orthogonale à la droite(AB). 3. Montrer que l"ensemble des points Pdu plan tels quePA6PBest le demi-plan de frontièreDcontenant A. 4. Quel est le diagramme de V oronoïd"un ensemble de deux points distincts? médiatrice du segment[PiPj]et qui contient le pointPi. 4

1.Montrer que, pour tout i2I, on a:

A i=\ j2InfigP i;j: 2. Dessiner le diagramme de V oronoïde trois points formant un triangle équilatéral. 2. Que dire du point commun à trois cellules de V oronoï,appelé sommet de V oronoï? 3.

Que dire du cercle centré en un sommet de V oronoïet passant par un germe d"une des trois cellules?

4.

Ajouter un point au triangle équilatéral de l"e xerciceprécédent, et tracer le nouv eaudiagramme de

Voronoï.

5.

Ajouter un cinquième point très proche d"un sommet de V oronoïet tracer le nouv eaudiagram mede

Voronoï. Toutes les cellules ont-elles changé ?

8(P;Q)2X2[PQ]X;

autrement dit, pour tout couple(P;Q)de points deX, le segment[PQ]tout entier est contenu dansX. 1.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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