[PDF] CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

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CALCULDIFFERENTIEL

ET

EQUATIONSDIFFERENTIELLES

LICENCEDEMATHEMATIQUESANNEES2000-2004

GeorgesCOMTE

LaboratoireJ.A.Dieudonne,

UMRCNRS6621,

UniversitedeNice-SophiaAntipolis,

28,avenuedeValrose,

06108NiceCedex2,

e-mail:comte@math.unice.fr bureau:821

I-CALCULDIFFERENTIEL

Introduction1

Chapitre0-Rappelsd'algebremultilineaire4

0.1-Continuiteetalgebremultilineaire4

0.2-Notiondegraphe6

Chapitre1-Applicationsdierentiables8

1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert10

1.3-Deriveespartielles11

1.4-Dierentiellesd'ordressuperieurs12

ExercicesduChapitre114

CorrigedesexercicesduChapitre115

Chapitre2-Calculssurlesdierentielles22

2.1-Theoremedesapplicationscomposees22

2.2-Structured'espacevectoriel23

2.4-Theoremedelamoyenne25

2.4-TheoremesCk29

ExercicesduChapitre234

CorrigedesexercicesduChapitre236

3.2-

EtudedeIsom(E;E)auvoisinagedeIdE48

3.3-

EtudedeIsom(E;F)49

3.4-Dieomorphismes50

EduChapitre351

CorrigedesexercicesduChapitre351

4.1-Rappelssurlaconvergenceuniforme54

4.2-Suitesdefonctionsdierentiables55

4.3-FormulesdeTaylor59

4.3.1-FormuledeTaylor-Young59

4.3.2-FormuledeTayloravecresteintegral60

4.4-Pointscritiquesetextrema63

ExercicesduChapitre466

CorrigedesexercicesduChapitre468

5.1-Dierentiellespartielles76

5.3-Letheoremedelafonctionimplicite79

ExercicesduChapitre592

CorrigesdesexercicesduChapitre593

References112

II-EQUATIONSDIFFERENTIELLES

6.2-Solutionsmaximales102

6.4-LeproblemedeCauchy104

6.8-Retoursurl'equation()108

ExercicesduChapitre6109

CorrigedesexercicesduChapitre6109

References112

III-EXAMENSETPARTIELS

Testscorrigesi

Enoncesannee2000-2001iii

Enoncesannee2001-2002vii

Enoncesannee2002-2003xi

Enoncesannee2003-2004xix

Corrigesannee2000-2001xxvi

Corrigesannee2001-2002xxxii

Corrigesannee2002-2003xxxvii

Corrigesannee2002-2003xliv

I-CalculDierentiel

Introduction

traitedanslecoursdevariablecomplexe.) xa,admetunelimitelorsquextendversadans (xa)[f(x)f(a)f0(a)(xa)]2Rtendevers droiteaupoint(a;f(a)). f(x) f(a)+f'(a)(x-a) f(a)d x=|(x-a)ea(x)| ax |x-a| tenndversassilerapportu1=u2tendvers0ena.

2Introduction

ouC).Soit a2

Denition.Onditquel'applicationf:

!Festderivableenassilafonction nfag3a!1 !Fdelimitenulleena,telsque: 8x2 ;f(x)f(a)=(xa):~f0(a)+jxaj:pa(x):() D {0}xF{x}xF (a,f(a)) d x G (a,0 )

F(x,0 )FKx{0 }F

|x-a| lineaireLa:E!F,uneapplicationpa: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakE:pa(xa):"

Introduction3

l'applicationlineaireLasoitcontinue.

0.1-Continuiteetalgebremultilineaire.

unouvertdeE,a2 etf: l'onsedonnesurEetF. L a j:Ej!F h7!La j(h)=L(a1;:::;aj1;h;aj+1:::;an) estlineaire.

2-lineaire(onditbilineaire)surR.

L:EE!RdenieparL(~u;~v)=P1

k(x1;;xn)k1=Pn ikxikEietk(x1;;xn)k2=v u u t nX i=1kxik2

Ei.Danslecasoun=2etE1=E2=R,

pluslipschitzienne. j=0uj:vjdel'exempleci-dessus lasuite(desuites!)(~un=(1 max j=0;:::;1j(~un)jj=1 j=01pn1pn= jouepas). continuedel'exercice2. t.3.(y))

Lesproprietesquisuiventsontequivalentes:

i-LestcontinuesurE1:::En. ii-Lestcontinueseulementen(0E1;:::;0En). kL(x1;:::;xn)k:kx1k:::kxnk: kLk=sup kx1k:::kxnk

Noterqueparmultilineairite:

kLk=sup kx1k:::kxnk kL(x1;:::;xn)kFkLk:kx1kE1:::kxnkEn: (proprietevdutheoreme0:1)) m^emes.

0.2-Graphed'uneapplication.

f=f(a;f(a))2AB;a2Ag. y=z=f(x)(xn'aqu'neseuleimageparf).

8Chapitre1-Applicationsdierentiables.

Chapitre1-Applicationsdierentiables

Eun ouvertdeE,a2 etf: !Funeapplication. =fx2Etelqu'ilexistet2Rveriantx=a+t~hg: deE. unitaires (a;~h):K3t!a+t:~h2(a;~h) e f(a;~h):K3t' (a;~h)!a+t:~h2(a;~h)f!f(a+t:~h)2F (a;~h)de equotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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