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Cet ouvrage propose une introduction à la logique mathématique accessible aux Tester ses connaissances à travers une série d'exercices corrigés.

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TD mathématiques : logique 1/9. TD : Exercices de logique négation Exercice 7 Examiner les relations logiques existant entre les assertions suivantes :.

Exercices de mathématiques - Exo7

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Exercices 2 Exercices sur la logique des propositions Or d'après les tables de vérité de ces formules (cf. corrigé de l'exercice 34)

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Exercices 4Exercices sur largumentation

Exercices sur la structure

des raisonnements

Exercices 1

a) 2 1 Dans le cas présent, trois prémisses convergent initialement vers une conclusion, mais

Exercices sur la logique

des propositions

Exercices 2

1.RŽponses correctes

2.Les expressions a, j, l ne sont pas des propositions. Les expressions b,

d, f, h sont des pro 3.a) 4. a) faux

6.a) vrai

p qp ? qp ? qp qp ? qp qp q V p q qp ? q V

7.Les cinq propositions complexes peuvent tre formalisŽes de la man

e d c) LÕ‰me est Žternelle, quÕelle soit ou non dÕessence divine. e d) QuÕelle soit ou non dÕessence divine, lÕ‰me est ou nÕest pas Žternelle. e ¬e e) QuÕelle soit ou non dÕessence divine, lÕ‰me est et nÕest pas Žternelle. e ¬e de lÕexercice 34), d) est vrai dans tous les cas o a) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o c) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o b) est vrai, qui est lui-m me vrai dans tous les cas o e) est vrai. LÕordre du plus probable au moins probable est donc : d) ; a) ; c) ; b) ; e).

8.Les quatre propositions complexes peuvent tre formalisŽes de la m

g b) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ mais aussi la gestionc g c) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ et facilite ou non la gesti on c (g¬g) d) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ si et seulement si elle la complique c ¬c de lÕexercice 35), a) est vrai dans tous les cas o c) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o b) est vrai, qui est lui- mme vrai dans tous les cas o d) est vrai. LÕordre du plus probable au moins probable est donc : a) ; c) ; b) ; d).

9.Sont mal formŽes les expressions

10.Ar pour Çt pour Ç

t ou ¬(r ¬t) r

¬(r t)

¬(t r)

a pour Çb pour Ç b

¬a ¬b ou ¬(b ¬a)

¬(b a)

¬(a b)

s pour Çc pour Ç c ou ¬c ¬s ou encore ¬(s ¬c) c pour Çp pour Ç p ou ¬p ¬c Lorsque plusieurs formalisations sont proposŽes, elles sont logiqueme nt Žquivalentes, 11.a) 12.A m

¬(b m)

¬m

¬b ¬m

m l s c) W r ¬x (la Ç x ou ¬x ¬r (au sens strict, Ç

¬i p

¬r

¬(f r)

(p m) ¬(d f) ¬(h v) ou encore ¬d ¬f ¬h ¬v ¬s ¬s e ou ¬e ¬i e ¬e) i ou plus simplement : i (r a) ou encore ¬[f ¬(ra)] (r m) ou encore p (¬m r)

13.a)¬p q

¬p ¬q

¬q (¬r t) ou alors ¬r (q t) r) s p ou encore ¬p ¬r r) (q ¬r) ¬r) s ou encore s

¬(t ¬q) ou encore t q

¬(p s)

(s t) ¬s

¬r (¬s W t)

(s ¬t) s)

14.a)¬(p q)

¬p q

p est vrai et q faux et quand p et q sont tous deux faux p et q sont faux, c'est à dire quand la garde

15.(e d) [e (c f)]

p q¬(p q) V p¬p¬p q V p¬p¬q¬p qp ¬q¬p ¬q¬(p q) V e dc fe (c f)(e d) [e (c f)] a)

16.a) qp faux et q faux

pp faux et q faux qp faux et q faux qp vrai et q vrai q) rp faux et q vrai (donc pq vrai) et r vrai (r s)p faux, q vrai (donc pWq vrai) et r faux, s faux (donc rs faux) ¬p ¬q) r ou (p q) rp faux et q faux (donc ¬p¬q vrai) et r faux pp vrai et q faux qp vrai et q faux 17.

A = ¬a (bWc)

(ac)

¬(abc)

Mer a) g cFFFFVVFF b) t ¬sVVFFFFFF c) g uFFFVVVVV d) g W tVVVVVVVV e)

¬s W ¬dFFVVFFFF

f) s gVVFFVVVV g) (c d) gVVVVVVVV h) g (c d)VVVVVVFF i)(t c)(c¬d)FFFFFFVV a¬abWcAacBababcC V d)

19.En niant une tautologie, on obtient nécessairement une contradiction,

puisque tous les

20.a) [(p q) ¬p] ¬q

q) q] p q) (¬p q)] q p¬p¬qpq(pq) ¬p[(pq) ¬p] ¬q V pq(pq) q[(pq) q] p V p¬ppq¬pq(pq) (¬pq)[(pq) (¬pq)] q V d)¬(pq) (¬p¬q) (q r)] [(p q) (p r)] q) r] [(p r) (q r)] pq¬(pq)¬p¬q

¬p¬

¬(pq) (¬p¬q)

V prp(qr)pqpr(pq) (pr)Formule V pq(pq)rprqr(pr)(qr)Formule V g)¬p ¬q) r] [(p q) s]} (r s) q) (¬p q) est valide q) q n'est ni valide ni contradictoire q) (p q) est valide q) (¬p ¬q) n'est ni valide ni contradictoire q) (¬p ¬q) n'est ni valide ni contradictoire q) p] p est valide

¬p q) (p ¬q) est contradictoire

q) (q r) est valide ¬p) (q ¬q) est contradictoire q) [(q m) (p m)] est valide (q p) est valide

¬p (p q) est valide

q) (p ¬q) est valide q) (q r) (p r) est valide q) (q p) est valide p¬p¬q¬p¬q(¬p¬q)rpq(pq) s[(

¬p¬q)r]

[(pq)s]r sFormule V

21.a) ¬(p r) ¬r

(q r)] ¬(q r)} ¬p r) q] [q (p q)]} (p q) pr¬(pr)¬r[¬(pr)] ¬r V V pr(pr)qpqq(pq)[(p r)q] [q (pq)]p qFormule V d) p) (r s) (¬q r)] (p s)

22.a)¬s ¬r) d] r s} ¬d

d) i] (m i) ¬d) e] ¬e} (¬s d) : Raisonnement valide ¬m) a] [¬a (¬e m)]

¬h ¬i) (h ¬i)] (i h)

q) [(w r) q] [(q r) w]} (w q) (l s)] ¬(l g) ¬(g s ¬c) (c ¬m) (m g)} ¬p 23.a)
pprs(qp)(rs)¬q¬qr(q p)(r s) (¬q r)p sFormule V conclus que ¬p, ¬q ¬(pq) alors que jÕaurais dž ramiÞ¬p et dÕautre

¬q.

, je conclus que ¬r¬ q) ˆ (p¬q) alors que jÕaurais dž ramiÞ¬r et

¬ q).

26.DŽmontrer quÕune formule nÕest ni valide ni contradictoire, cÕ

est dŽmontrer quÕon peut la {[(p q) p] q} (p q) p, q (p q) p, q (p q), p, q p, p, qq, ¬p, q OO q) p] q [(p q) p]¬q O (p q) p, q O p p O {[(p q) q] p} (p q) q, p p q, q, p p, q, q, p

X¬p, ¬q, q, ¬p

X c) p, p q, q q, p q, q X p, p, q

X¬p, q, ¬q

X¬{[(p q) (¬p q)] q}

(p q) p q), q p q, p q, q (p q) p q)} (p q), p q p q, p q p q, ppq, ¬q p, p

Xq, ¬p

Op, ¬q

Oq, ¬q

X (p q), p q) p, q, p q) p, q, p, q X (p q) p q) (p q), p q) p q, p q) p q, p, q¬p, ¬q, ¬p

O ¬p, ¬q, ¬q

O p q, p, q p, p, q

Op, p, q

O (p q), p q p, q, p q e)

Formule non valide

{[p (q r)] [(p q) (p r)]} p (q r), [(p q) (p r)]¬[p (q r)], (p q) (p r) p (q r), (p q), (p r)¬p, ¬(q r), (p q) (p r) q r, (p q), (p r) q, r, (p q), (p r) p, (q r), p q p, (q r), p, q X q, r, p, (p r) p, (p q), (p r) p, p, (p r) X p, q, (p r) p, q, p

X p, ¬q, ¬r

Oq, r, ¬q, ¬(p r)

X q, r, p, p

O q, r, ¬p, ¬r

X p, (q r), p r p, (q r), p, r X {[p (q r)] [(p q) (p r)]} p (q r), (p q) (p r)¬[p (q r)], ¬[(p q) (p r)] p, (p q) (p r) q r, (p q) (p r)¬p, ¬(q r), ¬[(p q) (p r)] p, p q p, p r q, r, (p q) (p r)¬p, ¬(q r), ¬(p q), ¬(p r) p, p, q p, p, r q, r, p q q,r, p r¬p, ¬q, ¬(p q), ¬(p r)¬p, ¬r, ¬(p q), ¬(p r) q, r, p, q q, r, p, r¬p, ¬q, ¬p, ¬(pr)¬p, ¬q, ¬q, ¬(pr)p, q

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