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Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions : corrections 2013-2014

Exercices prioritaires :Vrai-Faux

?Exercice n° 1 1. L orsd "unch ocinélast iquen il "énergien il aq uantitéde mouv ementne son tcon servées. Faux : l"énergie n"est pas conservée (inélastique) mais la quantité de mouvement oui

(système isolé).2.L orsdu ch océl astiqued "uneball ei ndéformablet ombantv erticalementsur la sur facede

la terre (supposée aussi indéformable) la quantité de mouvement totale n"est pas conser- vée sinon la terre serait légèrement déviée. Faux : Si on considère le système Terre+Balle sa quantité de mouvement se conserve. La terre change de vitesse après le choc mais ce changement est infime. En supposant un choc frontal avec la terre de masseMà l"arrêt (VAE0) et la balle de massemAE300get de vitessevon obtient : v

0AEm¡MmÅMv'¡vetV0AE2mmÅMv'10¡25v3.R oulonss ousla plu ie: un wagon netr oulesan sfr ottementà l "horizontale,sou sl ap luie,

de sorte qu"il se remplit d"eau au fur et à mesure qu"il avance.

Sa vitesse :

(a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangep as

Diminue :

d#pdt

AE#0 (pas

de forces). Comme la masse augmente la vi- tesse va diminuer.Sa quantité de mouvement : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangep as

Ne change pas :

le wagonnet n"est soumis à au- cune force extérieure donc le PFD nous dit que d#pdt

AE#0.Son énergie :

(a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangepa s

Diminue : l"énergie du

wagonnet estp2/2m.

Commemaugmente,

l"énergie diminue.UJF L1 1 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions : corrections 2013-2014

Couple de patineurs

?Exercice n° 2 Un couple de patineurs est initialement immobile sur la glace. Se repoussant avec leurs mains, la femme communique à son partenaire une vitesse de 10 km/h sur la glace. La femme a une massemAE52 kg et l"homme une massem0AE68 kg. 1. Q uelest le mou vementdu cent rede m assedu cou ple?

Le couple de patineurs n'étant soumis à aucune force externe, leur centre de masse - observé

dans un repère lié à la glace ( (0,x) ) - reste immobile avant et après que la femme ait repoussé son partenaire, car :

0&&& *

iext iG

Fm'+m, donc 0&&=Cte=V

Go , du fait que 0=V G

à t = 0.

Pour les mêmes raisons, la quantité de mouvement totale (

P&) du couple doit rester constante

au cours du temps - ce qui implique que : 000&&&&&==tP=V'+mVm'=>tP, ce qui, projeté sur l'axe (0,x), donne :

0=V'+mVm' , soit : km/h 13,1ou m/s 3,63m/s 3600/10

52
68
4 ==V' m m"=V˜ femme - m = 52 kghomme - m" = 68 kg

à t = 0

à t > 0

V V o i x

V = 10 km/h2.C alculerla vitesse d el afemm esu rla g laceet l av itesseà laqu ellel "hommev oits apa rte-

naire s"éloigner.

Le couple de patineurs n'étant soumis à aucune force externe, leur centre de masse - observé

dans un repère lié à la glace ( (0,x) ) - reste immobile avant et après que la femme ait repoussé son partenaire, car :

0&&& *

iext iG

Fm'+m, donc 0&&=Cte=V

Go , du fait que 0=V G

à t = 0.

Pour les mêmes raisons, la quantité de mouvement totale (

P&) du couple doit rester constante

au cours du temps - ce qui implique que : 000&&&&&==tP=V'+mVm'=>tP, ce qui, projeté sur l'axe (0,x), donne :

0=V'+mVm' , soit : km/h 13,1ou m/s 3,63m/s 3600/105268

4 ==V'mm'=V˜. L'homme voit sa partenaire s'éloigner à une vitesse : km/h 23,1=V'+V.

V = 10 km/hBillard à une bande

?Exercice n° 3 Les boules A et B d"un billard sont disposées comme sur la figure. On veut percuter la boule B avec la boule A, via un rebond sur la bande.UJF L1 2 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions : corrections 2013-2014 1. E nsu pposantl ech océlast ique,t rouverl aposi- tion du rebond de la boule A sur la bande pour que celle ci entre en collision avec la boule B. 2.

S achantqu "onconsidér erala ban dec ommeu n

on dire de l"énergie de la boule avant et après le choc?3.Q uepeut-on dir edes c hangementd equant itésde mouv ementsel on( x) et selon (y)? i Lors du choc sur la bande les forces sont exclusivement perpendiculaires à celle-ci.B

démontrés aux questions 2 et 3.2La bande étant immobile, indéformable et infiniment lourde elle a donc une énergie ci-

nétique qui ne peut varier. Donc la conservation de l"énergie cinétique au cours du choc (élastique) nous assure que l"énergie cinétique de la boule se conserve. Le mo- dule de la vitesse de la boule est donc conservé :)viAEvr

3En considérant le système constitué de la boule seule : ce système subit une variation

de quantité de mouvement à l"instant du choc car c"est le seul moment où une force

extérieure (réaction de la bande) au système est présente. Cette force étant perpendi-

culaire à la bande on peut donc dire que la quantité de mouvement sur l"axeOxest conservée :mvixAEmvrx)vixAEvrx. La conservation de l"énergie cinétique nous permet donc de dire quejviyj AE jvr yj. Sur l"axe 0yon a en revanche au moment du chocdvy/dtAER(Rétant la force exercée par la bande au moment de l"impact) ce qui impose quevr yetviysoient de signes opposés. On a donc au final : v ixAEvrxetviyAE¡vr y

1D"après ce qui précède on aµiAE¡µr. En choisissant l"origine du repère tel queAAE(0,h1)

etBAE(d,h2) nous définirons le point d"impactIAE(xI,0). On a : tan(µi)AExIh

1et tan(µr)AExI¡dh

2)xIAEh1h

1Åh2dRalentissement d"atomes par des photons

??Exercice n° 4

Les forces exercées par la lumière sur la matière peuvent se comprendre de façon assez simple

UJF L1 3 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions : corrections 2013-2014 et une quantité de mouvementpphAEhº/cAEh/¸, avechAE6,63£10¡34la constante de Planck,

ºla fréquence de l"onde électromagnétique,¸la longueur d"onde etcla vitesse de la lumière

dans le vide. Quand un atome absorbe (ou émet un photon), ce dernier disparaît (ou apparaît),

mais l"énergie et la quantité de mouvement totale sont conservées. 1.

O nc onsidèreu nje td "atomes,se dép laçantde ga ucheà dr oiteà la v itesseinitiale v0:

de combien la quantité de mouvement de chaque atome varie-t-elle lorsqu"il absorbe un photon se propageant en sens opposé? (faire un schéma représentant la situation avant/après) avanta près mv 0

Ͳh/cmv'

0 =mv 0

Ͳh/cLa conservation de la quantité de mouvement nous dit :mv00AEmv0¡hº/c2.D ufa itde l "intensitédu faisc eaulu mineuxet de l "efficacitédu p rocessusd "absorption,

chaque atome absorbeRphotons par seconde. En déduire la quantité de mouvement ¢pencaissée par chaque atome pendant un temps¢tet donc, la force de freinage qui s"exerce sur un atome. Pendant¢t,R¢tphotons sont absorbés ce qui conduit à une variation de quantité de mouvement pour l"atome de :

¢pAE¡R¢t hº/c

La force de freinage (négative car s"opposant au mouvement) associée est donc :

FAE¢p¢tAE¡Rhºc

3. M ontrerqu el afor ceexer cées "exprimede f açontrès s impleen f onctionde la puissan ce P abs(en W) transportée par les photons absorbés. A quelle relation déjà connue, cette relation puissance-force est-elle analogue? L"énergie transportée par un photon esthº. DoncRhºreprésente l"énergie absorbée par unité de temps (autrement dit la puissance). On a donc : P absAERhºAEjFjcUJF L1 4 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions : corrections 2013-2014 On retrouve l"expression de la puissance développée par une force #Fsur un objet de vitesse#v:PAE#F.#v4.L esatomes de sodium de m assea tomiquemAE23 g et de vitesse initialev0AE300 m/s absorbent un photon de longueur d"onde 0.6¹m toute les 3¹s. Que vautR? En déduire le temps nécessaire pour immobiliser les atomes.

On a 1/RAE3¹s soitRAE0,33MHz.

A chaque choc les atomes perdent une quantité de mouvementhº/c. Donc pendant une seconde la perte de vitesse est de

Rhºmc

. On en déduit que pour perdre tout leur vitesse les atomes doivent attendre¢tavec : v

0AERhºmc

¢t)¢tAEmcv0RhºAEmv0¸Rh

AE0,023.300.0,6.10¡66,02.10

23.0,33.106.6,6.10¡34AE32ms5.E nf ait,c haqueabs orptionest suiv ied el "émissionsp ontanéed "unp hotonq uip arten

dans le bilan global des échanges de quantités de mouvement? Si l"on suppose la re-émission des photons isotrope cela signifie que la quantité de mouvement moyenne de re-émission est nulle. Cela justifie donc que l"on néglige ce

processus dans le bilan de quantité de mouvement.Remarque : dans cet exercice, la description théorique du problème est énormément simplifiée

perdue par les atomes? Energétiquement le bilan est tout autre. En effet en supposant la conservation de l"énergie on peut calculer la puissance re-émise. P rAEPabs¡mv202¢tAERhº³

1¡v02c´

Cela peut s"interpréter comme si les photons re-émis avaient une fréquence moyenne ré- duite (effet Doppler)UJF L1 5 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions : corrections 2013-2014

Ralentissement des neutrons

??Exercice n° 5 Un neutron de massem, de vitesseV, heurte un noyau de massekmau repos. Exprimer l"éner- gieE0du neutron après le choc en fonction de son énergie initialeEet dek. On suppose que les

vitesses des particules, avant et après le choc, sont toutes colinéaires et que l"énergie cinétique

est conservée au cours du choc (choc élastique).

Note : le noyau étant en moyenne beau-

coup plus lourd que le neutron, celui-ci rebondit en le heurtant - comme un bal- lon léger sur un mur.

La quantité de mouvement du système

neutron-noyau est conservée. Puisque le choc est élastique, son énergie cinétique est également conservée, soit :Exercice 7.3 : ** Ralentissement des neutrons Note : le noyau étant en moyenne beaucoup plus lourd que le neutron, celui-ci rebondit en le heurtant - comme un ballon léger sur un mur. La quantité de mouvement du système neutron-noyau est conservée. Puisque le choc est élastique, son énergie cinétique est également conservée, soit : xconservation de la quantité de mouvement : xconservation de l'énergie cinétique : 222
21
21
21
Soit encore en simplifiant par m et en projetant sur l'axe (o,x) : 222
21

Que l'on peut réécrire sous la forme :

222
21
N f n i n f n i n f n i n f Nf ni n

Vk=VVV+V=VVkV=V+V

Noyau : k m neutron : m

avant après V N f o x V n i V n f élastique, son énergie cinétique est également conservée, soit : xconservation de la quantité de mouvement : xconservation de l'énergie cinétique : 222
21
21
21
Soit encore en simplifiant par m et en projetant sur l'axe (o,x) : 222
21

Que l'on peut réécrire sous la forme :

222
21
En divisant membre à membre ces deux équations, on obtient : et en remplaçant dans (1), , d'où : 11. L'énergie cinétique finale du neutron est donnée par : 22
2 22
2 11 11 21
21
Pour un choc, l'énergie du neutron est divisée par 22
11 , pour chocs l'énergie du neutron sera divisée par

La condition est satisfaire lorsque

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