[PDF] Exercices de mécanique du solide

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Exercice de mécanique du solide

Dynamique, lois de COULOMB

EXERCICE 1 Dynamique en référentiel non galiléen_ peut glisser sans frottements sur une table horizontale.

QUESTION 1 Déterminer l"abscisse ݱ቗ݭቘ du point ݀ du prisme le long du plan horizontal. On

considérera que ݱ቗0ቘ൩ 0.

QUESTION 2 Exprimer ߽

On donne ݉ ൩௽௱ో

୓, moment d"inertie du rouleau par rapport à son axe de révolution.

Solution

QUESTION 1

EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN

Dynamique, lois de C

OULOMB http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/

2 / 6 L"accélération du prisme par rapport à ݑݎݱݲ vaut ݱቔݞՃఈ.

Notons ݑ቉

Appliquons le théorème du centre d"inertie au prisme dans le référentiel ݑݎݱݲ :

Le rouleau exerce sur le prisme les actions ൣݑ቉ réciproques. ݍ቉ ቉Ճ représente l"action du plan horizontal sur le prisme. On en déduit :

Il nous faut donc expliciter ݑ቉

Etudions le cylindre dans le référentiel ݑ d"inertie d"entraînement ݅Ճ ௹൩ ൣݦݱቔݞՃఈ en plus du poids, et des efforts de contact.

Notons ݱ

Projetons cette relation sur les axes ݎݱ

Le moment cinétique dans ݑ

2߽ (attention à l"orientation de ߽

Le théorème du moment cinétique appliqué au cylindre, au point ݂ fournit quand à lui :

d݋ dݭ൩ ݂݈቉቉቉቉Ճ؅ puisque les moments de trois autres forces sont nuls. Projetons cette dernière relation sur l"axe ݎݳ : 2߽ 2 EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN

Dynamique, lois de C

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3 / 6 Pour compléter ces équations utilisons la condition de roulement sans glissement pour le cylindre : ݱቓ La combinaison des équations précédentes permet d"obtenir :

3݌ ൢ ݦcos

Cette dernière équation s"intègre en :

QUESTION 2

La condition de roulement sans glissement donne ensuite :

EXERCICE 2 Lois de COULOMB_

୓ par rapport à son axe de révolution et de centre d"inertie ݂, roule sans glisser le long de la plus grande pente d"un L"ensemble est étudié dans un référentiel galiléen. L"air exerce sur le cylindre des efforts équivalents à une force de point d"application ݂ :

݅Ճ൩ ൣݛݦݕ቉Ճ቗݂ቘ, ݛ étant un coefficient positif constant.

Les efforts de contact entre le cylindre et le plan incliné obéissent aux lois de COULOMB. On appelle ࠁ le coefficient de frottement associé.

On repère le cylindre par l"abscisse de ݂ notée : ݱ቗ݭቘ et par l"angle : ߽

Initialement le cylindre est abandonné immobile, on donne ݱ቗0ቘ൩ 0 et ߽ EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN

Dynamique, lois de C

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4 / 6 QUESTION 1 Exprimer au cours de la descente ݱቓ቗ݭቘ. QUESTION 2 Montrer que ݂ va atteindre une vitesse limite que l"on exprimera.

QUESTION 3 Dans le cas où on peut négliger les frottements de l"air, montrer que le

que l"on explicitera.

Solution

QUESTION 1

Appliquons le théorème de la résultante cinétique au cylindre, ce dernier étant soumis au

poids, aux efforts de contact ݑ቉ - On obtient sur ݞՃఈ - On obtient sur ݞՃఊ

Pour exprimer ݑ

௪ appliquons le théorème du moment cinétique au cylindre en ݂ : d dݭ le moment du poids, de la réaction normale, ainsi que celui de ݅ sont nuls en ݂. 2߽ on a donc : EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN

Dynamique, lois de C

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5 / 6 2߽

Les inconnues sont ݑ

L"équation

2ݱቔ

௪ൣ ݛݦݱቓ ൩ ݦݱቔ elle permet d"obtenir : 2 donc 2ݛ 3

ݱቓ ൩2

3

La solution de cette équation différentielle du premier ordre à coefficients constants est :

቗0ቘ൩ 0 donc :

QUESTION 2

La vitesse limite est atteinte au bout d"un temps très long, lorsque ݭ չ ∞ on a :

QUESTION 3

ݦݱቔ devient :

L"égalité

୓ݱቔ ൩ ݑ௪ est conservée, donc : EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN

Dynamique, lois de C

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6 / 6

ݑ௪൩1

3 Le roulement sans glissement est assuré tant que donc tant que 1 3 c"est-à-dire tant quequotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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