[PDF] Recueil des oraux de mathématiques PC* — lycée Henri Poincaré

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Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20171

Recueil des oraux de mathematiques

PC *| lycee Henri PoincareExercice 1. (Centrale PC, 2017, Leonie Fagot)

On considere une suite (X

n)n>1de variables aleatoires independantes de loiB(p). Pour toutn dansN, on pose Sn= X1++ Xn.

1.Donner la loi de Sn.

2.Dans quelle mesure peut-on dire que Sn=nest proche dep? (Puis : demontrer la loi faible des

grands nombres.)

Soitt2N. On lui associe la variable aleatoire

N t= Cardfk2N; Sk6tg:

On remarque alors l'egalite [N

t=k] = [Sk=t]\[Sk+1=t].

3.Determiner la loi de Nt.

4.Determiner la fonction generatrice de Nt.Exercice 2. (Centrale Python PC, 2017, Leonie Fagot)

On considere l'equation dierentiellep1 +t2y00(t) +ty0(t)y(t) = 0.

1.Tracer les solutionsfetgsoumises aux conditions initiales

(f(0);f0(0)) = (0;1) et (g(0);g0(0)) = (1;0):

L'une d'elles vous semble-t-elle evidente?

2.Chercher l'autre solution sous la forme d'une somme de serie entiere.

3.Pour touttdans ]1;1[, prouver l'egaliteg(t) =p1 +t2.Exercice 3. (Mines-Ponts PC, 2017, Clement Legris)

On telephone anpersonnes. Chaque personne a une probabilitepde repondre a l'appel. On note X

1le nombre de personnes qui repondent a ce premier appel.

On eectue ensuite une deuxieme vague d'appel a destination des personnes qui n'ont pas repondu la premiere fois. On note X

2le nombre de personnes qui repondent au deuxieme appel.

On repete le processus jusqu'a ce que tout le monde ait repondu. Pour toutjdans [[1;n]], on note Y jle numero de l'appel auquel laj-ieme personne a repondu. On note N le nombre total de vagues d'appels.

1.Les variables aleatoires X1et X2sont-elles independantes?

2.Donner la loi de Yj.

3.Determiner les lois de X1et X2.

4.Calculer l'esperance de N.Exercice 4. (Mines-Ponts PC, 2017, Clement Legris)

Soit (un)n2Nune suite reelle positive de limite nulle.

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20172 On note D l'ensemble desa >0 tels que la serie de terme general (un)aconverge.

1.Montrer que si D est non vide, alors c'est un intervalle de la forme [s;+1[ ou ]s;+1[.

2.Donner un exemple ou D est vide et un exemple ou D est de la forme ]s;+1[.Exercice 5. (Mines-Ponts PC, 2017, Inconnu)

On posef(x) =Z

+1 0e xt1 +t2dt.

1.Montrer quefest denie et continue sur [0;+1[.

2.Montrer que la fonctionfest de classeC1sur ]0;+1[.

3.Trouver la limite defen +1puis un equivalent.Exercice 6. (Mines-Telecom PC, 2017, Inconnu)

On considere la matrice A =1 4

1 3

1.Montrer que A n'est pas diagonalisable.

2.Trouver une matrice P de GL2(R) telle que P1AP =1 1

0 1

3.Resoudre le systeme dierentielx0=x+ 4y

y

0=x+ 3y:Exercice 7. (Mines-Telecom PC, 2017, Inconnu)

Pour toutn2N, on denit la fonctionfn:x7!ex1 +n2x2et on poseun=Z 1 0 f n(t) dt. 1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n2Nsur [0;1].

2.La convergence est-elle uniforme sur [0;1]? Pour toutadans ]0;1], montrer que la convergence

est uniforme sur [a;1].

3.Montrer que la suite (un)n2Nconverge.

4.Determiner un equivalent deunquandntend vers +1. On pourra eectuer un changement

de variable.Exercice 8. (CCP PC, 2017, Inconnu) Soit A une matrice symetrique reelle deMn(R) telle que A5+ A4+ A3+ A2+ A = 0.

1.Montrer que A est diagonalisable.

2.Soitune valeur propre de A. Montrer que5+4+3+2+= 0.

3.En deduire que A est la matrice nulle.Exercice 9. (CCP PC, 2017, Inconnu)

Soitp2]0;1[. Dire qu'une variable aleatoire X suit la loi GN(p) signie que X( ) =Net8k2N;P(X =k) =pqk;

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20173 ou l'on a poseq= 1p.

1.Soit X une variable aleatoire de loi GN(p). On pose S = X + 1. Reconna^tre la loi de S. En

deduire l'esperance de X.

2.Soient X et Y deux variables aleatoires independantes de loi GN(p). On pose Z = min(X;Y).

Pour toutn2N, montrer l'egaliteP(X>n) =qn. En deduire la valeur deP(Z>n).

3.Determiner la loi de Z et calculer son esperance.

On lance une piece dont une probabilite de faire Pile vautp. Pour tout entieri, on note Fi l'evenement

On obtient Face aui-ieme lancer..

On note T la variable aleatoire qui donne le nombre de Face avant le premier Pile.

4.Pour toutk2N, exprimer l'evenement (T =k) en fonction des Fi.

5.Determiner la loi de T et son esperance.

6.On reprend les variables aleatoires X;Y;Z de la question 2 et on pose D =jXYj.

Pour toutk2N, determiner la loi conditionnelle de D sachant (Z =k). En deduire la loi de D.Exercice 10. (Mines-Telecom PC, 2017, Inconnu)

Soitp2]0;1[. On poseq= 1p. On considere deux variables aleatoires X1et X2independantes de loiG(p).

1.Soitn2N. Decomposer l'evenement [X1X2=n] comme reunion disjointe d'evenements, de

maniere a calculer sa probabilite.

2.Soitn2Z. Montrer l'egaliteP(X1X2=n) =P(X2X1=n). En deduire la loi de X1X2.

3.On suppose que X1et X2representent le temps d'attente a deux guichets de gare distincts.

Comment interpreter l'evenement [X

1X2>0]?Exercice 11. (CCP PC, 2017, Inconnu)

Pour toutn2Net toutx2]0;+1[, on poseun(x) =(1)nx+n. 1. Enoncer le theoreme des series alternees dans sa totalite.

2.Montrer quef:x7!+1P

n=0u n(x) est denie et continue sur ]0;+1[.

3.Pour toutx >0, prouver l'egalitef(x) =1x

+1P k=0(1)kx+k+ 1.

4.Pour toutx >0, prouver l'egalite 2f(x) =1x

++1P k=0(1)k(x+k+ 1)(x+k).

5.Determiner un equivalent def(x) quandxtend vers +1.

6.Determiner un equivalent def(x) quandxtend vers 0 par valeurs strictement positives.

7.Pour toutx >0, prouver l'egalitef(x) =Z

1 0t x11 +tdt.

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20174Exercice 12. (CCP PC, 2017, Inconnu) Soient X et Y deux variables aleatoires independantes de lois respectivesG(p1) etG(p2). Determiner la loi de Z = min(X;Y).Exercice 13. (Mines-Telecom PC, 2017, Inconnu)

On pose A =0

@513 3 13 11 11 A

1.La matrice A est-elle diagonalisable?

2.Determiner l'ensemble des matrices qui commutent avec D = diag(1;2;4).

3.On considere l'equation M2= D, d'inconnue M2 M3(R). Montrer que si M est solution, alors

elle commute avec D. En deduire l'ensemble des solutions de cette equation.

4.Resoudre l'equation X2= A, d'inconnue X2 M3(R).Exercice 14. (Mines-Telecom PC, 2017, Inconnu)

Soitgune fonction de classeC2sur ]0;+1[. On lui associe la fonction f: (x;y)7!gyx denie surR]0;+1[.

1.Resoudre l'equation dierentielle (1 +t2)y0(t) + 2ty(t) = 0.

2.Calculer les derivees partielles d'ordre 2 def.

3.Determiner les choix degpour lesquels f= 0.Exercice 15. (CCP PC, 2017, Inconnu)

Soit E unR-espace vectoriel de dimension 3. Soitfun endomorphisme de E. On fait les hypotheses f

3+f= 0 etf6= 0:

1.Calculer det(IdE). En deduire quef2est dierent deIdEpuis quefn'est pas injectif.

2.Montrer que Ker(f) et Ker(f2+ IdE) sont supplementaires dans E.

3.Montrer que Ker(f2+ IdE) n'est pas reduit af0Eg.

4.Montrer l'existence d'un vecteurxde E tel quef2(x)6= 0Epuis montrer que pour un tel

vecteurx, la famille (f(x);f2(x)) est une famille libre de Ker(f2+ IdE).

5.Montrer que Ker(f2+ IdE) est de dimension 2.

6. Ecrire la matrice defdans une base bien choisie.Exercice 16. (CCP PC, 2017, Inconnu) Soita2R. Pour toutn2N, on denit la fonctionfn:x7!naxn(1x) sur [0;1].

1.Montrer que la suite de fonctions (fn)n>1converge simplement vers la fonction nulle sur [0;1].

Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20175 2. Etudier la convergence uniforme.Exercice 17. (Centrale PC, 2017, Clement Legris)

Pour toutx2R, on posef(x) =Z

+1

0sin(xt)t+t3dt.

1.Montrer quefest denie et de classeC1surR.

2.Pour toutx >0, montrer l'egalitef0(x) =2x

R +1

0tcos(xt)(1 +t2)2dt.

3.Determiner la limite def0en +1.

4.Montrer quefest de classeC2sur ]0;+1[.Exercice 18. (CCP PC, 2017, Morgane Bray)

Pour toutt >0, on pose'(t) =1t

e1=t.

1.Montrer que'(t) tend vers 0 quandttend vers 0 par valeurs strictement positives.

2.En deduire que pour toutx >0, l'integraleZ

x 0 '(t) dtexiste. On la noteh(x).

3.Montrer que les solutions dex2y0(x) +y(x) =xsur ]0;+1[ sont les fonctions de la forme

x7!e1=x(h(x) +k), oukest une constante reelle.

4.Pour toutx >0, montrer l'egalite e1=xh(x) =xZ

+1 0e u1 +xudu. On pourra considerer le changement de variablet=x1 +xu.

5.Montrer que la fonctionf:x7!Z

+1 0e u1 +xuduest denie et continue sur [0;+1[.

6.Montrer queg:x7!xf(x) est solution dex2y0(x)+y(x) =xsur [0;+1[ et que c'est la seule.

7.Montrer quegest de classeC1sur [0;+1[.

8.Trouver la limite degen +1.Exercice 19. (CCP PC, 2017, Morgane Bray)

Soitpun projecteur d'unR-espace vectoriel E. Soit2R. On poseg=p+IdE.

1.Calculerg2.

2.On suppose quegest bijectif. Trouver une expression deg1.Exercice 20. (Mines-Ponts PC, 2017,

Elise Lepage)

Soit E un espace euclidien. Soitsun endomorphisme de E. Montrer que les deux enonces suivants sont equivalents : 9x2R;8(x;y)2E2;(s(x)js(y)) =c(xjy); 8(x;y)2E2;((xjy) = 0)(s(x)js(y)) = 0).

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20176Exercice 21. (Mines-Ponts PC, 2017,

Elise Lepage)

Soit2R. Determiner la nature de la serie de terme generalnn+ nln(n) .Exercice 22. (Mines-Ponts PC, 2017,

Elise Lepage)

On lance deux des equilibres. Les resultats sont notes X

1et X2. Le plus petit des deux est note X.

Le plus grand est note Y.

1.Determiner la loi de X et son esperance.

2.En deduire l'esperance de Y (on considerera X + Y).

3.Simplier XY et en deduire la covariance de (X;Y).Exercice 23. (CCP PC, 2017, Inconnu)

On se donne un entiern>3 et on note M la matrice deMn(R) dont tous les coecients sont nuls sauf ceux de la deuxieme ligne et de la deuxieme colonne, qui valent 1.

1.Calculer M2.

2.Montrer que M est diagonalisable et trouver ses valeurs propres.Exercice 24. (CCP PC, 2017, Inconnu)

Pour toutxreel convenable, on posef(x) =2

Z 1

0cos(xy)p1y2dy.

1.Pour tout"2[0;1[, calculerZ

0dyp1y2.

2.En deduire quef(0) existe et calculer sa valeur.

3.Montrer quefest denie et continue surR.

4.Pour toutxreel, prouver l'egalitef(x) =2

Z =2 0 cos(xsin(t)) dt.

5.Montrer quefest de classeC2surR.

6.Montrer quefverie l'equation dierentiellexy00(x) +y0(x) +xy(x) = 0 surR.

7.Pour toutxreel, prouver l'egalitef(x) =+1P

n=0(1)n2

2n(n!)2x2n.Exercice 25. (X-ESPCI PC, 2017, Inconnu)

Soit (a;b;c;d)2Z4. On considere la matrice A =a b

c d et on suppose que son determinant est impair. On se donne"= ("1;"2;"3;"4)2 f1g4et on pose A"=a"1b"2 c" 3d"4

Montrer que la matrice A

"est inversible.

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20177

Generaliser.Exercice 26. (X-ESPCI PC, Inconnu)

Soit (an)n2Nune suite reelle positive et decroissante. Montrer que les deux enonces suivants sont equivalents : la seriePanconverge; la seriePn(anan+1) converge etan= o(1=n).Exercice 27. (CCP PC, 2017, Florentin Belva)

On pose F(x) =Z

+1 0sin

2(tx)t

2(1 +t2)dtet G(x) =Z

+1 0sin

2(tx)t

2dtpour toutxreel convenable.

1.Montrer que G est denie surR. On admet que F l'est aussi.

2.Pour toutx >0, prouver l'egalite G(x) =xG(1).

3.Pour toutxreel, montrer l'encadrement 06G(x)F(x)6=2. En deduire que F(x) est

equivalent axG(1) quandxtend vers +1.

4.Montrer que F est de classeC2surRet que sa derivee seconde est donnee par

8x2R;F00(x) = 2Z

+1

0cos(2tx)1 +t2dt:

5.Montrer que F est solution de l'equation dierentielley00(x)4y(x) =4xG(1) sur ]0;+1[.

6.En deduire une expression de F sur ]0;+1[ puis surR.Exercice 28. (CCP PC, 2017, Florentin Belva)

Soitfun endomorphisme d'unC-espace vectoriel de dimensionn. On suppose quefest de rang 1 et quef2n'est pas l'endomorphisme nul.

1.Montrer que Ker(f) et Im(f) sont supplementaires dans E.

2.Montrer qu'il existe une constantecomplexe telle quef2=f.Exercice 29. (Centrale PC, 2017, Florentin Belva)

Pour tout polyn^ome reel P, on pose P = P(X + 1)P(X).

1.Justier que est un endomorphisme deR[X]. Determiner son noyau et son image.

2.Justier l'existence et l'unicite d'une base (B0;:::;Bn) deRn[X] telle que

B

0= 1;8k2[[1;n]];Bk= Bk1:Exercice 30. (Centrale Python PC, 2017, Florentin Belva)

Pour tout couple (p;n) d'entiers naturels, on posean;p=Z =2 0 xpcosn(x) dx.

1.Montrer que ces integrales sont bien denies et qu'apxe, la suite (an;p)n2Nconverge vers 0.

2.Programmer une fonctiona(n, p)qui calcule l'integralean;p.

3.On note I(p) =Z

+1 0 tpet2=2dt.

Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20178 Montrer que cette integrale converge et programme une fonctionI(p)qui en calcule une valeur.

4.Trouver une formule explicite pour I(2k+ 1) sikest un entier.

5.Calculern(p+1)=2an=I(p) pournvariant de 1 a 500 pour quelques valeurs depet emettre une

conjecture.Exercice 31. (CCP PC, Lina El Hajji) Pour tout polyn^ome P deR[X], on posef(P) = P(X+1)P(X). Pour tout entiern, on notefn l'endomorphisme deRn[X] induit parf.

1.Donner la matrice def3relativement a la base canonique deR3[X].

2.Soit P2Ker(f). Montrer que PP(0) admet une innite de racines. En deduire Ker(f).

3.Determiner le noyau et l'image defn.

4.Prouver quefest surjective.

5.Trouver tous les polyn^omes P tels que P(X + 1)P(X) = X2.

6.En deduire une expression simple denP

k=0k2.Exercice 32. (CCP PC, Lina El Hajji)

Pour toutxreel convenable, on posef(x) =+1P

n=0expn

1.Montrer quefest denie sur ]0;+1[.

2.Montrer quefest continue sur ]0;+1[.

3.Montrer quef(x) tend vers 1 quandxtend vers +1.

Commentaire du transcripteur.On dirait bien qu'il faut utiliser le theoreme de la double limite,

que j'ai donne mais qui n'est pas au programme. Je vais signaler la chose.Exercice 33. (Centrale PC, 2017, Morgane Bray)

1.Montrer la convergence de l'integraleZ

+1 0 cos(t2) dt.

2.Pour toutx >0, on posef(x) =Z

+1 0e x2(i+t2)i +t2dt.

Montrer qu'il existe un constante reelle K telle que8x >0,f0(x) = Keix2.Exercice 34. (Centrale Python PC, 2017, Morgane Bray)

Pour tout entiern>3, on note Cnla matrice deMn(R) dont tous les coecients sont nuls, sauf ceux de la premiere ligne, de la derniere ligne et de la premiere colonne, qui valent 1. 1.

Ecrire une fonctionc(n)qui renvoie la matrice Cn.

2.On notenle spectre de la matrice Cn. Pournvariant de 3 a 6, calculer (avec Python) le

nombre (1)2pour tout2n. En deduire une conjecture sur les valeurs propres de C n.

Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20179

3.Pour toutn>4, montrer que Cnadmet une valeur propre multiple et minorer sa multiplicite.

4.On note Pnle polyn^ome caracteristique de Cn. Calculer Pn(1) et en deduire l'ensemblen.

5.On noteunl'endomorphisme canoniquement associe a Cn. Retrouver le resultat de la question 4

en cherchant directement les vecteurs propres deun. Donner une base de vecteurs propres pourun.

6.Montrer que la famille (Cn;C2n;C3n) est liee.Exercice 35. (Centrale PC avec Python, 2017, Aya Lamhandaz)

On considere une fonctionfdenie et derivable sur [0;1] et on suppose qu'elle verie les relations f(0) = 1;8x2[0;1]; f0(x) =f(x2): 1. Ecrire une fonctionindice(x, h=0.01)qui prend en entree un elementxde [0;1] et renvoie l'entieritel queti6x < ti+1, ou l'on noteti=ih.

2.Avec la methode d'Euler, creer la liste des nombresf(ti) pourivariant de 0 an, avecn=

indice(1).

3.Avec Python, representer graphiquement la fonctionfsur [0;1].

4.On fait l'hypothese quefest developpable en serie entiere sur [0;1] et on introduit son

developpement f(x) =+1X k=0a kxk: a.Pour toutpdansN, prouver la relationa2p+1=ap=(2p+1). Obtenir egalement l'egalitea2p= 0 pour toutpdansN. b.Pour toutpdansN, prouver la relationa2p1=a0p Y i=112 i1. c.On rappelle que tout entiernpossede une decomposition de la formen=nP i=0" i2i, ou les"i valent 0 ou 1.

Montrer que si l'un des"iest nul, alorsanest nul.

5.Synthese : construire une fonctionfsolution sur [0;1] du problemey0(x) =y(x2).Exercice 36. (Centrale-Supelec PC, 2017, Raphael Bolut)

Soitaun endomorphisme symetrique d'un espace euclidien de dimensionn. On note1626 :::6nses valeurs propres, repetees selon leurs multiplicites. Pour toutk2[[0;n]], on noteGkl'ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimensionk. Pour toutk2[[1;n]], prouver l'egalite k= minV2Gkmaxx2Vnf0gRa(x); ou l'on pose R a(x) = (xja(x))=jjxjj2.Exercice 37. (Centrale Python PC, 2017, Raphael Bolut) Pour toutn2N, on pose Pn= (1 + X + X2)net on introduit ses coecients P n=2nX k=0a n;kXk:

Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 201710 En particulier, on notebn=an;n. On admet provisoirement l'egalitebn=P n62k62n k 2kn n k 1. Ecrire une fonctionb(n)en Python pour calculerbn. Pour le calcul des coecients binomiaux, on utilisera from scipy.special import binom

2.Calculer ln(bn)=(nln(3)) pournvariant de 1 a 40. Commenter.

3.Montrer les egalitesbn=12Z

P n(eit)enitdt=1 Z 0 (1 + 2cos(t))ndt.

4.Eectuer les changements de variableu= tan(t=2) puiss=upn.

5.En deduire quebnadmet un equivalent de la forme3n=pnpour une certaine constante >0.Exercice 38. (CCP PC, 2017, Raphael Bolut)

Pour toutn2N, on denit surRla fonctionun= en2xet on posef(x) =+1P n=0u n(x) lorsque c'est possible.

1.Montrer quefest denie sur ]0;+1[.

2.Montrer que la serie de fonctionsP

n>0u nne converge pas normalement sur ]0;+1[ mais quef est quand m^eme continue sur cet intervalle.

3.Montrer quefu0est integrable sur ]0;+1[ et exprimer son integrale en fonction de+1P

n=11n 2. La fonctionfest-elle integrable sur cet intervalle?

4.On admet provisoirement l'encadrementg(x)6f(x)6g(x) + 1 avecg(x) =Z

+1 0 et2xdt.

Trouver un equivalent def(x) quandxtend vers 0.

5.Demontrer cet encadrement.Exercice 39. (CCP PC, 2017, Raphael Bolut)

Montrer que (X1)3divisenXn+2(n+ 2)Xn+1+ (n+ 2)Xn.Exercice 40. (CCP PC, 2017, Inconnu)

Pour toutn2N, montrer que 32n2nest divisible par 7.Exercice 41. (Mines-Telecom PC, 2017, Raphael Bolut)

Soit A2 Sn(R). On suppose qu'il existek2Ntel que Ak= In. Montrer que A2= In.

Trouver une matrice deM2(C) symetrique et non diagonalisable.Exercice 42. (Mines-Telecom PC, 2017, Raphael Bolut)

On considere une piece dont la probabilite de fairepileest noteep. On lance cette piecenfois. Quelle est la probabilite quefacen'ait jamais ete suivi depile?

Question subsidiaire.Interpreter ce resultat dans le casp= 1=2.Exercice 43. (TPE-EIVP PC, 2017, Raphael Bolut)

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 201711 On noteA3(R) le sous-espace vectoriel des matrices antisymetriques deM3(R).quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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