Optimisation non-linéaire
Exercice I.4 Calculer le gradient et la matrice Hessienne des fonctions suivantes : f(xy) = x3 + 3xey
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
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LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
systèmes non linéaires optimisation). Pour chaque semaine
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
Exercices. Documents chapitre ? section suivante ?. 5. I.1 Motivations. I.1.1. Formulation générale des problèmes d'optimisation non linéaire .
1 Les conditions de Kuhn-Tucker
Corrigés d'optimisation convexe et quadratique Exercices corrigés . ... cas de la programmation linéaire ces conditions sont réalisée car une fonction.
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Méthodes numériques pour loptimisation non linéaire déterministe.
f(xk). Démonstration. En exercice. d. Théorème 1.1 f est convexe si et seulement si son épigraphe epi(f) =
Exercice1:Etudedesfonctionsquadratiques
f(x)=12xTQx+bTx,x?Rn.
1. ontrerquefestdi ´erentiableausensde r´echetetque
@f @x(x)=12xT(Q+QT)+bT,x?Rn:2. ontrerquefestdeuxfoisdi ´erentiable.CalculerleHessien@2f(x)
@x2.Quelleest l"expressiondef00(x)(v)(v)? .OnsupposequeQestsym´etrique. ontrerquefestconvexe(resp.strictementcon- d´emonstrations: a)festconvexesietseulementsi f(y) f(x)+@f @x(x)(y-x),8x,y?Rn: b)Si f(y)>f(x)+@f @x(x)(y-x),8x6=y?Rn, alorsfeststrictementconvexe. 1Exercice2:Approximationdefonctions
Onconsid`ereunefonction :R!R.Onconnaˆtlesvaleurs (x1), , (xm)queprend aux pointsx1, ,xm.Onsouhaitetrouveruneapproximationdelafonction parunpolynˆome hdedegr´end´efinipar h(x)=anxn+an-1xn-1+ +a0,x?R, avecn m. rouverlescoecientsdeh,telsquehconstituelameilleureapproximationde ausensdesmoindrescarr´es. Onappliqueralesr´esultatsauxvaleursx1=1,x2=2,x = , (x)=5x2+2x+1et h(x)=a1x+a0.Exercice3:Production
premi`eressontp1, ,pn.Leprixdeventeunitaireduproduitfiniestq. valeursx1,:::,xnquimaximisentleprofit.31x132,puisaucas
p1=2,p2=1,q=1eth(x1,x2)=x2
1+x2 2. 2 TD2Optimisationaveccontrainte:Qualication
Soitlesous-ensembleΩde 2d´efinipar
Ω=f(x;y)2 2:(x 1)2+y2 1=0etx2+(y 1)2 1=0g:
a)graphiquement;2.Quelestl"ensembledesdirectionsadmissiblessiΩestunsous-ensemblede 3?
Ω=f(x;y)2 2:(x 1)2+y2 10etx2+(y 1)2 10g:
Exercice2
Soientlesdeuxprobl`emesd"optimisation
(P1):minx21( x1)et(P2):minx2
2( x1);avec
1=f(x1;x2)2 2:x1+x2 10; x1 2x2+10; x10; x20g;
2=f(x1;x2)2 2:(x1+x2 1)(x1+2x2 1)0; x10; x20g:
G ^x=fv2 2:@ i @x(ˆx)v0;i2A(ˆx)g associ´es`acessolutions. .Interpr´eterlesr´esultats. 1Exercice3
Soitm2 unparam`etre.Ond´efinitlafonctionparam`etr´ee{m: 3! par m(x)=mx3 1+ 2x2 1+x2 2+ x23 2x2;x=(x1;x2;x3)T2 3:
SoitΩunsous-ensemblede 3et(P
)leprobl`emed"optimisation: (P ):minx2 {m(x):1.R´esoudre(P
)pourΩ=fx2 3:x2>0g2.R´esoudre(P
)pourΩ=fx2 3:x2>1g .Discuterdesprobl`emessoulev´esparlacontrainteΩ=fx2 3:x22g 2 BE1Optimisationsanscontrainte:Algorithmedu
gradient grandepente f(x)=12xTQx-bTx,x?Rn,
(P):minx?Rnf(x): x k+1=xk-k?f(xk),xk?Rn,k=1,2,:::, o`ukminimisef(xk-k?f(xk)).1. ontrerque
k= Tk kTkQ kavec k=?f(xk)=Qxk-b:
2.Ond´esigneparx lasolutionde(P).SoitE(x)=1
2(x-x )TQ(x-x ). ontrerque
E(xk)-E(xk+1)
E(xk)=( Tk k)2( TkQ k)( TkQ-1 k):
.Ondonnel"in´egalit´edeKantorovich ( Tk k)2 ( TkQ k)( TkQ-1 k) 4aA(a+A)2, delaquestion(2)que A+a? 2E(xk):
End´eduirequel"algorithmeconverge.
1 Remarque:Poursimplifierlescalculs,onsupposeraqueb=0.Ils"ensuitquex =0. fonctionAulieuder´esoudreleprobl`eme
(P):minx?Rnf(x), plusgrandepenteauprobl`eme (P?):minx?Rn??f(x)?2:Onsupposequef(x)=1
3Application2:Methodedepenalite
Onconsid`ereleprobl`eme
(P?):minh(x)=0f(x), r´esoudreleprobl`emesanscontrainte (P):minx?Rn? f(x)+12?h(x)?2?
o`uestgrand.Onsupposequef(x)=12xTQx,x?RnetquelamatriceQestdiagonale,
aveccT=(1,0, ,0). 2 TD ro lemesaveccontraintes´egalit´eExercice1
R´esoudreleprobl`eme
(P):ming(x1;x?)=0f(x1,x2),o`u( f(x1,x2)=2x1+ x2 1 (x1,x2)=x2 1+3 2x22 6,(x1,x2)2R2:
Exercice2
rouverleparall´el´epip`ederectanglededimensionx,y, devolumemaximaletdesurface donn´eec.Exercice3
i=1pi=1.L"entropiedeXest d´efinieparH(X)= Pn i=1pilog2(pi). lavaleurmoyennedeXsoit´egale`am. 1 TD4 ro lemesaveccontraintesin´egalit´eExercice1:Programmationquadratique
:f(x)=12xTQx bTx
h(x)=aTx c,x2Rn:Exercice2
R´esoudreleprobl`eme
(P):min h1(x1,x2)0
h2(x1,x2)0(x1+x2),avec(
h1(x1,x2)=x2 x1
h2(x1,x2)=x2
1+x22 1,(x1,x2)2R2:
Exercice3
deuxr´eelsavecc>1 h1(x)=aTx,8x2Rn,
h2(x)=1
2xTQx c,8x2Rn:
R´esoudreleprobl`eme
(P):minx?Ω(aTx b),avecΩ=fx2Rn:h1(x)0eth2(x)0g:Indication:remarquerqueh1( a) 0eth2( a) 0.
1 TD5Dualit´e
Exercice1
(P):mina1x1+a2x2 c0(x2
1+x2 2):Exercice2:Programmationquadratique
(P):minh(x)0f(x),avec8 :f(x)=12xTQx-bTx
h(x)=aTx-c,x?Rn:Exercice3
Soitunr´eelc 0.Ond´efinitlesfonctionsf,h:Rn→Rpar f(x)=nX i=1x 4 i h(x)= nX i=1x i! -c,x=(x1,:::,xn)T?Rn, etonconsid`ereleprobl`eme (P):minx21. ontrerquelafonctionfestconvexesurRn.
=n41 -4445 =- n44 :
1 BE2Optimisationaveccontrainte:Algorithmedu
gradientprojet´e1Presentationduprobleme
f(x)=12xTQx-bTx,x?Rn,
Onconsid`ereleprobl`eme
(P):min aT a T2Solutionanalytique
deRn×2derang2etcvecteurdeR2.3Algorithmedugradientprojete
cepointsurlesfronti`eresdeΩ. x k+1=PΩ(xk-tk?f(xk)) 11.CalculdelaprojectionsurΩ
ladistanceentrexettoutvecteurdeΩ: P (P?)miny?Ω?x-y?2.Autreversiondel"algorithme
fdansladirectionprojet´eeobtenue.Danscecas,lepointxk+1v´erifie:
x k+1=xk+tk(PΩ(xk-?f(xk))-xk) 2quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] exercices corrigés optique ondulatoire mp
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