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Dictionnaire des MathŽmatiques

Le monde scientit•que est de plus en plus imprŽgnŽ de mathŽmatiques, ou de mathŽmatique ~ le singulier, rare dans le langage courant, semblant nŽanmoins prŽfŽrable. CÕest pourquoi cette discipline a pris une place de choix dans lÕensei- Mais, a la fois ValorisŽe et redoutŽe, elle garde, au-delˆ des rudiments dispensŽs ge de faire des recherches en mathŽmatiques, ou mme simplement dÕavoir une claire vision de ce quÕelles sont. public une vue dÕensemble des mathŽmatiques contemporaines et de leur dŽve- loppement historique. LÕambition de ce projet - les exigences propres ˆ la

prŽsentation de cette discipline sÕajoutant ˆ celles qui sont inhŽrentes ˆ toute entre-

prise encyclopŽdique - en rehausse la rŽussite. mŽtrie algŽbrique, offre un vaste panorama qui permet de saisir la dŽmarche, les acquis, les avancŽes des inventeurs de cette architecture abstraite quÕest la mathŽ- matique. Un second volume rŽunira les interrogations sur les fondements, les articles spŽcifiques historiques, ainsi que tout ce qui touche aux probabilitŽs, aux statistiques et ˆ la plupart des applications. N Architecture abstraite )), disions-nous. En effet, ˆ partir de quelques notions axiomes, les structures mathŽmatiques - dans le cadre desquelles tous calculs et dŽmonstrations se font - ne se dŽploient-elles pas progressivement les unes ˆ partir des autres, des plus (( simples H (ensemble ordonnŽ, groupe, espace topo- logique...) aux plus o subtiles )) (espace disquŽ, espace localement annelŽ...) ? Lˆ, semble-t-il, rŽside la beautŽ mathŽmatique, ou Plutït la partie la plus abstraite de cette beautŽ car, sÕil est de belles thŽories, il est aussi de jolies formules (eix = - 1) et la formule de Stirling, par exemple), de beaux calculs, de splendides nÕŽchappe ˆ personne. Bien entendu, la contemplation de cette beautŽ exige un minimum dc comprŽ- hension, jusquÕo il convient de hisser son esprit : songeons quÕen musique OU dans le domaine sportif de sŽrieux entra"nements sont nŽcessaires si lÕon veut trouver vraiment du plaisir ˆ jouer dÕun instrument ou ˆ pratiquer un sport, a 5 fortiori si lÕon veut accŽder aux concerts ou aux compŽtitions. Mais, au moins a partir dÕun certain niveau, cette activitŽ, sŽrieuse certes, acquiert une dimension ludique : les mathŽmatiques, pour qui les aime, ouvrent aussi sur tout un espace trayante que, par exemple, une partie dÕŽchecs ou de shogi (un jeu japonais proche des Žchecs). Joie de chercher, joie de trouver, joie de la communion enfin avec plaisirs : qui est capable de faire ainsi des mathŽmatiques est dans une situation Au lecteur, ˆ la lectrice, quÕil ou quÕelle soit ou non mathŽmaticien ou mathŽ- maticienne, ˆ tout lecteur tel que le dŽfinissait Paul ValŽry ~ cÕest-ˆ-dire G de bonne foi )) autant que (( de mauvaise volontŽ H - de relever le dŽt•... Mais la mathŽmatique est aussi et dÕabord un langage et, de ce point de vue, intŽresse linguistes et lexicographes. Chaque mot ou locution reoit une dŽt•nition

prŽcise et, ˆ c™tŽ de termes spŽcit•quement mathŽmatiques (morphisme, simplexe...),

dÕadjectifs honorant un mathŽmaticien (euclidien, eulŽrien, nŽpŽrien...) ou une mathŽmaticienne (noethŽrien...), t•gurent un assez grand nombre de substantifs (anneau, clan, corps, distribution, fibre, groupe, lacet, spectre, tribu...) ou dÕad- jectifs (complet, conforme, sŽparŽ, simple...) empruntŽs ˆ la langue courante mais avec un sens mathŽmatique prŽcis, o lÕaspect mŽtaphorique est dÕailleurs parfois prŽsent (t•hre, noyau, treillis...). De sorte que, au-delˆ de son aspect faussement ŽsotŽrique, il y a parfois une certaine poŽsie, voire une poŽsie certaine - osons aller jusque-lˆ ! -, dans le langage mathŽmatique. Avec une pointe dÕhumour, un grand bol dÕenthousiasme et une rŽserve inŽpuisable de persŽvŽrance, chevauchons donc (sur un parabolo•de hyperbolique, Žvidemment) ˆ travers les univers mathŽ- matiques pour y dŽcouvrir les corps algŽbriquement clos, les endomorphismes dia- gonalisables, les espaces bornologiques, les fonctions holomorphes ou les produits de convolution. LÕaventure mathŽmatique, CommencŽe sans doute depuis quÕAdam et éve ont

pensŽ quÕils Žtaient deux, nÕa certes pas t•ni de nous passionner. Le prŽsent volume

de la collection (( Encyclopzdia Universahs H nous rappelle ~ alors que le grand dŽmontrŽ - quÕil reste bien des questions simples non rŽsolues, par exemple celle-

ci : existe-t-il une inf•nitŽ de nombres premiers N jumeaux )), cÕest-ˆ-dire de nombres

premiers consŽcutifs dont la diffŽrence est deux?

INTRODUCTION

PrŽsenter les mathŽmatiques contemporaines dans le contexte dÕune encyclopŽdie destinŽe au grand public cultivŽ pouvait para"tre une gageure. Le sujet, dont la

rŽputation dÕinaccessibilitŽ nÕest plus ˆ faire, paraissait devoir tre esquivŽ.

NŽanmoins 1ÕEncyclopEdiu Univemdis nÕa pas hŽsitŽ, dans ce domaine comme quÕil Žtait du devoir des scientifiques de partager leur savoir avec lÕensemble du monde cultivŽ, Diderot et dÕAlembert ont dŽcoupŽ le savoir mathŽmatique qui leur Žtait contemporain en autant de disciplines et de sous-disciplines, et ont alors demandŽ ˆ ses scientifiques de premier ordre de rŽdiger ces prŽsentations ˆ sibles les concepts fondamentaux, les principaux courants, les rŽsultats dŽcisifs ˆ

des lecteurs possŽdant une formation scientif•que minimale. Ë ce dŽt•, lÕon doit

lÕŽtat actuel des mathŽmatiques dans une entreprise encyclopŽdique de langue

franaise. Une telle tentative nÕaurait pu tre conue sans lÕintervention dŽcisive

de Jean DieudonnŽ. CÕest ˆ lui que nous devons lÕŽlaboration en quelques mois dÕun dŽcoupage initial des mathŽmatiques qui allait constituer la trame de lÕen- auteur, ˆ de nombreux articles clŽs avec le style exceptionnel qui le caractŽrisait et qui a donnŽ le ton ˆ lÕensemble de lÕoeuvre. matiques se prolonge par lÕexposŽ de ces thŽories sous leur forme moderne. Le

entrŽes du dictionnaire. LÕŽvolution des conceptions de la gŽomŽtrie est ŽvoquŽe

part, sur la gŽomŽtrie diffŽrentielle, dÕautre part, sur lÕŽtude des courbes algŽ-

briques, point de dŽpart de la gŽomŽtrie algŽbrique, qui ˆ son tour rencontre la thŽorie des nombres. 7

INTRODUCTION

reflŽter la transformation quÕavaient subie les mathŽmatiques, tout comme lÕen- semble des domaines de la PensŽe scientit•que. La pŽriode de 1968 reprŽsentait lÕapogŽe du structuralisme et du formalisme, qui sÕexprimaient en mathŽmatiques par la prŽdominance absolue du bourbakisme, lequel marginalisait certaines branches de la discipline. Les dŽcennies ultŽrieures devaient voir cet impŽrialisme sÕeffri- ter, et dÕautres domaines des mathŽmatiques, comme les mathŽmatiques appli- quŽes jusquÕalors absentes, retrouver leur droit de citŽ. LÕŽdition de 1984 tient des textes. Des quelque deux cent cinquante articles ou notices publiŽs dans le Corpus de

1ÕEncyciopEdia Universalis ainsi que dans les diffŽrents volumes annuels ou thŽ-

matiques, ce Dictionnuire reprend uniquement les articles qui prŽsentent les grands contemporaine. Le lecteur pourra sÕy familiariser avec les nouveaux objets mathŽ- matiques dont lÕapparition devait constituer les mathŽmatiques modernes. Il y trouvera une prŽsentation contemporaine des thŽories classiques. Un autre ensemble dÕarticles, traitant des questions ŽpistŽmologiques historiques ou dÕaspects plus contemporains fera lÕobjet dÕun recueil ultŽrieur. Bien que dÕorigine ancienne, certaines applications des mathŽmatiques, comme lÕanalyse numŽrique, figureront dans ce second volume. Quant au calcul des contemporaine, due a Kolmogorov, date de 1933. CÕest la raison pour laquelle nous en avons rŽservŽ, ainsi quÕˆ la logique mathŽmatique, lÕexposŽ dans ce volume ultŽrieur. Ce Dictionnuire des muthŽmutiques se veut ainsi le reflet du foisonnement et de lÕenchevtrement des diverses disciplines mathŽmatiques. Comme le soulignait souvent Jean DieudonnŽ, cÕest cette (( interdisciplinaritŽ H interne qui fait la force et lÕoriginalitŽ des mathŽmatiques contemporaines. Les articles de lÕEncyc/op~diu dŽmarche.

Jean-Luc VERLEY

COMMENT UTILISER LÕINDEX

PlatŽ en fin de volume, cÕest I?ndex qui donne sa valeur proprement encyclopŽdique i ce dictionnaire. CÕest par lui que toute recherche ou. plus gŽnŽralement, toute consultation devraient commencer. Nous avons adoptŽ pour sa constitution un certain nombre de conventions qui nous sont propres. Le lecteur les trouvera de page : signifie que cette entrŽe est le titre dÕun article du dictionnaire, commenant ˆ la page indiquŽe l HILBERT ESPACE DE 596

ALGéBRE 22

ERGODIQUE (THiORIE) 332 ce mme type dÕentrŽe peut tre suivi de rŽfŽrences

GROUPES - ReprŽsent&ion linŽaire

des groupes 559

HARMONIQUE (ANALYSE) 5x7, 592

GAUSS CARL FRIEI,R,CH (1777.1855) ~

COMPLEXES (NOMBRES) //6 l

DIopHANnENNEs (+PPR~~I~~ATI~NS) 255 1

DIOPHANTIENNES (EQUATIONSj 263, 267

l SUITES

DISTRIBUTIONS 276

FONCuONS (REPRESENTATION ET

APPROxIMATION DES) 364, 373, 385

LIMITE (N~TT~N DE)

NAPIER JOHN b NEPER .IOHN-

CALCUL SYMBOLIQUE

b SYMBOLIQUE CALCUL

RENVOIS dÕun terme ˆ un autre

pour des raisons relevant de lÕorthographe ou du pour des raisons dc choix alphabŽtique pour des rkms dÕordre sŽmantique 9

AFFINES ESPACE a REPéRE

A mme forment un groupe, appelŽ groupe affine de A et notŽ GA(A). Une applica- tion affine u de A dans A est bijective si et seulement si son application linŽaire asso- ciŽefest aussi bijective. Ainsi lÕapplication qui ˆ L fait correspondre ,f est un mor- phisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linŽaire GL(E).

4. Soit A et B deux espaces affines de

dimensions finies (dim A = q). Pour dŽfi- nir une application affine de A dans B, il suffit de se donner (q + 1) points affine- ment indŽpendants dans A et leurs images dans B.

AFFINE APPLICATION JACQUES MEYER

S oit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachŽs ˆ E et F. On dit quÕune application u de A dans B est une application linŽaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie dÕŽlŽments (M;, &), pour 1 < i < k, o k est quelconque, de A X K, possŽdant un barycentre G, u(G) est le barycentre des

ŽlŽments (u(M,), A,) de B X K.

On dŽmontre les rŽsultats suivants :

1. Il existe une application linŽaire,fet

une seule de E dans F telle que, pour tout

M et tout N dans A et pour MÕ = u(M) et

NÕ = u(N) :

fG=zKzL f sÕappelle lÕapplication linŽaire associŽe

ˆ ll.

2. La ComposŽe v 0 u de deux appli-

cations affines z et v est une application affine et lÕapplication linŽaire associŽe 1 v 0 L est g 0 f (o f et g dŽsignent les applications linŽaires associŽes ˆ u et v).

3. Les applications linŽaires affines

bijectives dÕun espace affine A dans lui- AFFINES ESPACE & REPéRE D ans la conception intuitive de lÕespace usuel, il nÕy a pas dÕorigine privilŽgiŽe ; cÕest une fois quÕune origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure dÕespace affine formalise cette situation ˆ partir de la notion de translation associŽe ˆ un vecteur dÕextrŽmitŽs donnŽes, dŽfini comme bipoint, Plus prŽcisŽment, la struc- ture affine se dŽfinit comme suit.

Espuce @ne. Soit E un espace vectoriel

sur un corps commutatif K. Un ensemble A est dit espace attachŽ ˆ lÕespace E sÕil est muni dÕune application de A X E dans A, notŽe (M, x ) - M + _x, telle que le groupe ment sur A, i.e. telle que ˆ (M, x) E A X E correspond un point N de A et un seul, tel que N = M + x ; et ˆ un couple quelcon- que de points (M, N) de A X A, que lÕon dŽsigne sous le nom de bipoint, corres- pond dans E un vecteur .x (appelŽ opŽra- 11

ALGéBRE

teur de translation de A) et un seul, tel que

N = M + .Y. Ce vecteur .Y se note z

Deux bipoiz ABz CD sont dits Žqui-

pollents si AB = CD.

Soit 0 un point quelconque de A. Le

couple (A, 0) sÕappelle espace affine muni de lÕorigine 0. LÕapplication de A dans E, dŽfinie par M - .Y = OM, est une bijection qui permet dÕidentifier lÕespace A muni de lÕorigine 0 ˆ lÕespace vectoriel E.

RŽciproquement, par lÕapplication qui

a tout couple de vecteurs (.Y, y) de E associe le vecteur x + y, lÕensemble E devient un espace affine attachŽ ˆ lÕespace vectoriel E.

Le vecteur nul de E sÕappelle origine

canonique de lÕespace affine E.

Si lÕespace E est de dimension finie, on

pose dim (A) = dim (E). vfkŽ tb linŽuire uj•ne. Un sous- ensemble AÕ CA est appelŽ variŽtŽ linŽaire affine (ou variŽtŽ linŽaire) de lÕespace affine A si, pour toute famille finie de points de AÕ, tout barycentre de ces points appartient ˆ AÕ. Une condition nŽcessaire et suffisante pour quÕune partie non vide AÕ de A soit une variŽtŽ linŽaire affine est que, en prenant un point 0 quelconque dans AÕ, lÕensemble des vecteurs G O 6Z AÕ, soit un sous-espace vectoriel EÕ de lÕespace vectoriel E auquel est attachŽ A. Le sous-espace EÕ ne dŽpend dÕailleurs pas du choix de 0 dans AÕ. DÕautre part, on peut montrer que la variŽtŽ linŽaire AÕ est un espace affine attachŽ ˆ EÕ (qui est appelŽ direction de AÕ). Si EÕ est de dimension donnŽ un sous-ensemble B de A, on appelle variŽtŽ linŽaire affine engendrŽe par B la plus petite variŽtŽ linŽaire conte- nant B : on montre que cÕest lÕintersection de toutes les variŽtŽs contenant B. DÕautre part, la variŽtŽ linŽaire affine engendrŽe par (k + 1) points de A notŽs (ai), pour

1 < i < k + 1, est lÕensemble des barycentres des u(. Par dŽfinition, les

(k + 1) points ui sont dits affinement indŽpendant (ou forment une famille affi- nement libre) si la dimension de la variŽtŽ linŽaire quÕils engendrent est Žgale ˆ k ; si cette dimension est infŽrieure ˆ k, ils sont dits affinement liŽs. dÕun espace affine A attachŽ ˆ un espace vectoriel E de dimension /r la donnŽe dÕun point 0 de A et dÕune base 3 de E. Le coordonnŽes dÕun point M sont les com- posantes de ?%?Sur la base 3. Ainsi, si :

33 = @J,

pour 1 < i < rz, et si : les CoordonnŽes de M sont les .Y,. GŽomŽt~ie uj•ne. La gŽomŽtrie affine est lÕŽtude des espaces affines et des variŽtŽs linŽaires affines ainsi que des invariants par le groupe affine.

JACQUES MEYER

ALGéBRE

L lÕŽtude des structures algŽbriques indŽpendamment de leurs rŽalisations liaison avec le mouvement gŽnŽral dÕaxio- matisation de lÕensemble des mathŽmati- ques et la prŽoccupation croissante des mathŽmaticiens de (( substituer les idŽes au calcul )) ; jusquÕalors, le propos essentiel de 12

ALGéBRE

formules explicites, des Žquations algŽbri- ques. Les tentatives infructueuses pour rŽsoudre les Žquations gŽnŽrales de degrŽ supŽrieur ou Žgal ˆ cinq, ainsi que les conduisirent alors les mathŽmaticiens ˆ introduire des tres mathŽmatiques de nature nouvelle qui prŽsentaient entre eux des analogies Žtroites dans leur maniement et par suite ˆ ressentir le besoin de dŽgager ce qui pouvait tre commun 5 toutes ces situations. Ils furent ainsi amenŽs ˆ penser que la N nature N des objets mathŽmatiques

ŽtudiŽs est au fond secondaire, et le

mathŽmaticien anglais George Boole pou- vait dŽclarer en 1847 : G La mathŽmatique traite les opŽrations considŽrŽes en elles- diverses auxquelles elles peuvent tre appli- quŽes. 1) dŽvelopper ce processus dÕaxiomatisation de iÕalgibre qui aboutit aux structures anglais ont dŽgagŽ avec une parfaite net- tetŽ la notion de loi de composition et lÕappliquent ˆ des situations VariŽes (vec- faudra attendre 19 10 pour trouver dans la proprement dite.

LÕŽtude des groupes domine tout

dÕabord les prŽoccupations de cette Žpo- que ; introduite par Cauchy et surtout mise en Žvidence par Galois qui en a montrŽ lÕimportance dans la thŽorie des Žquations, cette notion va jouer un r™le essentiel dans presque tous les domaines des mathŽma- tiques, en physique et en mŽcanique quan- tique. Les travaux des mathŽmaticiens allemands sur les nombres algŽbriques seront ˆ lÕorigine de lÕŽtude des corps et des anneaux commutatifs et ces notions appara"tront comme les outils essentiels pour Žtudier les courbes et sur- faces algŽbriques, conduisant ˆ la gŽomŽ- trie algŽbrique abstraite ; ainsi sÕintroduit matisation convenable les mathŽmaticiens breuses situations et de lÕimportance du processus de linŽarisation. Et comme (( la mathŽmatique est un organisme dont la force vitale a pour condition lÕindissoluble union de ses parties N (Hilbert, Corzclusion dŽration simultanŽe, sur un mme ensem- ble, de structures algŽbriques et topologi- ques (constituant ainsi la branche des logique).

1. La thŽorie des groupes

La structure de groupe

La structure de groupe est une des struc-

tures algŽbriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathŽma- tiques modernes. Son universalitŽ ne sÕarrte pas lˆ : le psychologue Piaget a mis en Žvidence le r™le essentiel jouŽ par cette notion dans les mŽcanismes mmes de la

PensŽe, et H. PoincarŽ a pu dire que la

notion de groupe prŽexiste dans notre esprit car la gŽomŽtrie ne se concevrait pas sans elle. Cependant, il a fallu presque un abstraite cette notion.

Axiomatiquement, un groupe est un

ensemble muni dÕune loi de composition 13

ALGéBRE

interne (,Y, y) - X*y associative [cÕest-ˆ- dire @*y)+.~ = .X+X)] telle quÕil existe un ŽlŽment privilŽgiŽ e, appelŽ ŽlŽment neu- tre, tel que .5t2 = e*X = .X et telle que tout ŽlŽment ait un inverse (cÕest-i-dire pour tout .X il existe un ŽlŽment y tel que ,~*y = JXX = e). Un tel groupe est dit abŽlien, ou commutatif, si .~*y = y*x.

Les ensembles usuels de nombres

(entiers relatifs, nombres rationnels, nom- bres complexes) sont des groupes abŽliens pour lÕaddition ; les ensembles des nom- bres rationnels non nuls, ou rŽels non nuls, sont des groupes abŽliens pour la multi- plication. Un important exemple de groupe non commutatif est celui des trans- formations de notre espace usuel i trois dimensions qui conservent la distance de deux points (ce sont les dŽplacements).

Elles constituent un groupe non abŽlien si

on convient que le produit S 17 de deux transformations S et 7 est la transforma- tion obtenue en effectuant successivement la transformation T puis la transforma- tion S. les groupes finis

Le premier exemple de groupe formŽ

dÕŽlŽments de nature assez diffŽrente de celle des nombres est fourni par les travaux de Gauss sur les formes quadratiques u.$ + ~.KY + c_$, Oô u, b, c sont des entiers relatifs premiers entre eux. Deux telles formes Žtant dites Žquivalentes si lÕon passe de lÕune ˆ lÕautre par un changement de variable ,YÕ = ~.y + qy et yÕ = IX + ~y, Oô~, q, r, s sont des entiers relatifs tels que ps - qr = 1, Gauss dŽfinit sur lÕensemble des classes de formes, de discriminant

D = @ ~ 4 UC donnŽ, une loi de compo-

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