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Exercices corrigés de

probabilités et statistique

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

Fabrice Rossi & Fabrice Le Lec

Cette oeuvre est mise à disposition selon les termes de la licence Creativ e Commons Paternité - Partage à l"Identique 3.0 non transposé

Table des matières

Table des matières

iii

1 Expériences aléatoires et probabilités

1

2 Conditionnement et indépendance

11

3 Variables aléatoires discrètes

25

3.1 Loi, fonction de répartition, espérance et variance

. . . . . . . . 25

3.2 Lois discrètes classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Variable fonction d"une autre variable

. . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Couples de variables aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Variables aléatoires absolument continues

55

4.1 Densité, fonction de répartition et moments

. . . . . . . . . . . 55

4.2 Lois continues classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Évolutions de ce document

71
iii IntroductionCe document propose des exercices corrigés illustrant le cours de probabilités et statistique. Les corrections sont abondamment commentées pour faciliter la compréhension et expliciter le raisonnement qui conduit à la bonne solution. On trouve ainsi à la suite de l"énoncé d"un exercice une série de commentaires encadrant des éléments de correction. La réponse attendue lors d"une évaluation est constituée de l"ensemble des éléments de correction, à l"exclusion, bien entendu, des commentaires. Pour faciliter la séparation entre correction et commentaires, les éléments de correction sont présentés comme suit :Correction

Un élément de correction.

Pour profiter au maximum de ce recueil, il est très vivement conseillé de lire l"énoncé seulement, puis de rédiger une correction exhaustive (et pas seulement un brouillon) en se mettant dans les conditions d"une évaluation, c"est-à-dire en se chronométrant, en n"utilisant pas de calculatrice et, enfin, en s"abstenant de consulter des notes de cours ou d"autres documents. Une fois la correction rédigée, on pourra la confronter à la correction type, en repérant notamment les justifications manquantes. On pourra aussi rechercher dans les commentaires un éventuel raisonnement faux typique, si la correction rédigée est fortement

éloignée de la correction type.

v

Chapitre 1

Expériences aléatoires et

probabilités

Exercice 1.1

ÉnoncéOn étudie les connexions d"internautes à un site web. Celui-ci propose six versions de son contenu, réparties en trois versions anglaises (notéesen) et trois versions françaises (notéesfr). Pour chaque langue, les trois versions sont les suivantes : une version normale (n), une version pour les petits écrans comme ceux des téléphones (p) et une version pour les écrans de taille moyenne comme ceux des tablettes (m). En étudiant l"historique des connexions, on constate que les versions ne sont pas utilisées de façon uniforme. Plus précisément, si on choisit un internaute connecté au hasard, la probabilité de tomber sur chacune des versions est donnée par la table suivante : version(fr;n) (fr;p) (fr;m) (en;n) (en;p) (en;m)P(fversiong)a 521
121
421
b321 Dans la table, chaque version est désignée par sa langue et son type. L"ensemble des six versions forme l"univers . Les lettresaetbdésignent des paramètres à déterminer.

Question 1

Quelles propriétés doivent vérifieraetbpour quePsoit bien une probabilité sur

Question 2

On constate que le site a deux fois plus d"utilisateurs anglophones que d"utilisateurs francophones. En déduiteaetb.

Question 3

Quel pourcentage d"utilisateurs du site consultent la version pour petit écran? Dans cet exercice, l"univers est déjà fixé et l"objectif est de construire une proba- bilité sur cet univers. Les questions ont pour objectif de tester la connaissance des propriétés d"une probabilité. 1

2Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésCorrectionPour quePsoit une probabilité sur

, il faut queP(fversiong)2[0;1] pour toute version du site web. En particulier, on doit donc avoir :

P(f(fr;n)g) =a2[0;1];

P(f(en;p)g) =b2[0;1]:

De plus, on doit avoirP(

) = 1. Or, est l"union disjointe de tous les évènements élémentaires etP( )est donc la somme des probabilités indiquées dans le tableau. On a donc : P( ) =a+521 +121
+421
+b+321 = 1; soit a+b=821 Il est fréquent que la solution proposée ne soit pas aussi bien justifiée que ce qui précède. Il est pourtant important de ne pas oublier les conditions de la forme a2[0;1]et surtout de justifier qu"on peut faire la somme des valeurs données dans le tableau. Il se pourrait en effet que ne soit pas couvert complètement par les éléments du tableau (imaginons ici une version allemande du site pour laquelle on ne donne pas de probabilités précises), et il faudrait donc connaître la probabilité de l"ensemble des évènements élémentaires listés dans le tableau pour remplacer l"analyse basée surP( ) = 1.Correction Le site ayant deux fois plus d"utilisateurs anglophones que francophones, on suppose queP(fversion anglaiseg) = 2P(fversion françaiseg). Or l"évène- mentfversion anglaisegest l"union disjointe des trois évènementsf(en;n)g, f(en;p)getf(en;m)get donc la probabilité de l"évènement est la somme des probabilités des trois évènements élémentaires. Donc, d"après le tableau, on a

P(fversion anglaiseg) =421

+b+321 =b+721

De la même façon, on trouve que

P(fversion françaiseg) =a+521

+121
=a+621 3 soit finalement b+721 = 2 a+621 :En combinant cette équation avec le résultat obtenu à la question précédent,

à savoira+b=821

, on trouve b+721 = 2821 b+621 soitb=13eta=121. On constate queaetbsont bien des éléments de [0;1]ce qui montre que cette solution est acceptable. Comme pour la première question, il faut justifier les réponses en évoquant au moins une fois la décomposition d"un évènement bien choisi en évènements dont on connaît les probabilités. La dernière question se traite de cette façon aussi.Correction L"évènementfpetit écrangest l"union disjointe des évènementsf(en;p)g etf(fr;p)g, donc sa probabilité est la somme des probabilités de ces deux

évènements. On obtient ainsi :

P(fpetit écrang) =P(f(en;p)g) +P(f(fr;p)g) =521 +b=1221 :Exercice 1.2

Énoncé

On place dans un sac 5 billets de 5e, 7 billets de 10eet 10 billets de 20e. On choisit au hasard une poignée de 8 billets, chaque billet ayant la même probabilité d"être attrapé. Question 1Quelle est la probabilité de n"avoir choisi aucun billet de 5e?

Question 2

Quelle est la probabilité d"avoir obtenu uniquement des billets de 20e?

Question 3

Quelle est la probabilité d"avoir obtenu au moins un billet de chaque valeur?

Question 4

On recommence l"expérience en tirant les billets un par un et en remettant le billet dans le sac après son tirage. Calculer les probabilités des trois évènements ci-dessus dans cette nouvelle expérience. Comme dans tout exercice de probabilité qui ne fait pas intervenir de variables aléatoires, on doit commencer la résolution par la définition de l"univers associé à l"expérience. On rencontre ici une difficulté classique : les billets d"une catégorie ne sont pas (facilement) discernables. On pourrait donc être tenté

4Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésde tenir compte de ce fait dans

: c"est en général unemauvaise idée. On suppose donc les billets discernables (numérotés, par exemple).Correction On suppose les billets discernables. On appellec1;:::;c5les 5 billets de 5 e,d1;:::;d7les 7 billets de 10eetv1;:::;v10les 10 billets de 20e. On note l"ensemble des billetsB, avec

B=fc1;:::;c5;d1;:::;d7;v1;:::;v10g:

L"univers de l"expérience aléatoire,

, est constitué de tous les ensembles de8billets distincts, soit donc =ffb1;:::;b8g j 8i; bi2Bet8j6=i; bi6=bjg: La définition de l"univers est ici très formelle. On peut se contenter d"une définition plus informelle, à condition de bien faire ressortir dans celle-ci deux éléments cruciaux de l"énoncé : le nombre d"éléments choisis (ici 8) et la nature du tirage. Ici, on indique qu"on tire une poignée de billets, ce qui implique qu"il n"y a pas de remise et qu"il n"y a pas d"ordre. Ceci est traduit mathématiquement par le fait qu"on considère un ensemble de billets (et pas une liste) et que les billets sont distincts. Ces deux mots clé (ensembleet distinct) doivent impérativement apparaître dans la réponse. Il faut aussi faire apparaître l"ensemble des objets dans lequel les sous-ensembles sont choisis (ici, B).

Il faut maintenant définir laprobabilitésur

. Comme dans de nombreuses situations, on fait une hypothèse naturelle d"équiprobabilité, ce qui transforme le calcul d"une probabilité en celui de la taille d"un ensemble.Correction Les billets étant équiprobables, on suppose que la probabilité est uniforme que et donc que pour tout évènementA, sa probabilitéP(A)est donnée par

P(A) =jAjj

j:

On sait quej

jest donné parC822car il s"agit de l"ensemble des sous- ensembles de cardinal8de l"ensembleBqui est lui même de cardinal 22.
Notons qu"il est important de justifier brièvement le choix de la probabilité uniforme (comme c"est fait ici) et de rappeler le mode de calcul des probabilités dans cette situation. Une fois l"expérience décrite par son univers et la probabilité associée, on peut passer aux questions proprement dites. En général, les " solutions »

5obtenues en s"attaquant directement aux questions sans passer par la phase de

modélisation sont totalement fausses.Correction Soit l"évènementA=fn"avoir aucun billet de 5eg. Il est clair queApeut aussi s"exprimer

A=favoir uniquement des billets de 10eet de 20eg:

On cherche donc les sous-ensembles de 8 billets distincts choisis dansB0, l"ensemble des17billets de 10eet 20e. On en déduit alors quejAj=C817, puis que

P(A) =C817C

822=17!9!8!

14!8!22!

=1716 102221 15'0;076 Notons que le résultat attendu est simplement celui qui fait apparaître les formules explicites pour lesCpn. La simplification du résultat et la valeur numérique approchée ne doivent pas être fournies en général. On peut interpréter le résultat sous forme d"un tirage séquentiel. Il est clair en effet que la probabilité de tirer un unique billet qui ne soit pas de 5eest de1722. Si on tire ensuite un deuxième billet sans remettre le premier, il ne reste plus que 21 billets, dont seulement 16 ne sont pas de 5e. La probabilité de ne pas tomber sur un billet de 5edevient donc1621, puis1520et ainsi de suite jusqu"à1015pour le huitième billet. En formalisant ce raisonnement et en s"appuyant sur la notion de probabilités conditionnelles, on peut retrouver le résultat surP(A). Il est cependantbeaucoup plus simplede déterminer la taille deAen s"appuyant sur des propriétés connues. Notons qu"il ne faut surtout pas chercher à déterminer la composition de la poignée de billets ne contenant pas de billets de 5eau risque de perdre beaucoup de temps. Cet exercice se différencie donc d"autres exercices dans lesquels on étudie une partie complexe de en la décomposant en parties plus simples. Ici, on s"intéresse toujours à des sous-ensembles de taille huit, mais on change l"ensemble dont ils sont des parties : on passe deBtout entier (l"ensemble des 22 billets) à un sous-ensemble deB. On procède exactement de la même façon pour la question suivante.Correction Soit l"évènementD=fobtenir uniquement des billets de 20eg. On cherche ainsi les sous-ensembles de taille 8 billets choisis dans l"ensemble des 10 billets de 20e. On doncjDj=C810et

P(D) =C810C

822=10!8!8!

14!8!22!

'1;41104:

6Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésLa troisième question se traite d"une façon assez différente car elle nécessite de

réécrire l"évènement.Correction

Soit l"évènement

E=fobtenir au moins un billet de chaque valeurg:

On étudie son complémentaireF=Equ"on décompose en deux sous-

évènements disjoints :

F

1=fobtenir des billets d"une seule valeurg

F

2=fobtenir des billets de deux valeursg:

F

1est en fait l"évènement

F

1=fobtenir uniquement des billets de 20eg=D;

car il n"y a pas assez de billets de 5eet de 10epour obtenir une poignée de 8 billets composée uniquement de l"une ou l"autre des valeurs. On sait déjà quejF1j=C810. On décomposeF2en trois sous-ensembles disjoints : G

5=fobtenir des billets de 10eet de 20e, et pas de 5eg;

G

10=fobtenir des billets de 5eet de 20e, et pas de 10eg;

G

20=fobtenir des billets de 5eet de 10e, et pas de 20eg:

On remarque que

G

20=fn"avoir aucun billet de 20eg:

En effet, comme il y a strictement moins de 8 billets de 5eet de 10e, ne pas obtenir de billet de 20eimplique d"obtenir au moins un billet de 5 eet au moins un billet de 10e. D"après le raisonnement de la première question, on a doncjG20j=C812.

On remarque aussi que

G

5=faucun billet de 5eg n funiquement des billets de 20eg:

D"après la question 1,jfaucun billet de 5egj=C817, alors que d"après la question 2,jfuniquement des billets de 20egj=C810. On a donc jG5j=C817C810: 7

Un raisonnement similaire conduit à

jG10j=C815C810:

Finalement, on a

jFj=jF1j+jG5j+jG10j+jG20j =C810+C817C810+C815C810+C812 =C817+C815+C812C810

On a donc

P(E) = 1P(F) = 1C817+C815+C812C810C

822'0;902:Cette question est beaucoup plus complexe que les précédentes et peut conduire

à des solutions fausses de façon malheureusement assez naturelle. Il est fréquent par exemple de confondre les évènementsG5etA. Or, dansG5, on considère les poignées qui ne contiennent pas de billet de 5emais qui contiennent aussi au moins un billet de 10eet au moins un billet de 20e. L"évènementAest moins restrictif car il demande seulement de ne pas avoir de billet de 5e. On peut donc obtenir une poignée ne contenant que des billets de 20e. Pour trouver jG5j, on doit donc enlever deAles poignées ne contenant que des billets de 20 e. Une autre erreur classique consiste à essayer de construire les résultats de l"expérience qui constituent l"évènement étudié. Cette stratégie fonctionne très bien dans certaines situations, mais elle est parfois délicate à mettre en oeuvre. Dans la question précédente, on étudie donc des sous-ensembles de

8 billets contenant au moins un billet de chaque valeur. Pour obtenir un tel

sous-ensemble, on peut donc choisir un billet de 5e(soit 5 possibilités), un billet de 10e(7 possibilités), un billet de 20e(10 possibilités) et enfin 5 billets quelconques parmi les 19 billets restants (soit doncC519possibilités). Les choix étant indépendants, on obtient5710C519façons de construire une poignée de 8 billets. Le problème est qu"on construit de cette façon plusieurs fois les mêmes poignées, ce qui revient à les compter plusieurs fois. Si on choisit par exemple les billets(c1;d1;v1)puis la poignéefc2;c3;d2;d3;v2g, on obtient la même poignée que si on commence par choisir(c2;d2;v2)puis la poignéefc1;c3;d1;d3;v1g. En fait5710C519= 4 069 800alors queC822= 319 770: on compte donc de très nombreuses fois les mêmes poignées. Il faudrait ainsi trouver un moyen d"éviter ces constructions redondantes, ce qui est assez complexe. La meilleure solution reste alors la technique de décomposition utilisée dans la correction. Le traitement de la question 4 nécessite l"introduction d"un nouvel univers. Comme indiqué plus haut, cette étape est indispensable pour obtenir des résultats corrects.

8Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésCorrectionLe tirage étant maintenant séquentiel, on obtient une liste de billets. De

plus, comme les billets sont remis dans le sac, on peut obtenir plusieurs fois le même. L"univers est donc le produit cartésienB8, soit =f(b1;:::;b8)j 8i; bi2Bg: Comme dans la définition du premier univers, on attend ici des expressions clé importantes :liste(par opposition àensembleet pour tenir compte de l"ordre dans le tirage) etplusieurs fois le même(par opposition àdistinctet pour traduire la remise entre chaque tirage).

On introduit ensuite la probabilité sur

.Correction Comme dans les questions précédents, on utilise la probabilité uniforme sur , ce qui demande le calcul du cardinal de cet ensemble. Comme c"est un produit cartésien, on a j j=jBj8= 228: Le calcul des trois probabilités se fait ensuite assez facilement en utilisant les mêmes raisonnements que dans la première expérience, avec les adaptations nécessaires au mode de tirage.Correction On considère l"évènementA=fn"avoir aucun billet de 5eg. Comme pour la question 1, il s"agit de trouver les tirages ne contenant que des billets de 10eet de 20e. On cherche donc les listes de 8 billets choisis dans B0, l"ensemble des billets de 10eet de 20e. On a donc clairement jAj=jB0j8= 178. Donc

P(A) =17822

8'0;127:

De même, l"évènementD=fobtenir uniquement des billets de 20egse traite comme à la question : il s"agit de trouver des listes de 8 billets choisis parmi les 10 billets de 20e. On a clairement108listes de ce type, ce qui conduit à

P(D) =10822

8'1;82 103:

Enfin, l"évènement

E=fobtenir au moins un billet de chaque valeurg;

9se traite par décomposition exactement comme dans la question 3. En utili-

sant les mêmes notations, on cherche donc la taille de son complémentaire Fen passant parF1etF2. Une différence avec la question 3 est qu"on peut obtenir ici des listes de 8 billets contenant uniquement des billets de 5e, ou uniquement des billets de 10ecar on remet les billets. On décompose doncF1en trois sous-évènements disjoints : H

5=fobtenir uniquement des billets de 5eg;

H

10=fobtenir uniquement des billets de 10eg;

H

20=fobtenir uniquement des billets de 20eg:

Dans chaque cas, on cherche des listes constituées uniquement des billets d"un catégorie, ce qui conduit à un ensemble contenantk8listes si onquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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