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Hugues SILA 1 Exercices corrigés de probabilités Tle c, d, TI, s SM,E

EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE

Niveau Terminale scientifique (Tle C, D, E, S, S1, S2, SM, SE)

Exercice 1 : Combinatoire avec démonstration

Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1kn , on a : 1 11 k k k n n nC C C

2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que

21kn
, on a : 21

2 2 22k k k k

n n n nC C C C

3. On considère deux entiers naturels n et k tels que

21kn
indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. tirée ». A , contraire de A. En déduire la probabilité de A.

Correction exercice 1

Démonstration

1 1111
11 kk nn(n )! (n )!CC(k )!(n k )! k!(n k )!

Il suffit donc de multiplier la fraction

1 1 (n )! (k )!(n k )! par k en haut et en bas, ce qui donne

1 1 1 1

1 1 1 k(n )! (n )! k(n )! (n )! k!(n k )! k!(n k )! k!(n k )(n k )! k!(n k )!

En mettant

1 1 (n )! k!(n k )! en facteur on obtient :

1 1 111 1 1

1 1 k(n )! (n )! (n )! k( ) k!(n k )(n k )! k!(n k )! k!(n k )! n k (n )! k n k = ( )k!(n k )! n k n! =k!(n k )!

2. Réécrivons

1 11 k k k n n nC C C un rang plus bas pour n et pour k ça donne: 2 1 1 2 2 1 k k k n n nC C C ; réécrivons 1 11 k k k n n nC C C un rang plus bas pour n mais pas pour k : ça donne également 1 2 2 1 k k k n n nC C C Additionnons membre à membre ajoutons les deux lignes : 2 1 1

2 2 2 1 12k k k k k k

n n n n n nC C C C C C k nC tirages simultanés possibles de k boules de a. A = " au moins une boule rouge a été tirée » ; A blanches » : il y a 2 k nC manières de faire et 2(A) k n k n CPC . On a donc : 2 2 (A) 1 (A) (1) k n k n kk nn k n CPC CCPC Exercices téléchargés gratuitement sur le site www.sila.e-monsite.com

Hugues SILA 2 Exercices corrigés de probabilités Tle c, d, TI, s SM,E

b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k í 1 blanches, nombre de manières : 1 1 1

2 2 2. 2.kk

nnC C C , ou 2 rouges et k í 2 blanches : nombre de manières : 2 2 2

2 2 2.kk

nnC C C

On a alors

222(A) (2).

kk nn k n CCPC 12 222kk
nnCC 2 kk nnCC

Exercice 2 : Rangements

2). Deux amis A et

2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r í 1 personnes)

Correction exercice 2 Rangements

Le nombre total de possibilités de rangement est n!

1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste

2!n répartitions possibles. Comme A peut être placé 1n places possibles pour A et donc la probabilité 1!1 n nn 2 n

2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de

nr manières, la probabilité finale est alors

2 ! 22!1

n r n n r n n n . (on peut ainsi retrouver la réponse de la première question avec r=0)

Soient A et B deux événements tels que

11 52P A et P A B

1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer

2. Supposons que A et B soient indépendants. Calculer

3. Calculer

Correction exercice 3

A et B incompatibles donc

AB 1 1 3

2 5 10P A B P A P B P B

2. A et B indépendants :

1 1 1 4 3 3

2 5 5 5 10 8P A B P A P B P B P B P B P B

3. A ne peut être réalisé que si B est réalisé : tous les événements de A sont dans B,

1 1 1 1

2 5 5 2P A B P A P B P B

Soient A, B et C des événements. On pose

1E A B C

2E A B C

1. Montrer que E1 et E2 sont incompatibles.

12EE

3. On sait que

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Hugues SILA 3 Exercices corrigés de probabilités Tle c, d, TI, s SM,E

0,6PA 0,4PB 0,3PC

0,1P B C

0,1P A C

0,2P A B

0,05P A B C

Calculer

1PE et 2PE

12E E A B C A B C A B C B A B C C

A B C A B C

donc en appelant K B C , on a

12E E A K A K A

3. On calcule

0,4 0,3 0,1 0,6P B C

0,4P B C

120,6P E P E P A

0,6 0,4 0,3 0,1 0,1 0,2 0,05 0,95P A K P A B C

; par ailleurs

220,95 0,6 0,6 0,25P A K P A P K P A K P E P E

et enfin

10,6 0,25 0,35PE

Exercice 5 : Dés pipés

On lance deux fois un dé pipé tel que P(1)=P(3)=P(4)=1/2 et P(2)=P(6)=1/4. Quelle est la probabilité que la somme

des points obtenus soit supérieure à 10 (strictement) sachant que :

1. un des résultats est 6.

2. le premier résultat est 6.

Correction exercice 5 Dés pipés

Il manque

1 1 15 1 3 28 4 8P

1. Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = 5 ou 6 ; on a donc la probabilité

1 1 1 2 128 4 4 4 2

u quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE

Exercice 1 : Combinatoire avec démonstration

2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que

2 2 22k k k k

3. On considère deux entiers naturels n et k tels que

Correction exercice 1

Démonstration

Il suffit donc de multiplier la fraction

1 1 1 1

En mettant

1 1 111 1 1

2. Réécrivons

2 2 2 1 12k k k k k k

2 2 2. 2.kk

2 2 2.kk

On a alors

222(A) (2).

Exercice 2 : Rangements

2). Deux amis A et

2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r í 1 personnes)

Correction exercice 2 Rangements

1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste

2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de

2 ! 22!1

Soient A et B deux événements tels que

11 52P A et P A B

1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer

2. Supposons que A et B soient indépendants. Calculer

3. Calculer

Correction exercice 3

A et B incompatibles donc

2 5 10P A B P A P B P B

2. A et B indépendants :

1 1 1 4 3 3

2 5 5 5 10 8P A B P A P B P B P B P B P B

3. A ne peut être réalisé que si B est réalisé : tous les événements de A sont dans B,

1 1 1 1

2 5 5 2P A B P A P B P B

Soient A, B et C des événements. On pose

1E A B C

2E A B C

1. Montrer que E1 et E2 sont incompatibles.

3. On sait que

0,1P B C

0,1P A C

0,2P A B

0,05P A B C

Calculer

12E E A B C A B C A B C B A B C C

A B C A B C

12E E A K A K A

3. On calcule

0,4 0,3 0,1 0,6P B C

0,4P B C

120,6P E P E P A

0,6 0,4 0,3 0,1 0,1 0,2 0,05 0,95P A K P A B C

220,95 0,6 0,6 0,25P A K P A P K P A K P E P E

10,6 0,25 0,35PE

Exercice 5 : Dés pipés

1. un des résultats est 6.

2. le premier résultat est 6.

Correction exercice 5 Dés pipés

Il manque

1 1 15 1 3 28 4 8P

1. Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = 5 ou 6 ; on a donc la probabilité

1 1 1 2 128 4 4 4 2