Fondamentaux pour les Mathématiques et lInformatique PDF

TD : Exercices de logique

raisonnement par récurrence par l'absurde

BASES DU RAISONNEMENT

???/???/???? Logique différents types de raisonnement. ... Exercice 4 Ecrire sous forme de formule mathématique l'assertion suivante. ... Par l'absurde.

Mathématiques

Corrigés des exercices Exercice 1.4. — Pour démontrer l'implication A =? B on peut raisonner par ... d'un raisonnement par l'absurde). ? Exercice 1.5.

Fondamentaux pour les Mathématiques et lInformatique

???/???/???? en supposant que les param`etres p et q sont des entiers naturels. 10. Page 11. 1.3 Raisonnement par l'absurde. Exercice 1.13. Montrer ...

Sans titre

Raisonnements par récurrence. Exercice 1.1 Exercice 2.2. ?DD Objectif : raisonnement par l'absurde. ... RAISONNEMENTS. Corrigés des exercices.

Logique ensembles

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00002.pdf

Démontrer une implication ou une équivalence - %©NPOUSFS VOF

Raisonner par l'absurde. 4PMVUJPOT EFT FYFSDJDFT. EXERCICE 2.1. Si on montre que la somme des trois plus grands nombres parmi a1

Mathématiques appliqu Informatique ées

Lors de vos recherches d'exercices ou de devoirs maison donnés par votre professeur Les raisonnements par l'absurde sont très utiles

LE RAISONNEMENT PAR LABSURDE UNE ÉTUDE DIDACTIQUE

Nous donnons ensuite les résultats de notre étude de plusieurs collections de manuels de lycée — définitions exemples et exercices d'application proposés — et

Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE

ÉLÉMENT DE LOGIQUE ET MÉTHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGÉS. (2) Soit n ? IN par l'absurde supposons que n2 est pair et n est impair

Universite Bordeaux 1

Licence de Sciences, Technologies, Sante

Mathematiques, Informatique, Sciences de la Matiere et Ingenierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathematiques et l'Informatique

Fondamentaux pour les Mathematiques et

l'Informatique

FASCICULE D'EXERCICES

Table des matieres

Avant-propos 5

1 Rudiments de logique 7

1.1 Operations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Quanticateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Raisonnement par l'absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

1.4 Raisonnement par la contraposee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

1.5 Raisonnement par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ensembles et applications 15

2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5

2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7

2.2.1 Images, antecedents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Image directe et image reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2

2.3 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Denombrement 29

3.1 Ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 9

3.2 Problemes de denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 0

3.3 Proprietes des coecients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Manipulation de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4

4 Devoirs surveilles des annees anterieures 35

3 4

Avant-propos

Ce fascicule rassemble un choix d'exercices couvrant le programme de l'UEM1MI1002 "Fondements pour les Mathematiques et l'Informatique". Il s'agit a la fois d'une base dans laquelle on pourra puiser les exercices a developper en travaux diriges, et d'un outil de travail personnel pour les etudiants. Il va de soi que l'on ne pourra traiter l'integralite de ces exercices pendant les 21 seances de cours/travaux diriges. Les exercices proposes sont de diculte assez variable : les enonces juges un peu plus diciles sont signales par des etoilesF. Le contr^ole des connaissances consiste, pour cette UE, en : deux devoirs surveilles d'une duree d'1h30, aectes chacun d'un coecient 0:4, de tests, pendant les seances de cours, et de devoirs en temps libre dont la moyenne des notes est aectee d'un coecient 0:2. Le style et le niveau des exercices (sans etoile) de ce recueil donnent une indication de ce qui est attendu des etudiants pour les devoirs surveilles. 5 6

Chapitre 1

Rudiments de logique

1.1 Operations logiques

Exercice 1.1.P,QetRdesignent trois propositions logiques. 1. Co nstruirel est ablesd ev erited esp ropositionss uivantes: (a)P)(Q)P) (b)P)(Q)(P^Q)) (c) ( P^Q),(:(P) :Q)) 2.

Ex primersa ns)ni,:

(a):(P,Q) (b):((P_Q))Q) (c):(P)(Q)R)).

Exercice 1.2.

1. L aquelled esfo rmulessu ivantesest equivalente a: P et(P ou Q) ? (a)P et Q (b)P ou Q (c)P (d)Q 2. L aquelled esfo rmulessu ivantesest equivalente a: ( P et Q)ou P? (a)P et Q (b)P ou Q (c)P (d)Q 7

Exercice 1.3.

Q uelleest l an egationd e: ( non P)et Q?

(a)P et(non Q) (b)P ou(non Q) (c) ( non P)ou Q 2.

Q uelleest l an egationd e: P ou(non Q) ?

(a) ( non P)ou Q (b) ( non P)et Q (c) ( non P)et(non Q) (d)P et(non Q) 3.

Q uelleest l an egationd e: ( non P)ou(non Q) ?

(a)P et Q (b)P ou Q (c) ( non P)et(non Q) Exercice 1.4.Dans un journal est annoncee la nouvelle suivante : L'armee ne quittera pas le pays tant que le calme n'est pas revenu. En considerant l'annonce ocielle precedente comme vraie, dire si les argumentations suivantes sont correctes : 1. " Lecal meest r evenu,d oncl 'armeeq uittel ep ays." 2. " L'armeeq uittel ep ays,d oncl ec almee stre venu." 3. " L'armeen 'ap asq uittel ep ays,d oncl ec almen 'estp asr evenu." Exercice 1.5.On suppose queaetbsont des nombres reels. Representer par une formule logique la valeur de chacune des expressions suivantes en langagePython:

1.if a > b :

a < 2*b else: True

2.if a > b :

a < 2*b else: False

3.if a > b :

a < 2*b else: b < 3*a 8

1.2 Quanticateurs

Exercice 1.6.

Ecrire les negations logiques des propositions suivantes : 1. ( x21^x3<2)_(x29^x <0).

2.8x2R;x <1)x2<1.

3.8p2N;8n2Z; pn.

4. " Touti ntervalled eRcontient un element de l'intervalle [0;1]." Exercice 1.7.SoitEun ensemble etAetBdeux parties deE. La denition de ABest \tout element deAest element deB".A quelle(s) proposition(s) ci-dessous cela correspond-il? {8x2A;x2B {8x2E;(x2B)x2A) {8y2E;(y2A)y2B) ( 8x2E;x2A))(8x2E;x2B) Exercice 1.8.Sifest une application deRdansR, la denition de\f est bornee"est \9M2R;8x2R;jf(x)j M". Donner la denition de \f n'est pas bornee". La denition de \fest croissante" est \8(x;y)2R2;xy)f(x)f(y)". Donner la denition de \f n'est pas croissante". Exercice 1.9.Pour chacune des propositions suivantes, donner sa negation, et dire si elle est vraie ou fausse (en justiant la reponse)

1.8x2R;x2>0

2.8x2R;x2>0

3.9x2R;x2>0

4.8x2R;px

2=x 5. ( 8x2R)(9y2R)(x+y= 0) 6. ( 9y2R)(8x2R)(x+y= 0).

Exercice 1.10.

Ecrire sous la forme d'une formule avec quanticateurs les enonces suivants : 1. T outen tiern aturelp ossedeu ner acineca rreer eelle. 2. T outen tiern aturelp ossedeu nr eelp ositifp lusg randq uel ui. 3. Il ex isteu nr eelp lusp etitq uet ousl ese ntiersn aturels. 4.

L 'intervalleIest inclus dans [1;2].

Exercice 1.11.

1. S oienta;bdeux entiers naturels et soitn=ab. Completer les phrases suivantes an qu'elles soient vraies (il peut y avoir plusieurs solutions possibles) : (a) . ..etu nm ultipled ea. (b)bet un diviseur de .... (c)nest divisible par .... 2. Ecrire sous forme d'une formule quantiee et demontrer. (a) La so mme( lad ierence)d ed euxen tiersp airsest p aire. (b) L as omme(l ad ierence)d 'unen tierp airet u nen tieri mpaires ti mpaire. (c) L asom me( lad ierence)d ed euxen tiersi mpairse stp aire. 3. Est -ilp ossibled eg eneraliserl es enoncesd el am anieresu ivante? (a) S oitkun entier naturel. La somme (la dierence) de deux multiples dekest toujours un multiple dek. (b) S oitkun entier naturel. La somme (la dierence) de deux entiers divisibles parkest toujours aussi divisible park. (c) S oitkun entier naturel. La somme d'un entier divisible parket un entier non divisible parkn'est jamais divisible park. (d) S oitkun entier naturel. La somme (la dierence) de deux entiers non divisible parkest toujours divisible park. 4. Ecrire sous forme d'une formule quantiee et demontrer. (a)

T outen tierd ivisiblep ar6 est p air.

5. Co mpleterl esp hrasesp ourfor merl esp ropositionq uel 'onp eutd eduired el 'enonce precedent : (a) Il n 'existep asd 'entier. ........q uiso itd ivisiblep ar6 . (b)quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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