Chaˆ?nes de Markov en Terminale S 1 Pertinence dune Page web PDF

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Comment calculer la pertinence d’un modèle?

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Quelle est la pertinence des devoirs au primaire ?

La question de la pertinence des devoirs au primaire a suscité nombre de débats, tant dans les médias qu’entre les divers intervenants du monde scolaire. Certains considèrent les devoirs comme primordiaux pour permettre aux élèves de consolider les apprentissages effectués pendant la journée et pour leur inculquer de bonnes habitudes de travail.

Cha

ınesdeMarko ven TerminaleS

MaximeFourny

1 &YvesDucel 2 &C´ edricLaleaux 3 &B runoSaussereau 2 1

Lyc´eePaul

EmileVictor

625,avenuedeG ottmadingen

BP80 116

39303CHAM PAGNOLE

maxime-simon.fourny@ac-besancon.fr 2 LaboratoiredeMath´ematiquesdeBesan¸ con,Uni versit´eBourgogneFranche-Comt´e

16,rou tedeGray

25030Besan¸conce dex,FRANCE

yves.ducel@univ-fcomte.fr 3

Lyc´ee

EdouardBelin

18RueE douardBeli n

70000Vesoul

cedric-damien.laleaux@ac-besancon.fr

R´esum´e.Lorsquenousavonsobs erv´elesn ouveauxprogramm esdeTerminaleSensp´ec ialit´emath ´ematiquesde2011,

nousnoussom mesaper¸cu squederri`erec haquecontenuprobabilisted uprogrammes ecachaitunechaˆınedeMarkov.Il

n'estbiensˆurpas n´ecessaire( nisu sant)depr´ese nterc etteth´eorieg´en´eraleaux´el`eve s.Nouspensonscepen dantqu'il

peutleurenˆe trefaitmenti onenfind 'ann´eescolaireen utilisantl ereculd'unand'ense ignemen t.Nouspr oposonsici

unepr´ese ntationdececoncept`atraversquelques exempl esconc retdontnotammentle"PageR ank"de Google.Cette

activit´epermet´egalement, aposteriori,d'apporter unejustificationsurcettemulti pl icationsi"complexe"desmatrices.

Nousnouss ommes,parl asuite,´egalementin terrog´ essurl 'utilisationdeschaˆ ınesdeMarkovpardesoutilsin formatiques

notammentdanslecasdelamat i`ereICN (Inform atiquee tCr´eat ionNum´ erique).

L'objectifdecetarticleestd oncdep r´esenter leschaˆınesdeMarko v`atraver sdesexemp lestr `esconcretspermettantd'en

montrerl'int´erˆet ,sansrentrerdansuneth´eorieg´en´eralequ ipourun´e l`evedeterminaleSd´ep asseraitlen iveauattend u

auly c´ee. Mots-cl´es.ChaˆınedeMarkov,PageRank, ICN... Abstract.Markovchainshave beentaughtinFrenc hhighschoolss ince2011.

Thepurpose ofthispaperistosugges tar eflectionaboutth ewaytoteachs uchath eorywit haverylowmathem atic al

background.

Inthis presentation, wefirstgiveanintroductiontoMarkovchain swith astudyofGoogle' s"PageRank"algor it hm.

Wethen considertheapp licationsofMarkovchainsto thedigital creationinmusicorwriting.

Thisworkwasdone bytheProb ability andStatisti cReser chteamofth eInstitutdeRecherchesurl'E nseigne mentdes

Math´ematiques(MathematicalTeachingResear chInstitute)ofFranche-Comt´e.

Keywords.ChaˆınedeMarkov,PageRank ,ICN.. .

1Pe rtinenced'unePageweb

Lorsquenoustaponsun motdansunmot eurderecher che,nou sobtenon splusieu rssite srang´esparordred eperti nence.

Nousnousi nterrogerons icisurcettepertinence.Comment estellecr ´e´ee?

1.1Positi onduprobl`eme

Consid´eronsuncertainsujet´evoqu ´eparqu atresitessurintern et.

Discuterdelapertinenced escesp agesweb enrapportausujetdonn´erevient`ale urattribue runscore: le"PageRank".

Ilsu talor sd´efiniru nalgorithmedecalculdece"P ageRank"e td'a cherdansl'ordr elespagesen rapportavecla requˆete. L'id´ee`alabasedumod `eled eLarryPage etSergeyBr in,fond ateursdeGoogle,tientend euxr` egles:

•R1:Le"P ageR ank"doitprendreencomp telespages quifontr´ef´erencedansl edomain erecherch´e("PageR ank"

´el ev´e ).

1 •R2:Une r´ef´ erencevenantd'unepagemultipliantlesl iensdoitavoirpeu decr´edit.

Lar` egleR2nousinvite `arepr´esenterles r´ef´e rences(liens)d'unepageversuneautreparu nefl`eche, defa¸con`aassocier

ungraphe orient´eauprobl `emedel'attributiondu"P ageran k". 12 43
12 43

Ennotan ts

i lescore delapagei,onp eut consid´ererqu elescored'unepageestlasommedessc oresdespages pointant verselles. lar`egl eR1estrespe ct´ee.Onobtientalorslesyst`emesuivan t`ar´e soudre: s 1 =s 3 s 2 =s 1 +s 3 +s 4 s 3 =s 1 +s 2 +s 4 s 4 =0

Pourrespec terlar`egleR2,l' id´eeestconsid´ererqu eplusune pageenvoiesurd'autrespages,moinscett er´ef´ere nceest

digned'int´er ˆet.Ontraduitcetteid´eeenpond´erantles cored' unsiteparl'inversed unombredepagespoin t´eesparce

site.Lesyst`emep r´e c´edentestalorsmodifi´edel afa¸consuivante: s 1 s3 2 s 2 s1 2 s3 2 s4 2 s 3 s1 2 +s 2 s4 2 s 4 =0, dontunesolu tionest:(s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 2 9 3 9 4 9 ,0). Danscettee xemple,quenousap pelleronsexemple1,le probl`e mepeutˆetresymbolis´eparl amatriceA 1 00 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 10 1 2 0000 D´efinirle"PageRank"revien talors` ar´esoudrelesyst`em e: A 1 s 1 s 2 s 3 s 4 s 1 s 2 s 3 s 4 Appliquonsmaintenantceprinc ipe`aquatreautresexemples :

Exemple2:

12 43

Onobtie ntalorslesscoressuiv ants:

s 1 =0.230769 s 2 =0.384615 s 3 =0.076923 s 4 =0.307692

Exemple3:

12 43

Onobtie ntici:!

s 1 =0 s 2 =0 s 3 =0 s 4 =1

Exemple4:

2 1 2 3 4 5

Onobtie ntpourcetexemple:

s 1 =0 s 2 =0 s 3 =0 s 4 =0 s 5 =0

Exemple5:

1 23
45
Ona s 1 =0 s 2 =0 s 3 =0 s 4 =0.5 s 5 =0.5

Maisaussi:

s 1 =0 s 2 =0.5 s 3 =0.5 s 4 =0 s 5 =0 commesolutions .

Enanalys antlesexemples4et5 et`amoindr emesurel'exemple3,nousvoy onsl eslimi tes d'unt elsyst `eme.Carlebutde

l'op´erationestded´eterminer, danstousles cas,une uniquesolutionquipermetted'´etabliru nordredepr iorit´edan sles

scoresdespagesr´e f´erenc´e es. Voil`adonccomment lasuccess storydeGoogleauraitpus 'arrˆet ernetdanslesann´ees90. Heureusement...LarryPageetSergeyBrinontpens´e`a deuxconce ptsmath ´ematiq ues: •leschaˆı nesdeMarkov;•laformu ledesprobabilit´est otales.

1.2Chaˆınes deMarkov

ChaˆınesdeMarkovhomog`ene( `aesp acedes´etatsdiscr et)

Intuitivement:lefuturd'unprocessusmarko vie nned´ ependdupass´equ' `atraversle pr´esent,lepass´en'apasd'infl uence.

Cetteid´eeseform aliseparladonn´ee d'unes uitedevariablesal´eatoire sr´eel les(X n n!N prenantleursvaleurs dansun

espaceEd´enombrable(eng´en´eralNouun sous-en semblefinideN)qu iposs`edel apropri´et´esuivante:p ourtoute ntier

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