[PDF] Recueil dannales en Mathématiques Terminale S – Enseignement

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Recueil d"annales en Mathématiques

Terminale S - Enseignement obligatoire

Intégrales

Frédéric Demoulin

1

Dernièrerévision : 3 juin 2010

Document diffusé via le site

www.bacamaths.netde Gilles Costantini2

1. frederic.demoulin (chez) voila.fr

2. gilles.costantini(chez) bacamaths.net

Annales Terminale SIntégrales

Tableaurécapitulatif desexercices

?indique que cette notion a été abordée dans l"exercice

F.I. : fonction définie par une intégrale; I.P.P. : intégration par parties; E.D. : équations différentielles

Session2010

1Libanjuin 2010???

2Indeavril 2010?????

Session2009

3Amérique du Nordjuin 2009???

4Centres étrangersjuin 2009??

5Francejuin 2009????

6France (sujet initial)juin 2009????

7La Réunionjuin 2009???

8Libanjuin 2009???

9Polynésiejuin 2009???

10Indeavril 2009???

11Nouvelle-Calédoniemars 2009????

Session2008

12Antilles-Guyanesept 2008???

13France / La Réunionsept 2008??

14Polynésiesept 2008???

15Centres étrangersjuin 2008?????

16Francejuin 2008???

17La Réunionjuin 2008????

18Libanjuin 2008????

19Polynésiejuin 2008???

20Amérique du Nordmai 2008???

21Indeavril 2008????

Session2007

22Antilles-Guyanesept 2007????

23Polynésiesept 2007?

24Amérique du Nordjuin 2007?????

25Antilles-Guyanejuin 2007???

26Asiejuin 2007????

27Francejuin 2007????

28Libanjuin 2007???

29Polynésiejuin 2007???

Session2005

30Asiejuin 2005???

31La Réunionjuin 2005?????

32Libanjuin 2005???

33Indeavril 2005???

Session2004

34Amérique du Sudnov 2004?????

35Francesept 2004??

36Polynésiesept 2004?????

37Antilles-Guyanejuin 2004????

38Polynésiejuin 2004??

F. DemoulinPage 1

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Session2001

39Polynésiesept 2001???

40Indeavril 2001???

Années 90

41Francejuin 1999???

42Asiejuin 1998???

43La Réunion1997???

Années 80

44Bordeaux-Caen1986?

45Nancy-Metz1980?

F. DemoulinPage 2

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Exercice 1 Liban, juin 2010 (5 points)

Partie A - Restitutionorganisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

•e0=1;

•pour tous réelsxety, ex×ey=ex+y.

1. Démontrer que, pour tout réelx, e-x=1

ex.

2. Démontrer que, pour tout réelxet pour tout entier natureln,?ex?n=enx.

PartieB

On considère la suite

(un)définie pour tout entier naturelnpar : u n= ?1 0e -nx

1+e-xdx

1. a. Montrer queu0+u1=1.

b. Calculeru1. En déduireu0.

2. Montrer que, pour tout entier natureln,un?0.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul,un+1+un=1-e-n

n. b. En déduire, que pour tout entier naturelnnon nul,un?1-e-n n.

4. Déterminer la limite de la suite

(un).

F. DemoulinPage 3

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Exercice 2 Inde, avril 2010 (6 points)

Partie A - Restitutionorganisée de connaissances

Soitaetbdeux réels tels quea les résultats suivants : ?b a?f(t)+g(t)?dt= ?b a f(t)dt+?b a g(t)dt;

•si, pour toutt?[a;b],f(t)?0, alors

?b a f(t)dt?0. Montrer que : si pour toutt?[a;b],f(t)?g(t), alors ?b a f(t)dt??b a g(t)dt.

PartieB

Soitnun entier naturel non nul. On appellefnla fonction définie sur [0 ;+∞[ par : f n(x)=ln ?1+xn? et on poseIn= ?1 0 ln?1+xn?dx. On noteCnla courbe représentative defndans un repère orthononnal ?O;-→ı;-→??.

1. a. Déterminer la limite def1en+∞.

b. Étudier les variations def1sur [0 ;+∞[.

c. À l"aide d"une intégration par parties, calculerI1et interpréter graphiquement le résultat.

(Pour le calcul deI1on pourra utiliser le résultat suivant : pour toutx?[0 ; 1],x x+1=1-1x+1)

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on a 0?In?ln2.

b. Étudier les variations de la suite (In). c. En déduire que la suite (In)est convergente.

3. Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

g(x)=ln(1+x)-x a. Étudier le sens de variation degsur [0 ;+∞[.

b. En déduire le signe degsur [0 ;+∞[. Montrer alors que, pour tout entier naturelnnon nul, et pour

toutxréel positif, on a : ln ?1+xn??xn c. En déduire la limite de la suite (In).

F. DemoulinPage 4

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Exercice 3 Amérique du Nord, juin 2009 (5 points) Partie A - Restitutionorganisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soientuetvdeux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca•siu?0 sur [a;b], alors ?b a u(x)dx?0;

•pour tous réelsαetβ,

?b a [αu(x)+βv(x)]dx=α?b a u(x)dx+β?b a v(x)dx.

Démontrer que sifetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca [a;b],f(x)?g(x) alors ?b a f(x)dx??b a g(x)dx.

PartieB

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ; 1] parf(x)=e-x2et on définit la suite(un)par :

u0= ?1 0 f(x)dx=?1 0 e-x2dx pour tout entier naturelnnon nul,un= ?1 0 xnf(x)dx=?1 0 xne-x2dx

1. a. Démontrer que, pour tout réelxde l"intervalle [0 ; 1],1

e?f(x)?1. b. En déduire que 1 e?u0?1.

2. Calculeru1.

3. a. Démontrer que, pour tout entier natureln, 0?un.

b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un)est convergente.

4. a. Démontrer que, pour tout entier natureln,un?1

n+1. b. En déduire la limite de la suite (un).

F. DemoulinPage 5

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Exercice 4 Centres étrangers, juin 2009 (6 points)

Soitnun entier naturel.

On notefnla fonction définie sur l"ensemble

Rdes nombres réels par :

f n(x)=e-nx 1+e-x On noteCnla courbe représentative defndans un repère orthogonal ?O;-→ı;-→??. Les courbesC0,C1,C2etC3 sont représentées ci-dessous : 1xy 1 C 0C 1C 2C 3 Partie A - Quelquespropriétésdes fonctionsfnetdes courbesCn

1. Démontrer que, pour tout entier natureln, les courbesCnont un pointAen commun. On précisera ses

coordonnées.

2. Étude de la fonctionf0

a. Étudier le sens de variation def0.

b. Préciser les limites de la fonctionf0en-∞et+∞. Interpréter graphiquement ces limites.

c. Dresser le tableau de variation de fonctionf0sur R.

3. Étude de la fonctionf1

a. Démontrer quef0(x)=f1(-x) pour tout nombre réelx. b. En déduire les limites de la fonctionf1en-∞et+∞, ainsi que son sens de variation. c. Donner une interprétation géométrique de 3.a. pour les courbesC0etC1.

4. Étude de la fonctionfnpourn?2

a. Vérifier que, pour tout entier natureln?2 et pour tout nombre réelx, on a : f n(x)=1 enx+e(n-1)x b. Étudier les limites de la fonctionfnen-∞et en+∞. c. Calculer la dérivéef?n(x) et dresser le tableau de variations de la fonctionfnsur R.

F. DemoulinPage 6

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Partie B - Étude d"une suite liée auxfonctionsfn

On pose, pour tout entier natureln,un=

?1 0 fn(x)dx.

1. Calculeru1puis montrer queu0+u1=1. En déduireu0.

2. Démontrer que, pour tout entier natureln:

0?un? ?1 0 e-nxdx

3. Calculer l"intégrale

?1 0 e-nxdx. En déduire que la suite(un)est convergente et préciser sa limite.

F. DemoulinPage 7

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Exercice 5 France, juin 2009 (6 points)

Soitfla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=ln ?1+xe-x? On notef?la fonction dérivée de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[.

On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal. La courbeCest représentée sur

le graphique ci-dessous.

Partie A

1. Justifier que lim

x→+∞f(x)=0.

2. Justifier que pour tout nombre réel positifx, le signe def?(x) est celui de 1-x.

3. Étudier les variations de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[.

PartieB

Soitλun nombre réel strictement positif. On poseA(λ)= 0 f(x)dx. On se propose de majorerA(λ) à l"aide de deux méthodes différentes.

1.Premièreméthode

a. Représenter, sur le graphique ci-dessous, la partie du plan dont l"aire en unité d"aire, est égale àA(λ).

b. Justifier que pour tout nombre réelλstrictement positif,A(λ)?λ×f(1).

2.Deuxième méthode

a. Calculer à l"aide d"une intégration par parties 0 xe-xdxen fonction deλ. b. On admet que pour tout nombre réel positifu, ln(1+u)?u. Démontrer alors que, pour tout nombre réelλstrictement positif,

A(λ)?-λe-λ-e-λ+1.

3.ApplicationnumériqueAvec chacune des deux méthodes, trouver un majorant deA(5), arrondi au centième. Quelle méthode

donne le meilleur majorant dans le cas oùλ=5? 11 O C

F. DemoulinPage 8

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Exercice 6 France (sujet initial), juin 2009 (6 points) Soitfla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=1+xe-x Sa courbe représentativeCdans le repère orthonormalquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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