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2 jan 2009 · 1-1 Exercices corrigés 2-1 1 Exercice 4a – Formes bilinéaires et quadratiques 2-1 3 Exercice 6a – Forme quadratique
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Exercice 39 Déterminer les formes quadratiques des formes bilinéaires symétriques dans les exercices précédents Exercice 40 Soit q une forme quadratique sur E
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Exercices ? : `a préparer `a la maison avant le TD seront corrigés en début de TD f) La forme polaire de f est la forme bilinéaire symétrique (A
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bijxixj 1 Montrer que Q est une forme quadratique positive 2 Montrer que Q est définie positive si et seulement si la famille (
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Formes quadratiques Espaces vectoriels euclidiens Géométrie euclidienne Objectifs : Savoir reconnaître une forme bilinéaire une forme quadratique
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13 mai 2015 · Exercice 1 formes quadratiques sur R4 suivantes : (a) Rappeler la définition du noyau d'une forme bilinéaire symétrique
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Exercice I Soit q: R3 ? R la forme quadratique définie par la formule 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée `a q et sa matrice dans la
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Correction de quelques exercices de la feuille no 5: forme bilinéaire symétrique sur E Montrer que la forme quadratique associée `a ? est définie
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Corrigé Exercice 1 Soit ? la forme bilinéaire de (R2[X])2 définie par : dans cette base de ? et de la forme quadratique q associée
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Ecrire l'expression de la forme bilinéaire associée `a chacune de ces matrices Lesquelles sont symétriques ? Formes quadratiques Exercice 3
Exercices d'entra^nement (Algebre 2)
Formes bilineaires
Exercice 1
1. Parmi les expressions ci-dessous, determiner celles qui
denissent une forme bilineaire sur l'espaceEindique. (a)b1(u;v) = 2u1v14u2v2+ 3u1v2(E=R2) (b)b2(u;v) =u1v1+ 8u2v43u2(E=R4) (c)b3(u;v) = 2u1v1+ 3u1v2+ 6u2v2+ 3u2v1(E=R2) (d)b4(u;v) =u1v1+u2v2+u3v3(E=R3) (e)b5(u;v) =u1u28v1u2(E=R2) (f)b6(u;v) = 0 (E=R2) (g)b7(u;v) = 3 (E=R2)2. Ecrire la matrice de chacune des formes bilineaires.
3. Quelles formes bilineaires sont symetriques?
4. Calculerb1(u;v) pouru= (2;3) etv= (4;1) de deux
facons : (a) en utilisant l'expression deb1 (b) avec des produits matriciels.Exercice 2
Soient les matrices suivantes associees a des formes bilineaires : A=0 @1 0 0 0 1 11 1 21
A B=0 @1 0 4 0 1 14 1 01
A C=0 BB@2 4 0 1
4 1 0 1
0 0 0 1
1 1 1 11
C CA Ecrire l'expression de la forme bilineaire associee a chacune de ces matrices. Lesquelles sont symetriques?Formes quadratiques
Exercice 3
Soit la forme bilineaire (symetrique) deR3:
b(u;v) = 2u1v1+ 4u1v2+ 4u2v1u2v2+ 3u3v31. Ecrire la forme quadratiqueqassociee ab.
2. Ecrire la matrice deq.
3. La formeqest-elle denie positive?
Exercice 4
Soit la forme quadratique deR3:q(u) = 2u21+ 2u1u2+u22+u23.1. Ecrire la forme bilineairebassociee, et la matrice deq.
2. Est-elle denie positive?
Orthogonalite
Exercice 5
1. Soient les vecteurs deR3:
u= (2;1;0)v= (3;6;1)w= (1;0;0) (a) Montrer qu'ils forment une base deR3. (b) Forment-ils une base orthogonale pour le produit scalaire usuel? (c) Calculerjjujj,jjvjjetjjuvjj.2. Soit la formeb(u;v) = 2u1v1+u2v2surR2.
(a) Montrer quebdenit un produit scalaire<;>(c'est-a- dire qu'elle est denie positive).(b) Soient les vecteurs deR2: u= (2;1)v= (3;12) Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux pour le produit scalaire<;>? (c) Calculerjjujjpour la norme induite par<;>.Exercice 6
Dans chacun des cas suivants, determiner la dimension deF, la dimension deF?, orthogonal deFdansEpour le produit scalaire usuel, et en donner une base.1.E=R2;F= Vect((1;1))
2.E=R3;F= Vect((1;1;1))
Exercice 7
SoitFle sous-espace vectoriel deE=R3deni par
F=f(u1;u2;u3)2R3ju12u2+u3= 0g
1. Determiner une base deF.
2. Determiner une base orthonormee deFpour le produit
scalaire usuel.3. Determiner une base deF?.
4. Calculer les coordonnees du projete orthogonal du vecteur
u= (1;3;2) surF.5. Ecrire la matriceA(dans la base canonique) de la projection
orthogonale surF.6. Sans calcul, donner les valeurs propres deA, et indiquer une
base deEdans laquelleAest diagonale.Exercice 8
Soit dansR3, le produit scalaire :
< u;v >= 2u1v1+u2v2+u3v3: Orthonormaliser la base canonique deR3pour ce produit scalaire.Diagonalisation en base orthonormee
Exercice 9
Soit la forme quadratique deR3denie par :
q(u) = 9u21+ 6u22+u234u1u2:1. Ecrire sa matriceA.
2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit
scalaire usuel).3. Ecrire la forme reduite deq.
4. En deduire siqadmet un minimum ou un maximum, et
eventuellement le point ou ce minimum (ou maximum) est atteint.5. Determiner le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1g, et
le vecteur deSou ce minimum est atteint.6. M^emes questions pour le maximum deqsurS.
M^emes questions pour
q(u) =u21+ 4u22+u23+ 4u1u2:Exercice 10
1. Trouver une racine carree de la matrice :
A=13 4
4 52. En deduire comment simuler un couple (X;Y) de variables
gaussiennes centrees, dont la matrice de covariance estA.Exercices supplementaires
Exercice 11
Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.1. Calculerjju+vjj2en fonction dejjujj2,jjvjj2et< u;v >.
2.A quelle condition a-t-onjju+vjj2=jjujj2+jjvjj2?
3. Interpreter geometriquement cette condition en dimension 2,
pour le produit scalaire usuel. Quel theoreme retrouve-t-on?Exercice 12
Soitbune forme bilineaire symetrique sur un espace vectorielE, qsa forme quadratique associee.1. Pourx;y2E, calculerq(x+y),q(xy) etb(x+y;xy)
en fonction deb(x;y),q(x) etq(y).2. Ecrire les resultats obtenus pourE=R,b(x;y) =xy. Que
retrouve-t-on?Exercice 13
Soitjj:jjune norme induite par un produit scalaire<;>.1. Pouru;v2E, exprimerjju+vjj2+jjuvjj2en fonction de
jjujj2etjjvjj2.2. Interpreter geometriquement en dimension 2, pour le produit
scalaire usuel.Revisions
Exercices de preparation a l'examen. La consigne de redaction sera : Sauf mention contraire, vos resultats doivent ^etre justies, par un calcul detaille et/ou un raisonnement clair s'appuyant sur les resultats donnes en cours. La qualite de la redaction et la precision des explications fournies entreront pour une part importante dans l'appreciation des copies.Exercice 14
SoientAetBles deux matrices :
A=0 BB@1=2 1=21=p2 0
1=21=2 0 1=p2
1=2 1=2 1=p2 0
1=21=2 01=p2
1 C CA B=0 @2 4 3 3 1 27 5 11
A Montrer queAest une matrice orthogonale, et queBne l'est pas.Exercice 15
Soit la matriceA:
A=0 @7=2 0 7=2 0 7 07=2 0 7=21
A1. Ecrire l'expression de la forme quadratiqueqassociee aA, et de la forme bilineaire symetrique associee aA.2. DiagonaliserAdans une base orthonormee (pour le produit
scalaire usuel), c'est-a-dire trouverDdiagonale etPorthog- onale telle queA=PDPT. Expliquer comment verier votre calcul.3. Ecrire la forme reduite deq.
4. Montrer queAn'est pas denie positive.
5. Montrer queqn'a pas de maximum surR3.
6. Montrer queqa un minimum surR3. Donner un point ou ce
minimum est atteint.7. Verier que le minimum deqsurS=fu2R3;jjujj= 1gest
0, et trouver un point deSou ce minimum est atteint.
8. Determiner le maximum deqsurS, et trouver un point de
Sou ce maximum est atteint.
9. Determiner une racine carree deA.
10. M^emes questions pour
A=0 @7 18 1 7888 161
A (en cas de diculte de calcul des valeurs propres, on pourra admettre que les valeurs propres deAsont 0, 6 et 24).Exercice 16
On se place dansE=R4, muni du produit scalaire usuel.SoitFl'espace vectoriel engendre par :
8>>< >:e 1=0 B B@1 2 1 21C
CA;e2=0
B B@3 7 1 21C
CA;e3=0
B B@2 2 44241
C CA9
1. Montrer quefe1;e2;e3gest une base deF.
2. Donner la dimension deF?, puis en determiner une base.
3. Montrer quefe1;e2;e3gn'est pas une base orthogonale de
F.4. Construire une basefg1;g2;g3gdeForthonormee.
5. Calculer la projection orthogonale du vecteuru= (1;2;4;5)
surF.6. Ecrire la matrice de la projection orthogonale surF. On ap-
pellera cette matriceA.7. Expliquer quel calcul eectuer pour retrouver le resultat de
la question 5. a partir de la matriceA.8. Sans calcul, indiquer les valeurs propres deAet les espaces
propres associes.9. Toujours sans calcul, trouver deux matricesP(orthogonale)
etD(diagonale) telle queA=PDPT.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1[PDF] exercices corrigés sur les lois de mendel pdf
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