[PDF] [PDF] Dérivation - Xiffr Montrer que f est lipschitzienne

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Chapitre 20

DÉRIVATION

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 20.1Simplifier la dérivée def(x) = sinxtanx+ 2cosx-2

Exercice 20.2Soitf(x) =1-chxxsix?= 0, peut-on prolongerfen une fonction continue surR. Le prolongement

obtenu est-il dérivable surR? Exercice 20.3Soitf(x) =xx, peut on prolongerfsurR+,le prolongement est-il dérivable surR+? Exercice 20.4Etudier la dérivabilité def(x) = sinxsin1xsix?= 0etf(0) = 0 soit dérivable surR

Même question avecf(x) =ax

2+bx+ 1six >1.

Exercice 20.6Simplifierf(x) = 2arctan?

?1-x x + arcsin(2x-1)(DéterminerD f, Df?et calculerf?(x)) Exercice 20.7Calculer la dérivée énième de la fonctionfdéfinie parf(x) =?x2+x+ 1?e-x Exercice 20.8On considère la suite(un)ndéfinie paru0??0,4 3 ?et?n?N, u n+1=1 3 ?4-u2 n

Justifier rapidement que?n?N, u

n??0,4 3 A l"aide de l"inégalité des accroissements finis, montrer que(u n)nconverge vers1. Exercice 20.9Calculer la dérivée énième de1n!x n(1 +xn).

Exercice 20.10Soitfdéfinie surRpar

?x?R,f(x) =ln?1 +x

2?ln(x)

(x-1)

Peut-on prolongerfen une fonction continue sur l"intervalle[0,+∞[? Le prolongement obtenu est-il dérivable en

x= 0? Exercice 20.11SoitP?R[X],on définitfparf(x) =P?11-x? e 1

1-x, montrer quef?(x) =Q?11-x?

e 1 1-x oùQ?R[X]. Quelle relation existe-t-il entrePetQ? (voir aussi l"exercice 20.28)

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 20. DÉRIVATION

Exercice 20.12Soientfetgdéfinies parf(x) = cosxetg(x) =xsinx,montrer que lorsque les courbes représen-

tatives defet degse coupents les tangentes au point d"intersection sont perpendiculaires.

Exercice 20.13Soith:R-→Rdéfinie par?x?R,h(x) = (x-E(x)), etudier la dérivabilité degdéfinie surR

parg(x) =h(x)(h(x)-1).

2Les techniques

Exercice 20.14Soitf(x) =x2sin?1x?

. Peut-on prolongerfen une fonction continue surR?

Le prolongement est-il dérivable surR? Si oui, donner l"expression de la dérivée et préciser s"il est de classeC

1surR (i.e. la dérivée est-elle continue surR?)

Exercice 20.15La fonctionfdéfinie parf(x) = cos(⎷x)est-elle dérivable enx= 0? Si oui, est-elle de classeC1?

Exercice 20.16Soitfdéfinie parf(x) = arctan?

1 +1x2

etf(0) =π

2,fest-elleC

1surR?

Exercice 20.17Calculer la dérivée énième def(x) =xn(1 +x)n.

En considérant le coefficient dex

n,en déduire une expression simple de n? k=0 ?Ckn?2et montrer que n? k=0

2k?Ckn?2=

n? k=0

CknCkn+k

Exercice 20.18Soitfcontinue et dérivable surR+telle quef(0) =f?(0) = 0.

1. On définit?par?(0) = 0et?(x) =f(x)

xsix?= 0.Etudier la continuité de?surR+.

2. On suppose qu"il existea >0tel quef(a) = 0. Montrer qu"il existec >0tel que la tangente au point d"abscisse

cpasse par l"origine du repère.

3. Question(?): Montrer le même résultat si on remplace l"hypothèse?a >0, f(a) = 0par?f(1) = 1

f ?(1) = 0

Exercice 20.19On considère la fonctionf(x) =11 +x2, cette fonction est clairement de classeC∞surR.

1. Montrer par récurrence qu"il existe un polynômeP

n(X)tel que, ?x?R, f (n)(x) =Pn(x) (1 +x2)n+1 et que P n+1(x) =?1 +x2?P?n(x)-2(n+ 1)xPn(x)

2. En dérivantf, on constate que?x?R,?1 +x

2?f?(x)+2xf(x) = 0. En utilisant la formule de Leibniz sur cette

égalité que l"on dériveranfois, établir que P n+1(x) + 2(n+ 1)xPn(x) +n(n+ 1)?1 +x2?P n-1(x) = 0

En déduire que

P ?n(x) =-n(n+ 1)Pn-1(x) Exercice 20.20Soitα?]0,1[, pour tout entiern >0,on poseun= n? k=1 1 kα -2/19-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 20. DÉRIVATION2. LES TECHNIQUES

1. A l"aide de l"inégalité des accroissements finis, prouverque

?k?N

2. En déduire un encadrement de1kαpourk≥2

3. En déduire un encadrement deu

npuis un équivalent.

4. Application : donner un équivalent de1 +

1⎷2+1⎷3+...+1⎷nquandntend vers+∞.

Exercice 20.21Calcul de?n

k=0k?n k? akbn-k

1. Soitα?R, calculer la dérivée k-ième defα(x) =xeαx.

2. Soient(a,b)?R

2,en écrivant quefa+b(x) =fa(x)ebxexprimerf(n)

a+b(x)en fonction des dérivée k-ième defa.

3. En déduire la valeur de

n? k=0 k?n k? akbn-k

Exercice 20.22Soitf: [a,b]→Rune fonction continue et strictement positive, dérivable sur]a,b[.Montrer qu"il

existec?]a,b[tel que f(b) f(a)=e (b-a)f?(c) f(c) Peut-on remplacer l"hypothèse positive sur[a,b]par non nulle sur[a,b]? Exercice 20.23Trouver toutes les fonctions dérivables en0et telles que ?(x,y)?R

2,f(x+y) =f(x) +f(y) + 2xy

Exercice 20.24Soitf(x) = (x-1)

1 x-1, peut on prolongerfen une fonction continue surR? Le prolongement obtenu est-il dérivable enx= 1? Question ++ : La dérivée obtenue est-elle continue enx= 1? Exercice 20.25Soitfde classeC1sur[a,b]à valeurs dansRtelle quef?(b)(f(b)-f(a))<0. Montrer quef? s"annule sur]a,b[.

Exercice 20.26Soitfdérivable sur[a,+∞[telle quef?(x)-----→x→+∞0,montrer quef(x)x-----→x→+∞0.

Exercice 20.27On suppose connu l"existence (et l"unicité) d"un polynômeTntel que?θ?R,Tn(cosθ) = cos(nθ).

Montrer queT

nest solution de l"équation différentielle ?x

2-1?y??+xy?=n2y

Exercice 20.28Soitfla fonction définie surIparf(x) =11-xe 1 1-x.

1. Prouver par récurrence que, pour tout entier natureln,il existe un polynômeP

ntel que : f (n)(x) =Pn ?1 1-x? e 1

1-xpour tout réelxappartenant àI.

La démonstration permet d"exprimerP

n+1(X)en fonction dePn(X), P?n(X)etX.Expliciter cette relation.

2. PréciserP

0,P1,P2etP3.

3. En dérivantnfois les deux membres de l"équation(E),prouver que pour tout entier positifn:

P n+1(X) =?(2n+ 1)X+X2?P n(X)-n2X2Pn-1(X) -3/19-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 20. DÉRIVATION

Exercice 20.29SoitP?R[X]scindé à racines simples. Montrer quePne peut avoir deux coefficients consécutifs

nuls (de degré inférieur au degré deP).

Exercice 20.30

1. Soit?définie au voisinage de0telle que?(x)---→x→00,montrer

?ε >0,?N?N,n≥N=?? ?n? k=0 k n2??kn2

Que peut-on en déduire?

2. Soitf: [0,1]-→Rdérivable en0, étudier la suite(u

n)définie par u n= n? k=0 f?kn2

3Les exotiques

Exercice 20.31Soient(a,b)?R2etn≥2.Montrer que le polynômeXn+aX+badmet au plus trois racines réelles

distinctes.

Exercice 20.32Soitf(x) = tanx,à l"aide la relationf?= 1 +f2et de la formule de Leibniz, déterminer un

algorithme de calcul dea n=f (n)(0) n!.

Exercice 20.33Soienta < betf: [a,b]→Rune fonction continue sur[a,b],dérivable sur]a,b[.Montrer qu"il

existec?]a,b[tel que1 a-c< f ?(c)<1b-c On utilisera la fonctionF(x) = (x-a)(x-b)exp(f(x)).

4Les olympiques

Exercice 20.34Soitf: [a,b]→R, de classeC2sur[a,b]et3fois dérivables sur]a,b[. Montrer qu"il existec?]a,b[

tel que f(b) =f(a) +b-a 2(f ?(a) +f?(b))-(b-a) 3 12f (3)(c)

En déduire que?x??

0,

1⎷3

2 ?2+x2 1+x2 6

Indication : utiliserφ(t) =f(t)-f(a)-t-a

2(f?(a) +f?(t)) +(t-a)3

12KoùKest à choisir.

Exercice 20.35Résoudre l"équation

5 x+ 2x= 4x+ 3x oùx?R? f ?(x)2 -4/19-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

Chapitre 20

DÉRIVATION

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 20.1Très simple, la fonction est définie et dérivable surRprivé deskπ

2oùk?Zet

f ?(x) = cosxtanx+sinxcos2x-2sinx=sinxcos2x-sinx= sinx?1cos2x-1? sin 3x cos2x

Exercice 20.2La fonctionfest continue et dérivable surR?d"après les théorèmes généraux. Le seul problème est en

x= 0. On af(x)≂ x→0 -x 2 2

x=-x2---→x→00, ainsif(x)---→x→00. On posef(0) = 0,le prolongement est alors continue

enx= 0. On regarde alors le taux d"accroissementf(x)-f(0) x-0=1-chxx≂x→0-12. Le prolongement obtenu est donc dérivable en0et ainsi surR.

Exercice 20.3On af(x) =exlnx,on sait (croissance comparées) quexlnx---→x→00, ainsi par continuité de l"expo-

nentielle enx= 0,on ae xlnx---→x→0e0= 1. On pose doncf(0) = 1pour obtenir une fonction continue surR+(la continuité surR +découle des théorèmes généraux).On considère ensuitef(x)-f(0)x-0=e xlnx-1 x.Dee u-1≂u→0u et deu=xlnx---→ x→0,on déduit quee xlnx-1 x≂x→0 xlnx x= lnx---→x→0-∞. Le prolongement n"est pas dérivable en0, il admet cependant une tangente verticale.

Exercice 20.4On asinx---→x→00etsin1xest bornée doncf(x)---→x→00. La fonctionfest donc continue (ce qui est

une condition nécessaire). Puis f(x)-f(0) x-0=sinxxsin?1x? . Puisquesinxxa une limite finie et non nulle, sifest dérivable en0,on en déduit quesin?1 x? =1sinx x× f(x)-f(0) x-0a aussi une limite, ce qui est absurde. La fonction n"est donc pas dérivable.

Exercice 20.5Il est clair quefest continue sur]0,1[?]1,+∞[. Examinons la dérivabilité enx= 1. Une condition

nécessaire est quefsoit continue en1. On af(1) =⎷

1par définition etlimx→1-f(x) = limx→1-⎷x=⎷1 = 1et

lim

x→1+f(x) = limx→1+ax2+ 1 =a+ 1. Pour quefsoit continue enx= 1,il faut et il suffit quea= 0.

Dans ce casf(x) = 1six >1et ainsifest dérivable à droite en1avecf ?d(1) = 0. Mais sur[0,1],on af(x) =⎷x

1. LES BASIQUESCHAPITRE 20. DÉRIVATION

ainsifest dérivable à gauche en1etf?g(1) =d⎷x dx? x=1=12⎷1=12. La fonction n"est pas dérivable enx= 1. Elle présente un point anguleux.

Si maintenantf(x) =ax

2+bx+1,pour avoir la continuité on considèrelimx→1+f(x) = limx→1+ax2+bx+1 =a+b+1.

Ainsifest continue enx= 1si et seulement sib=-a.

Puis sur]1,+∞[on af(x) =ax(x-1) + 1doncf(x)-f(1) x-1=ax---→x→1ad"oùf?d(1) =a. En conclusionfest dérivable enx= 1si et seulement sia=1 2=-b. La figure suivante représente le graphe defet la tangente enx= 1(qui est d"équationy= 1 +1

2(x-1))

Exercice 20.6f(x)est définie????

1-x xest défini

2x-1?[-1,1]cararctanest définie surR.?1-x

xest défini si et seulement si 1-x x≥0etx?= 0. Le signe de1-x xest celui dex(1-x)donc positif à l"intérieur des racines de ce trinôme. En conclusion 1-x x≥0??x?]0,1]. f= ]0,1]. fest alors continue sur son domaine de définition d"après les théorèmes généraux. Pour la dérivabilité, on sait quex?→⎷ xn"est pas dérivable enx= 0et quearcsinne l"est pas enx=±1. Or 1-x x= 0??x= 1,2x-1 =-1??x= 0et2x-1 = 1??x= 1. On en déduit quefest dérivable sur Dquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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