[PDF] CCP 2017 fili`ere TSI Corrigé Modélisation

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1sur 12CCP 2017 fili`ere TSI

Corrig´e Mod´elisation

Q1) Calcul de l"acc´el´eration : on calcule le vecteur vitesse?VG2,2/0puis on le d´erive : V

G2,2/0=?

d---→O0G2 dt?0 ?VG2,2/0=?ddt(X?x0+a?x2)? 0 ?VG2,2/0=X?x0+a?d?x2 dt?0 ?VG2,2/0=X?x0+aθ2?y2

Soit :

G2,2/0=?d?VG2,2/0

dt?0 ?ΓG2,2/0=?ddt(X?x0+aθ2?y2)? 0 Or

2= 0, d"o`u :

G2,2/O=¨X?x0-aθ22?x2

Q2)Le rep`ereR0est suppos´e en translation uniforme par rapport au r´ef´erentiel terrestre, on

peut donc le supposer galil´een. J"applique le th´eor`eme de la r´esultante dynamique au solideS 2: F

1→2+?P=m?ΓG2,2/0

F

1→2=m(¨X(t)-g)?x0-maθ22?x2

En notant m la masselotte 2, on a d"apr`es le th´eor`eme des actions r´eciproques : F m/1=m(g-¨X)?x0+maθ22?x2

2sur 12

Q3) Etant donn´e que les deux roues dent´ees poss`edent le mˆeme rayon, elles tournent `a la mˆeme

vitesse dans des sens oppos´es, on a donc la relation :

2=-θ3

Q4)La r´esultante des forces centrifuges est la somme des forces centrifuges appliqu´ee `a chaque

masselotte : F cm/1=?Fc2/1+?Fc3/1 ?Fcm/1=maθ22?x2+maθ32?x3 Or d"apr`es la question 3, on aθ2=-θ3, on obtient alors : F cm/1=maθ22(?x2+?x3)

Q5)Pour que l"effort

?F cm/1reste vertical il faut que la composante selon?y1soit nulle : ?x ?x2+?x3= (cos(θ2) +cos(θ3))?x1+ (sin(θ2) +sin(θ3))?y1

Soit :sin(θ2) +sin(θ3) = 0

Q6) Pour respecter la condition de la question pr´ec´edente, il faut queθ

3etθ2soient en opposition

de phase :θ

3=θ2±π

Q7) Q8) En positionnant les masselottes en opposition de phases, cela permet de limiter la r´esonance du syst`eme.

Q9)Le centre de gravit´eG

2appartient `a l"intersection des plans de sym´etrie, il estdonc situ´e

sur l"axe (O

2,?x2)

Q10) Calcul du moment excentrique :

m e= 4ma m e=16mR 3π me≈16kg.m

3sur 12

Q11) Calcul de la force centrifuge maximale :

F max=meΩ2max

Fmax≈1.106N

Q12)Expression des vecteurs

O

OGet--→IJO:

O

OG=X(t)?x0--→IJ

O= (h-X-L)?x0

Les efforts dus au ressortkaet au ressortkbvalent : F a=-ka(X-la)?x0et?Fb=kb(h-L-lb-X)?x0 Q13) J"applique le th´eor`eme de la r´esultante statique `al"ensemble V en projection sur?x0: -k a(X-la) +kb(h-L-lb-X) +Mg+ρApLg= 0 Q14) A l"´equilibre statique on a Ω = 0 soitF e(t) = 0. En noteXsla position d"´equilibre de V, l"´equation obtenue pr´ec´edemment devient : (M+ρA pL)g-ka(Xs-la)-kb(L+Xs+lb-h) = 0 Q15) J"applique le th´eor`eme de la r´esultante dynamique `a l"ensemble V en projection sur?x 0: M t¨X=Mtg-ka(X-la) +kb(h-L-X-lb) +Fe(t) M t¨X=-ka(X-Xs)-kb(X-Xs) +Fe(t) M t¨X+ (ka+kb)(X-Xs) =Fe(t) M t¨X(t) +Kt(X-Xs) =Fe(t) Q16) Condition particuli`ere :u(t) =s(Ω)cos(Ωt)

2+ω20)s(Ω) =me

MtΩ2

s(Ω) =meΩ2

Mt(ω20-Ω2)

Q17)

4sur 12

Q18) Quand Ω augmente, sa valeur passe parω0telle ques(ω0)→ ∞: r´esonance.

En g´en´eral il y a des frottements. Solution technologiquequi permettrait de limiter la r´esonance :

utilisation de filtre?

Q19)Crˆete `a crˆete d"o`u le "2" :A

max= 2me

M=2×16

3210= 10-2m

Q20)??

Q21) ρA p∂2u ∂t2(x,t)-∂N∂x(x,t) = 0

N(x,t)

Ap=σ(x,t) =E∂u∂x

N(x,t) =EA

p∂u ∂x On remplace dans l"´equation pr´ec´edente et on obtient : ρA p∂2u ∂t2-ApE∂ 2u ∂x2= 0 c

2=Eρ

Q22) Consid´erons la masse M situ´ee au point G(x=0), les forces appliqu´ees sont : - le poids; - un seul effort normalN(0,t) =EA p?∂u ∂x ?(0,t) - la force de rappel du ressort a - la force d"excitationF e(t) On applique le PFS et le PFD et on obtient bien la relation (3) : M 2u ∂t2(0,t)-EAp∂u ∂x(0,t) +kau(0,t) =Fecos(Ωt) Consid´erons l"extr´emit´e I de masse nulle, les forces appliqu´ees sont : - un seul effort normal-N(L,t) =EA p?∂u ∂x ?(L,t) - la force de rappel du ressort b La somme des forces est nulle, on obtient la relation (4) : EA p∂u ∂x(L,t) +kb(L,t) = 0 Q23) ∂u ∂t=?(x)p?(t) =?(x)ω(-Csin(ωt) +Dcos(ωt)) 2u ∂t2=-ω2?(x)p(t) ∂u ∂x=? ?(x)p(t) =ωc? -Asin(ωcx) +Bcos(ωcx? p(t) 2u ∂x2=-ω 2 c2?(x)p(t)

Q24) On ´ecrit rapidement :

2u ∂t2(x,t)-c2∂2u ∂x2(x,t) =-w2u(x,t) +w2u(x,t) = 0. Q25) L"´egalit´e (3) permet d"´ecrire que la quantit´e

5sur 12

M∂

2u ∂t2(0,t)-EAp∂u ∂x(0,t) +kau(0,t) vaut : M ?-w

2u(0,t)?-EAp

?BW C? p(t) +kau(0,t), c"est-`a-dire : -Mw

2A(Ccos(wt) +Dsin(wt))-EApBw

c(Ccos(wt) +Dsin(wt)) + k aA(Ccos(wt) +Dsin(wt)).

En regroupant, l"´egalit´e

M 2u ∂t2(0,t)-EAp∂u ∂x(0,t) +kau(0,t) = 0

´equivant `a l"´egalit´e :

-Mw

2AC-EApBwC

c+kaAC? cos(wt) +? -Mw2AD-EApBwD c+kaAD? sin(wt) = 0. Comme cette ´egalit´e est valable pour toutt,on obtient : ?-Mw

2C+kaC?A-EApwC

cB= 0?-Mw

2D+kaD?A-EApwD

cB= 0. De mˆeme, l"´egalit´e (4) permet d"´ecrire que la quantit´e EA p∂u ∂x(L,t) +kbu(L,t) vaut : EA p -Aw csin?wLc? +Bwccos?wLc?? p(t) +kb

Acos?wL

c? +Bsin?wLc?? p(t). Cette quantit´e est donc nulle. On remplace ensuitep(t) parCcos(wt)+Dsin(wt).Et on regroupe sous la forme : (4 ?)G1cos(wt) +G2sin(wt) = 0, avec : ?G

1=?EApwBC

c+kbCA? cos?wL c -EApwAC c+kbCB? sin?wL c G

2=?EApwBD

c+kbDA? cos?wL c -EApwAD c+kbBD? sin?wL c

Comme (4

?) est valable pour toutt,on a :G1=G2= 0,ce qui donne le nouveau syst`eme, d"inconnuesAetB: EApwC csin?wL c ?+k bCcos?wL c

A+?EApwC

ccos?wL c ?+k bCsin?wL c B= 0? EApwD csin?wL c ?+k bDcos?wL c

A+?EApwD

ccos?wL c ?+k bDsin?wL c B= 0.

En posantα=w

cL,on a le syst`eme : EApwC csinα+kbCcosα?

A+?EApwC

ccosα+kbCsinα? B= 0? EApwD csinα+kbDcosα?

A+?EApwD

ccosα+kbDsinα? B= 0.

6sur 12

Q26) On sait qu"un syst`eme lin´eaire homog`ene admet des solutions non nulles si et seulement si son d´eterminant est nul. C"est-`a-dire si : ?-200α

2+ 2-20α

cosα-20αsinαsinα+ 20αcosα???? = 0.

En d´eveloppant, cela donne :

-300α

2sinα-2000α3cosα+ sinα+ 30αcosα= 0.

En posanth(α) =α(30-2000α

2)cosα+ (1-300α2)sinα,la condition est :

h(α) = 0.

Q27) On remarque que 30-2000α

2s"annule sur?

0,π2?

pourα=? 3

200et que 1-300α

2 s"annule sur?

0,π2?

pourα=? 1

300.Puis 30-2000α

2<0 sur?

?3

200,π2?

et 1-300α 2<0 sur 1

300,π2?

. Comme? 1 300 3

200et comme cosαet sinαsont strictement positifs sur

0,π

2? donc sur? 3

200,π2?

, on peut conclure queh(α)<0 pourα?? 3

200,π2?

Enfin, comme la figure (a) montre quehne s"annule pas sur? 0,? 1 300?
et est positive sur cet intervalle,h(´etant continue) s"annule au moins une fois sur? 1 300,?
3

200,intervalle stricte-

ment inclus dans

0,π

2?

Q28) La fonctionhest d´erivable surRcar elle est une combinaison lin´eaire de fonctions d´erivables

surR.Rapidement, on a pour toutα, h ?(α) = (31-6300α2)cosα+α(-630 + 2000α2)sinα.

Q29) PosonsJ=?

31

6300,?

3 200?
.La quantit´e 31-6300α

2s"annule pourα=?31

6300et est

n´egative surJ.De mˆeme, la quantit´e-630 + 2000α

2s"annule pourα=?630

2000>?

3 200et

est n´egative surJ.Commeα,cosαet sinαsont positifs surJ,la quantit´eh?(α) est n´egative

surJ.(Et mˆeme strictement n´egative sur l"int´erieur deJ.) Donchest strictement d´ecroissante

surJ.Enfin, d"apr`es l"´enonc´e, on sait queh? 31
6300?
>0 et queh? 3 200?
<0.Commeh

est continue (car c"est une combinaison lin´eaire de fonctions continues), d"apr`es le th´eor`eme des

valeurs interm´ediaires, on peut conclure :Jcontient une et une seule racine deh. Q30) Les in´egalit´es (valables pourα?I=? 1 300,?
31
6300?

α(30-2000α

2)cosα >1,1610 et (1-300α2)sinα >-0,0334

permettent d"´ecrire : ?α?I, h(α) =α(30-2000α

2)cosα+ (1-300α2)sinα >1,1610-0,0334>1.

7sur 12

Finalement, on sait d´ej`a quehs"annule enα= 0 et enα1?Jpuis est strictement positive sur ]0,α

1[,et est strictement n´egative sur?

α1,π2?

Q31) Au programme officiel, deux algorithmes sont possibles pour d´eterminer une solution ap- proch´ee d"une racine deh(α) = 0 : l"algorithme de Dichotomie et l"algorithme de Newton.Pour faire un corrig´e complet, proposons les deux.

Algorithme de Dichotomie

hest une fonction continue, posonsnun entier sup´erieur ou ´egal `a 2 fix´e eta= (2n-3)π/2,

b= (n-1)π. On sait qu"il existe un seul r´eelα n?[a,b] tel queh(αn) = 0.Leprincipe de la dichotomieconsiste `a obtenir une suite (I p)p?Nde segments emboˆıt´es, dont la longueur tend vers 0 et contenant chacun la limiteα n.En notantgpetdples bornes de ces intervalles, on dispose de deux suites adjacentes, convergeant versα n.Pour obtenir cette suite de segments emboˆıt´es, on proc`ede comme suit :

•on pose initialementg

0=min(a,b) etd0=max(a,b);

•en supposant construit le segmentI

p= [gp,dp],on posem=gp+dp

2(milieu du segment) et on

calculeh(m) : sih(m) est du signe oppos´e `ah(g p) alors il existe une racine entregpetm; on pose alorsI p+1= [gp,m],c"est-`a-diregp+1=gpetdp+1=m.Sinon, il y a une racine entremet d

p,donc on posegp+1=metdp+1=dp.´Ecrivons sous Python une fonctiondichotomie(h,a,b,epsilon) qui renvoie une valeur approch´ee

`aepsilonpr`es deα n.On suppose queaetbv´erifient les conditions plus haut. >>> def dichotomie(h,a,b,epsilon) : g, d=min(a,b), max(a,b) while d-g >2?epsilon: m= (g+d)/2 if h(m) == 0 : returnm elif h(g)?h(m)<0 : d=m else: g=m return(g+d)/2 On sort de la bouclewhiled`es qued-g <= 2?epsilon.Le milieu de [g,d] est bien `a une distance deα n(qui appartient `a ce segment) d"au plusepsilon.

Algorithme de Newton

La m´ethode de Newton consiste en la construction d"une suite (x p)p?N.Le premier termex0 est choisi?proche?deαn,solution deh(x) = 0 sur [a,b].On choisit souventx0=a.La valeurx p+1est l"intersection de la tangente `a la courbe repr´esentative dehau point d"abscisse x pavec l"axe desx.´Ecrivons une fonction Pythonnewton(h,dh,a,epsilon) qui met en oeuvre

cette m´ethode (dhest la fonction d´eriv´ee deh) et la pr´ecision?sera consid´er´ee atteinte lorsque

|h(x p)|??.

La tangente enMd"abscissex

pa pour ´equation :y=h(xp) +h?(xp)(x-xp).

Rapidement, on a :x

p+1=xp-h(xp) h?(xp).Il reste `a passer en Python. On suppose avoir rentrer les fonctionshetdh. >>> def newton(h,dh,a,epsilon) : x=a;p= 0;val=h(x) while abs(val)> epsilon: p+ = 1;x=x-val/dh(x);val=h(x) print("nombred ?it´erationsn´ecessaires: ", p);return(x)

Q32) D"apr`es plus haut,α

nv´erifianth(αn) = 0,l"ensemble des solutions (An,Bn) de (H) correspondant `aα=α npeut se mettre sous la forme? An,? -10αn+110αn A n ,o`uA n?R.

Si l"on fixeA

n= 1,on peut alors poser :

8sur 12

φn(x) = cos?αnx

L? -10αn+110αn sin?α nx L? Et donc (sachant queL= 10, d"apr`es la donn´ee fournie page 8),

1(x) = cos?0.1161x10?

-10×0.1161 +8.61610? sin?0.1161x10? = cos(0.01161x)-0.3sin(0.01161x).

Et de mˆeme,

2(x) = cos?1.6612x10?

-10×1.6612 +0.6019610? sin?1.6612x10? = cos(0.6612x)-16.55sin(0.01161x)

On remarque queφ

1est quasiment constant sur [0,10] (proche de 1) et par contreφ2?bouge?

rapidement.

Remarque: les valeurs approch´ees donn´ees sont elles logiques, en ´egard aux valeurs num´eriques

fournies page 8? On aρ= 7800, E= 2.1×10

11.Comme dans la question 21, on a vu que

c

2=E/ρ,ces valeurs donnentc= 5188.75.Si l"on remplacewpar 60 dansα=wL/c, on a

1= 0.1156 (la valeur propos´ee dans l"´enonc´e est 0.1161), puis si l"on remplacewpar 860 dans

α=wL/c, on aα

2= 1.657 (la valeur propos´ee dans l"´enonc´e est 1.6612), puis si l"on remplace

wpar 2500 dansα=wL/c, on aα

3= 4.818 (la valeur propos´ee dans l"´enonc´e est 4.7440).

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