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Universite de Rennes 12018{2019

Feuille d'exercices numero 2 : Fonctions de plusieurs variables, limites et continuite Correction de quelques exercices non traites en TD

Exercice 1

Donner l'ensemble de denition des la fonctions suivantes : f(x; y) = ln(x+y); f(x; y) =py2x2; f(x; y) =ln(expx1)px

2+y23;

f(x; y) =xx

2y2; f(x; y) =1cos(xy); f(x; y) =ln(yx2)pxy

Exercice 2

Determiner le domaine de denition et tracer les courbes de niveau pour les valeurscindiquees pour les

fonctions suivantes : f(x; y) =xyx

2+y2;c= 0;1=2;f(x; y) =x2y2;c= 0;1;f(x; y) =x2+yx+y2;c= 0;1;

f(x; y) =xyx+yxy ;c= 1;2;f(x; y) =x4+y48x2y2;c= 2;f(x; y) =xy jxyj;c=1;0;1:

Solution:

5)f(x; y) =x4+y48x2y2; c= 2

Le domaine de denition defestDf=f(x;y)2R2;8x2y26= 0g=f(x;y)2R2;(xy)26= 8g=f(x;y)2 R

2;p(xy)26=p8g=f(x;y)2R2;jxyj 6= 2p2g=R2 fjxyj= 2p2g:

Le domaine de denition defest le complementaire dansR2de la parabole d'equationjxyj= 2p2. La courbe de niveauf(x;y) = 2 est d'equationx4+y48x2y2= 2, ce qui donnex4+y4= 162x2y2qu'on ecrit

(x2+y2)2= 16, en prenant la racine carree on obtientx2+y2= 4, on reconna^t l'equation du cercle centre

en l'origine et de rayon 2:Il faudrait retirer a ce cercle les points (x;y) pour lesquelsx2y2= 8, points qui ne

sont pas dans le domaine de denition def:Les points du cercle veriant cette relation verient :x2+8x 2= 4 c-a-dx44x2+ 8 = 0 qu'on peut ecrire sous la forme (x22)2+ 4 = 0:Mais (x22)2+ 44>0, d'ou, l'equation n'a pas de solutions dansR:

Donc on ne retire aucun points, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est le cercle centre en l'origine et de rayon

2:

6)f(x; y) =xy jxyj; c=1;0;1

Le domaine de denition defestDf=R2:

Rappel :jxyj=(

xysixy (xy)sixy i) La c ourbede niv eauf(x;y) =1, est d'equationxyjxyj=1, alors sixy, on auraxyx+y=

1, ce qui entra^ne 0 =1 ce qui est absurde, donc cette partie est vide; maintenant sixy, on aura

xy+xy=1, ce qui donne 2y= 2x+ 1 c-a-dy=x+12

Ainsif(x;y) =1 est la droitey=x+12

:(dans ce cas on axy:) -2-112 2 1 1

2ii)La courb ede niv eauf(x;y) = 0, est d'equationxyjxyj= 0, alors sixy, on auraxyx+y= 0,

ce qui entra^ne 0 = 0 ce qui est toujours vrai, donc cette partie est egale a l'ensemble des points (x;y) tels

quexy; maintenant sixy, on auraxy+xy= 0, ce qui donne 2y= 2xc-a-dy=x:( qui est contenue dans la premiere partie)

Ainsif(x;y) = 0 est le demi-planxy:

1.0-0.50.00.51.0

1.0 0.5 0.0 0.5

1.0iii)La courb ede niv eauf(x;y) = 1, est d'equationxyjxyj= 1, alors sixy, on auraxyx+y= 1,

ce qui entra^ne 0 = 1 ce qui est absurde, donc cette partie est vide; maintenant sixy, on aura xy+xy= 1, ce qui donne 2y= 2x1 c-a-dy=x12 mais alorsy < x, donc pas de solution

Ainsif(x;y) = 1 est l'ensemble vide.

Exercice 3

Determiner le domaine de denition, les courbes de niveaux ac= 0;1;1;2;3 dans chacun des cas suivants :

f(x; y) =px

2+y2; f(x; y) =xy

Solution:

1.

Comme x2+y20,f(x;y) =px

2+y2est denie pour tout point (x;y)2R2, d'ou son domaine de

denitionDf=R2: (a)f(x;y) = 0 est equivalent ax=y= 0, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 0 est l'ensemblef(0;0)g: (b)f(x;y) = 1 est equivalent ax2+y2= 1, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 1 est le cercle centre en (0;0) et de rayon 1: (c)f(x;y) =1 est equivalent ax2+y2=1, qui n'a pas de solution, puisqu'un l'un est positif et l'autre negatif, ainsi la courbe de niveauf(x;y) =1 est l'ensemble vide;: (d)f(x;y) = 2 est equivalent ax2+y2= 2, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est le cercle centre en (0;0) et de rayonp2: (e)f(x;y) = 3 est equivalent ax2+y2= 3, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 3 est le cercle centre en (0;0) et de rayonp3:

2.f(x;y) =xy

est denie siy6= 0, ainsi domaine de denitionDf=f(x;y)2R2;y6= 0g=R2 fy= 0g: (a)f(x;y) = 0 est equivalent ax= 0, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 0 est l'axe desyprive de l'origine ( qui n'est pas dansDf). (b)f(x;y) = 1 est equivalent ax=y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 1 est la droite d'equaation y=xprive de l'origine. (c)f(x;y) =1 est equivalent ax=y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) =1 est la droite d'equaation y=xprive de l'origine. (d)f(x;y) = 2 est equivalent ax= 2y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est la droite d'equaation y=x2 prive de l'origine. (e)f(x;y) = 3 est equivalent ax= 3y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 3 est la droite d'equaation y=x3 prive de l'origine.

Exercice 4

Soit la fonctionf(x; y) = sinxsiny. Faire un dessin representant toutes les courbes de niveaux def:

Solution:-10-50510

10 5 0 5

10Exercice 5

Determiner les limites suivantes quand elles existent : lim (x;y)!(0;0)exp(x2+y2)1x

2+y2lim(x;y)!(0;0)sinxsinyxy

lim(x;y)!(0;0)sinxsinyx

2+y2lim(x;y)!(0;0)xjyj

Exercice 6

Pour une fonctionz=f(x; y) on denit lorsqua cela est possible : l= lim(x;y)!(a;b)f(x; y); m= limx!a(limy!bf(x; y)); n= limy!b(limx!af(x; y))

En utilisant les fonctions :

f(x; y) =x2y2x

2+y2; f(x; y) =xyx

2+y2; f(x; y) =sinxy

; f(x; y) =sinyx

ainsi que le point (a; b) = (0;0) , montrer que l'on peut rencontrer les trois situations suivantes :

{Deux de ces trois limites existent mais pas la troisieme. {Une de ces trois limites existe sans que les deux autres existent. {Les limitesmetnexistent mais sont distinctes.

Exercice 7

Etudier la continuite au point (0;0) des fonctions denies comme suit :

8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =jxy

jetf(0;0) = 1;8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =x4+y4x

2+y2etf(0;0) = 0

8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =2x2y2+ 4xy4x2+y2etf(0;0) = 3;

8(x; y)6= ((0;0);f(x; y) =ysinxy

etf(0;0) = 0:

Exercice 8

Determiner si les fonctions suivantes peuvent ^etre prolongees en l'origine : f(x; y) =x2yx

2+y2+xy; f(x; y) =x3+y3x

2+y3; f(x; y) =x2y2x

2+y2; f(x; y) =x7+x4y+x3yx

6+x3y+y3:

Solution:On rappelle que pour prolonger une fonctionfpar continuite en un point (x0;y0) il faudrait montrer

que la limite def(x;y) lorsque (x;y) tend vers (x0;y0) existe.

1.f(x;y) =x2yx

2+y2+xy:

En passant en coordonnees polaires, tout point (x;y)2R2 f(0;0)gest represente par (x;y) = (rcos;rsin) avecr=px

2+y2:Alors lim(x;y)!(0;0)x2yx

2+y2+xy=r3cossinr

2(1+cossin)=rcossin1+cossin:

On a cossin=sin(2)2

d'oujcossinj 12 et par suite cossin1 + cossin cossin1 jcossinj 1112
= 2:

Alors lim

r!0rcossin1+cossinlimr!02r= 0 on en deduit que lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = lim(x;y)!(0;0)x 2yx

2+y2+xy= limr!0rcossin1 + cossin= 0

doncfadmet un prolongement par continuite en (0;0) parf(0;0) = 0:

2.f(x;y) =x3+y3x

2+y3: En considerant les cheminsx= 0 puisy= 0 on aura, limx!0f(x;0) = limx!0x3x

2= limx!0x= 0

et lim y!0f(0;y) = limy!0y3y

3= limy!01 = 1, comme ces deux limites sont dierentes, la fonction

f(x;y) =x3+y3x

2+y3n'a pas de limite en (0;0), par suite elle n'admet pas de prolongement par continuite en

l'origine.

3.f(x;y) =x2y2x

2+y2

On a lim

x!0f(x;x) = limx!0x2x2x

2+x2= limx!00 = 0 et limx!0f(x;0) = limx!0x2x

2= limy!01 = 1,

comme ces deux limites sont dierentes, la fonctionf(x;y) =x2y2x

2+y2n'a pas de limite en (0;0), par suite

elle n'admet pas de prolongement par continuite en en l'origine.

4.f(x;y) =x7+x4y+x3yx

6+x3y+y3:

En considerant les cheminsx= 0 puis la paraboley=x2on aura, limx!0f(x;0) = limx!0x3x 2= lim x!0x= 0 On a limx!0f(x;0) = limx!0x7x

6= limx!0x= 0 et lim(x;y)!(0;0)

y=x2f(x;y) = limx!0f(x;x2) = lim x!0x7+x6+x5x

6+x5+x6= limx!0x5(x2+x+1)x

5(2x+1)= limx!0x2+x+12x+1= 1, comme ces deux limites sont dierentes, la

fonctionf(x;y) =x7+x4y+x3yx

6+x3y+y3n'a pas de limite en (0;0), par suite elle n'admet pas de prolongement par

continuite en l'origine.

Exercice 9

Soit la fonctionfdenie comme suit :

f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =( xy x2y2x

2+y2si (x; y)6= (0;0) ;

0 si (x; y) = 0:

Etudier la continuite de cette fonction.

Exercice 10

Comment faut il choisir le nombre reelpour que la fonction denie comme suit : f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =(

1cospx

2+y2x

2+y2si (x; y)6= (0;0) ;

si (x; y) = 0: soit continue?

Exercice 11

Montrer que la fonction denie comme suit :

f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =( x4y(yx2)siy(yx2)6= 0;

0 siy(yx2) = 0:

n'est pas continue en l'origine mais que ses restrictions a toute droite passant par (0;0) sont continues.

Solution:Le but de l'exercice est de souligner qu'il ne sut pas de montrer que la restriction d'une fonction

a toute droite est continue en un point pour deduire qu'elle est continue en ce point. 1. Si on restrein tfa la droitey=x, on auraf(x;x) =x4x(xx2)=x4x(xx2)=x2(x), alors lim (x;y)!(0;0) y=xf(x;y) = limx!0x

2(x)= 0 =f(0;0):

Si on restreintfa la droite, a l'xe desy,x= 0, on auraf(0;y) =0y(y0)= 0, ainsi lim (x;y)!(0;0) x=0f(x;y) = lim y!00 = 0 =f(0;0): On a donc la restriction defa toute droite est continue en (0;0): 2. Mais, si on consid erela par aboley= 2x2, on af(x;2x2) =x42x2(2x2x2)=x42x2(2x2x2)=x42x4=12 ;d'ou lim (x;y)!(0;0) y=2x2f(x;y) = limx!0f(x;2x2) = limx!012 =12

6=f(0;0):D'oufn'est pas continue en (0;0):

Exercice 12

Pour chacune des fonctions suivantes denies sur un sous ensemble deR2, a valeurs dansR, donner son domaine de denition et dire en le justiant si elle admet ou non un prolongement continu surR2: f

1(x; y) =x+yx

2+y2;f2(x; y) =yx

2exp(jyjx

2);f3(x; y) = (x5y)sin(xx

2y2)

Solution:On rappelle que pour prolonger une fonctionfpar continuite en un point (x0;y0) il faudrait montrer

que la limite def(x;y) lorsque (x;y) tend vers (x0;y0) d existe.

1.f1(x;y) =x+yx

2+y2est denie six2+y26= 0 ce qui equivaut a (x;y)6= (0;0), ainsi son domaine de denition

estDf1=R2 f(0;0)g: La fonctionf1(x;y) est continue surDf1=R2 f(0;0)g, car c'est le quotient de deux polyn^omes ( et le denominateur ne s'annule pas).

Maintenant, on considere l'origine (0;0).

Le long de la droitey= 0, onf(x;0) =xx

2=1x , mais comme limx!01x =1; f(x;y) n'a donc pas de limite en (0;0), ainsifn'admet pas de prolongement continu surR2:

2.f2(x;y) =yx

2exp(jyjx

2) est denie six6= 0, ainsi son domaine de denition estDf2=R2f(0;y);y2Rg:

( le plan prive de laxe desy) La fonctionf2(x;y) est continue surDf2, car c'est produit et composition de fonctions continues.

Il reste a etudier l'existence de la limite en un point qui est hors du domaineDf2c-a-d un point (0;y0):

(a)

1er cas : y06= 0

Dans ce cas (x;y)!(0;y0) entra^nejyjx

2!+1, on aura alors en posantt=jyjx

2 lim (x;y)!(0;y0)jf2(x;y)j= lim(x;y)!(0;y0)jyjx

2exp(jyjx

2) = limt!+1tet= 0, par le theoreme des puissances

comparees. Ainsi lim (x;y)!(0;y0)f2(x;y) = 0 et doncf2admet un prolongement par continuite en (0;y0) en posantf2(0;y0) = 0: (b)

2nd cas : y0= 0

Le long du cheminy=x2on af2(x;x2) =x2x

2exp(x2x

2) =e1, d'ou lim(x;y)!(0;y0)f2(x;y) =e1

et le long du cheminy=x3on af2(x;x3) =x3x

2exp(x2jxjx

2) =xexp(jxj),

d'ou lim (x;y)!(0;0)f2(x;y) = limx!0xexp(jxj) = 0:Commee16= 0;la fonctionf2(x;y) n'a pas de limite en (0;0), at par suitef2n'admet pas pas de prolongement continu sur (0;0): En conclusion,f2admet un prolongement par contnuite surR2 f(0;0)g, mais pas surR2:

3.f3(x;y) = (x5y)sin(xx

2y2) est denie six2y26= 0, commex2y2= (xy)(x+y) = 0 est la reunion

des droites d'equationy=xety=x;on en deduit que le domaine de denition def3est le plan prive des droitesy=xety=xc-a-dDf3=R2 f(x;y)2R2;x=youy=xg: La fonctionf3(x;y) est continue surDf3, car c'est produit et composition de fonctions continues.

Il reste a etudier l'existence de la limite en un point qui est hors du domaineDf3c-a-d un point du type

(x0;x0) ou (x0;x0): (a)

1er cas : x0= 0 c-a-d (x0;y0) = (0;0):

On ajf3(x;y)j=(x5y)sinxx

2y2=j(x5y)jsinxx

2y2 j(x5y)j, carsinxx

2y21:

Puisque lim

(x;y)!(0;0)j(x5y)j=j00j= 0, le theoreme des gendarmes permet de conclure que lim (x;y)!(0;0)f3(x;y) = 0 et doncf3admet un prolongement par continuite en (0;0) en posant f

3(0;0) = 0:

(b)

2nd cas : x06= 0 et (x0;y0) = (x0;x0):

Dans ce cas on a lim

(x;y)!(x0;x0)(x5y) =x05x0=4x06= 0 etxx

2y2n'a pas de limite, on en

deduit quef3(x;y) = (x5y)sinxx

2y2n'a pas de limite en (x0;x0):

(c)

3e cas : x06= 0 et (x0;y0) = (x0;x0):

Dans ce cas on a lim

(x;y)!(x0;x0)(x5y) =x0+ 5x0= 6x06= 0 etxx

2y2n'a pas de limite, on en

deduit quef3(x;y) = (x5y)sin(xx

2y2) n'a pas de limite en (x0;x0):

En conclusion,f3admet un prolongement par continuite surDf3[ f(0;0)g, mais pas surR2:

Exercice 13

On considere les fonctions denie deR2dansRsuivantes : f(x; y) = sup(x2 +jyj;y1 +jxj);g(x; y) = inf(x4yjxj+ 4y2;xy4jyj+ 4x2)

Sont elles continues?

Solution:On peut exprimer les fonctions sup et inf de deux fonctionFetGpar les formules sup(F;G)(x;y) =F(x;y) +G(x;y)2 +jF(x;y)G(x)j2 inf(F;G)(x;y) =F(x;y) +G(x;y)2 jF(x;y)G(x;y)j2 On en deduit que siFetGsont continues alors les fonctions sup(F;G) et inf(F;G) sont continues. 1. les f onctions x2+jyjety1+jxjsont denies et continues surR2comme quotients de fonctions continues, d'ou f(x; y) = sup(x2+jyj;y1+jxj) est denie et continue surR2: 2. les fonctions x4yjxj+4y2etxy4jyj+4x2sont denies et continues surR2comme quotients de fonctions continues, d'oug(x; y) = inf(x4yjxj+4y2;xy4jyj+4x2) est denie et continue surR2:quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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