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Graphes Orientés

1. Définitionsp2

2. Exercice 1p3

3. Exercice 2p3

Graphes Orientés

1. Définitions

. Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont orientées (c'est à dire : on ne peut parcourir les arêtes

que dans un sens).

Exemple :

. Une boucle est une arête orientée dont l'origine et l'extrémité sont confondues.

Exemple

. Matrice associée à une graphe orienté On numérote les sommets suivant l'ordre alphabétique .

Pour le premier exemple :

M=(0111

0011 0000

0010)a12=1 1èreligne et 2ème colonne

car il y a une arête orientée de A vers B a21=0 2ème ligne et 1ère colonne car il n'existe pas d'arête orientée de B vers A. La matrice associée à un graphe orienté n'est pas nécessairement symétrique.

Pour le deuxième exemple

M= (110 001

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2. Exercice 1

Un club de tennis doit sélectionner deux joueurs parmi quatre pour représenter le club à un tournoi régional.

Les quatre joueurs sont notés : A ; B ; C et D.

Pour réaliser la sélection le club organise des matchs : chaque joueur rencontre les trois autres.

Tout match gagné donne un point, tout match perdu enlève un point. Les joueurs sélectionnés sont les joueurs ayant obtenus le plus grand nombre de points. On donne le résultat sous la forme d'un graphe orienté.

Remarque :

Une flèche orientée de A vers B indique que le joueur A a battu le joueur B.

Conséquence

Le joueur A a gagné 3 matchs donc 3 points.

Le joueur B a gagné 2 matchs et perdu 1 match donc 1 point.

Le joueur C a perdu 3 matchs donc -3 points.

Le joueur D a gagné 1 match et perdu 2 matchs donc -1 point.

Les joueurs A et B sont donc sélectionnés.

3. Exercice 2 ( sujet bac Liban mai 2006)

1. Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées.

On modélise les bancs par les sommets A, B, C, D,E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous :

Graphe G

Graphes Orientés

a. On désire peindre les bancs de façon que deux bancs reliés par une allée soient toujours de couleurs diffé-

rentes. Donner un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires et justifier.

Déterminer ce nombre.

b. Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée ?

2. Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d'instaurer

un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autre reste à double sens. Par exemple la

circulation dans l'allée située entre les bancs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la

circulation dans l'allée située entre les bancs A et B ne porra se faire que de A vers B. le graphe G' ci-dessous

modélise cette nouvelle situation :

Graphe G'

a. Donner la matrice M associée au graphe G'. (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique).

b. On donne M5=(169610

457115

466115

1510610

655142)Combien ya-t-il de chemins de longuer 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B ?

Les donner tous.

c. Montrer qu'il existe un seul cycle de longueur 5 passant par A.

Quel est ce cycle ?

En est-il de même pour le sommet B ?

CORRECTION

1. Les sommets B et D sont de degré 3 et les sommets A, C et E sont de degré 2.

Δ=3

Le nombre chromatique est inférieur ou égal à Δ+1=4.

Si on considère le sous graphe B ; C ; D, ce sous graphe est complet, donc le nombre chromatique est supé-

rieur ou égal à 3.

Conclusion

Graphes Orientés

Le nombre chromatique est compris entre 3 et 4.

Pour le déterminer, on colorie le graphe G en utilisant l'algorithme de coloration. Liste ordonnée des sommets : B ; D ; A ; C ; E Liste ordonnée des couleurs : Rouge ; Vert ; Jaune . . .

On a déterminé une coloration du graphe contenant 3 couleurs, donc le nombre chromatique est égal à 3.

b. Il y a deux et seulement 2 sommets de degré impair, le théorème d'Euler permet d'affirmer qu'il existe au

moins une chaîne eulérienne c'est à dire on peut parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois

par la même allée.

Exemple de chaîne eulérienne : BDEABCD.

2.a. M=

(01001 00110
01010
00101

10010)b. Le cefficient

a42=5 dans M5 donc il y a 5 chemins de longueur 5 reliant D en B. DEDEAB DEAEAB DCDEAB DCBDCB DEABCB

c. Le coefficient a11=1 dans M5 donc il y a une seule chaîne fermée de longueur 5 d'origine et d'extrémité A.

On détermine cette chaîne ABCDEA et cette chaîne est un cycle de longueur 5.

Remarque

Tout cycle de longueur 5 passant par A est une chaîne fermée de longueur 5 d'origine et d'extrémité A.

Conclusion

Il existe un seul cycle de longueue 5 passant par A.

Le coefficient a22=5 dans M5 donc il existe 5 chaînes fermées de longueur 5 d'origine et d'extrémité B.

On détermine ces 5 chaînes.

BCDEAB cette chaîne est un cycle.

BCBDCB cette chaîne n'est pas un cycle, elle contient deux fois l'arête CB.

BDEDCB cette chaîne est un cycle .

Graphes Orientés

BDCDCB cette chaîne n'est pas un cycle, elle contient deux fois l'arête DC. BDCBCB cette chaîne n'est pas un cycle, elle contient deux fois l'arêteCB.

Conclusion

Il existe deux cycles de longueur 5 passant par B.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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1. Définitionsp2

2. Exercice 1p3

3. Exercice 2p3

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1. Définitions

Exemple :

Exemple

Pour le premier exemple :

M=(0111

0010)a12=1 1èreligne et 2ème colonne

Pour le deuxième exemple

Graphes Orientés

2. Exercice 1

Remarque :

Conséquence

Le joueur A a gagné 3 matchs donc 3 points.

Le joueur C a perdu 3 matchs donc -3 points.

Les joueurs A et B sont donc sélectionnés.

3. Exercice 2 ( sujet bac Liban mai 2006)

1. Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées.

Graphe G

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Déterminer ce nombre.

2. Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d'instaurer

Graphe G'

457115

466115

1510610

655142)Combien ya-t-il de chemins de longuer 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B ?

Les donner tous.

Quel est ce cycle ?

En est-il de même pour le sommet B ?

CORRECTION

1. Les sommets B et D sont de degré 3 et les sommets A, C et E sont de degré 2.

Δ=3

Conclusion

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Le nombre chromatique est compris entre 3 et 4.

Exemple de chaîne eulérienne : BDEABCD.

2.a. M=

10010)b. Le cefficient

Remarque

Conclusion

On détermine ces 5 chaînes.

BCDEAB cette chaîne est un cycle.

BDEDCB cette chaîne est un cycle .

Graphes Orientés

Conclusion