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5 nov 2020 · En effet ces relations permettent de calculer effectivement les coecients Les formules clés pour linéariser sont les formules d'Euler :

Comment utiliser la formule d'Euler ?
Cette formule établit un lien entre analyse et trigonométrie. On déduit les formules : cos x = (e^ix + e^-^ix)/2 et sin x = (e^ix - e^-^ix)/2 et la formule de Moivre qui permet notamment de linéariser cosⁿ(x) et sinⁿ(x).
Comment faire la forme exponentielle d'un nombre complexe ?
Forme exponentielle des nombres complexes
ei?=cos?+isin?. Il ne faut pas ici s'effrayer face à l'exponentielle : il ne s'agit que d'une notation. Historiquement, cette dernière égalité est en fait plutôt connue comme la formule d'Euler.
Comment comparer deux nombres complexes ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe ¯z défini par ¯z = a ? ib. On utilise fréquemment les propriétés z = ¯z ? z ? R, et z = ?¯z ? z ? iR (c'est `a dire z imaginaire pur).
Module d'un nombre complexe
1Soit z l'affixe de M. 2Si z = a+ib, le module de z vaut z = ? a²+b²3z×z' = z × z' 4zB - zA = AB.5zM - zA = r ? AM = r ? M appartient au cercle de centre A et de rayon r.6zM - zA = zM - zB ? AM = BM ? M appartient à la médiatrice de [AB]7z × z_ = z²

DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 15:47

Compléments sur les nombres

complexes

Table des matières

1 Trigonométrie2

1.1 Formules de Moivre et d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Transformation deacosx+bsinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Racinesn-ième de l"unité4

3 Écriture complexe des transformations élémentaires5

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Écriture complexe d"une translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Écriture complexe d"une rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Écriture complexe d"une homothétie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. TRIGONOMÉTRIE

1 Trigonométrie

1.1 Formules de Moivre et d"Euler

Théorème 1 :Pour tout réelθet pour tout entier naturelnon a : Formule de Moivre :(cosθ+isinθ)n=cos(nθ) +isin(nθ) Formules d"Euler : cosθ=eiθ+e-iθ2et sinθ=eiθ-e-iθ2i

Démonstration :

La formule de Moivre vient de la propriété de la fonction exponentielle : (cosθ+isinθ)n=?eiθ?n=einθ=cos(nθ) +isin(nθ)

Les formules d"Euler viennent des relations :

?eiθ=cosθ+isinθ(1) e -iθ=cosθ-isinθ(2)???(1) + (2)cosθ=eiθ+e-iθ 2 (1)-(2)sinθ=eiθ-e-iθ 2i

1.2 Linéarisation

Le but de la linéarisation consiste à écrire cos nxou sinnxen une combinaison linéaire de cos(kx)ou sin(kx). La linéarisation permet de trouver une primitive d"une fonction circulaire. On utilise conjointement les formules d"Euler et la formule du binôme : cos nx=?eix+e-ix 2? n et sin nx=?eix-e-ix2i? n Exemple :Linéariser cos3xet sin3xpuis calculer? 2

0sin3xdx.

cos3x=?eix+e-ix2?

3 =18?e3ix+3e2ixe-ix+3eixe-2ix+e-3ix? 1 8? e3ix+3eix+3e-ix+e-3ix? =14? e3ix+e-3ix2+3×eix+e-ix2? 1

4(cos3x+3cosx)

sin3x=?eix-e-ix2i?

3 =-18i?e3ix-3e2ixe-ix+3eixe-2ix-e-3ix? =-1 8i? e3ix-3eix+3e-ix-e-3ix? =-14? e3ix-e-3ix2i-3×eix-e-ix2i? =-1

4(sin3x-3sinx) =14(3sinx-sin3x)

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. TRIGONOMÉTRIE

?π2

0sin3xdx=1

4? 2

0(3sinx-sin3x)dx=1

4? -3cosx+cos3x3? 2 0 1 4? -0+0+3-13? =23

1.3 Transformation deacosx+bsinx

Théorème 2 :Soitaetbdeux réel. On a l"égalité suivante : acosx+bsinx=Re? eix(a-ib)?

Démonstration :Il suffit de développer :

e ix(a-ib) = (cosx+isinx)(a-ib) =acosx+iasinx-ibcosx+bsinx = (acosx+bsinx) +i(asinx-bcosx)

On a donc bien : Re

?eix(a-ib)?=acosx+bsinx Exemple :Résoudre dansRl"équation cosx+⎷

3sinx=1

On détermine la forme exponentielle de 1-i⎷

3=2e-iπ3

On simplifie l"expression avec :eix(1-i⎷

3) =eix×2e-iπ3=2ei(x-π3)

En prenant la partie réelle, l"équation devient : 2cos x-π 3? =1?cos? x-π3? =12?cos? x-π3? =cosπ3

On obtient alors les deux familles de solutions :

?x-π

3=π3[2π]

x-π

3=-π3[2π]????x=2π

3[2π]

x=0[2π] Remarque :Uneautreméthodemoinséléganteconsisteàfactoriserpar⎷ a2+b2 puis à reconnaître une formule d"addition :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Comment utiliser la formule d'Euler ?

Comment faire la forme exponentielle d'un nombre complexe ?

Comment comparer deux nombres complexes ?

Module d'un nombre complexe

Compléments sur les nombres

Table des matières

1 Trigonométrie2

1.1 Formules de Moivre et d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Transformation deacosx+bsinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Racinesn-ième de l"unité4

3 Écriture complexe des transformations élémentaires5

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Écriture complexe d"une translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Écriture complexe d"une rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4 Écriture complexe d"une homothétie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. TRIGONOMÉTRIE

1 Trigonométrie

1.1 Formules de Moivre et d"Euler

Démonstration :

Les formules d"Euler viennent des relations :

1.2 Linéarisation

0sin3xdx.

cos3x=?eix+e-ix2?

4(cos3x+3cosx)

sin3x=?eix-e-ix2i?

4(sin3x-3sinx) =14(3sinx-sin3x)

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. TRIGONOMÉTRIE

0sin3xdx=1

0(3sinx-sin3x)dx=1

1.3 Transformation deacosx+bsinx

Démonstration :Il suffit de développer :

On a donc bien : Re

3sinx=1

3=2e-iπ3

On simplifie l"expression avec :eix(1-i⎷

3) =eix×2e-iπ3=2ei(x-π3)

On obtient alors les deux familles de solutions :

3=π3[2π]

3=-π3[2π]????x=2π

3[2π]

Les formules d"Euler viennent des relations :

cos3x=?eix+e-ix2?

sin3x=?eix-e-ix2i?