CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation
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CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle la variance du score des enfants de maternelle est estimée à 379 et son écart-type à 6
U.F.R. S.P.S.E.UNIVERSITE PARIS X NANTERRE
Licence de psychologie L3
PLPSTA02 Bases de la statistique inférentielle
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle
Exercice 1
1) P={enfants fréquentant la maternelle} de taille N inconnue
2) X= score au test de Pensée Créative de Torrance, variable quantitative dépendant de deux paramètres inconnus dans
P : = moyenne de X dansP = score moyen dans P et
2 = variance de X dans P = variance du score dans P (écart-type )3) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de
P de taille n=20, l'estimation ponctuelle du score moyen est donnée par la moyenne empirique observée32120426x, car 426x
20n 1ii le score moyen des enfants de maternelle est estimé à 21,3 (points de score).4) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de P de taille n=20 :
l'estimation ponctuelle biaisée de la variance ² est donnée par la variance empirique observée :
360136694537489321209794s
22,,,, car 9794x 20n 1i2 i
l'estimation ponctuelle biaisée de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé 636s
l'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance empirique observée sans biais :937192720
19321209794s
2 2 (autre calcul : 9373605261s1920s 22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé sans biais
2,69,37*s
la variance du score des enfants de maternelle est estimée à 37,9 et son écart-type à 6,2 (points de score).
Exercice 21) P={individus âgés de 20 à 30 ans} de taille N inconnue2) X= temps nécessaire pour reproduire 16 modèles (mesuré en secondes), variable quantitative de moyenne et d'écart-
type inconnus dans P3) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de P de taille n=15, l'estimation ponctuelle du temps moyen est
donnée par la moyenne empirique observée40193400156014
x, car 6014x 15n 1ii le temps moyen des individus âgés de 20 à 30 ans est estimé à 401 secondes.4) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de
P de taille n=15 :
l'estimation ponctuelle biaisée de la variance ² est donnée par la variance empirique observée :
1491086,74416087,89317093,400154085632
22s car 4085632x 15n 1i2 i
l'estimation ponctuelle biaisée de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé
10174,10014910s
l'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance empirique observée sans biais :
874109,8731014235152
1493,400154085632*
2 2 s(autre calcul : 874109,87310149100714,11415* 22ss)
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé sans biais
3,10487410*s
la variance du temps des individus âgés de 20 à 30 ans est estimée à 10 874 et son écart-type à 104,3 secondes.
2Exercice 3
1) P={patients lombalgiques} de taille N inconnue
2) X= sexe féminin, variable qualitative dichotomique (oui, non) caractérisée par un paramètre, inconnu dans
P : p = proportion de femmes dans PEchantillon de taille n=262 de X issu de
P dont 136 femmes
La proportion p de femmes dans
P est estimée par la fréquence empirique observée %,,9515190262136f la proportion de femmes chez les patients lombalgiques est estimée à 51,9%.3) X= trouble psychologique, variable qualitative dichotomique : oui, non
p = proportion de troubles psychologiques dansP , p inconnue dans P
Echantillon de taille n=262 de X issu de P dont 99 présentent un trouble psychologique La proportion (fréquence) des troubles psychologiques p dans P est estimée par la fréquence empirique observée %,,837378026299fla proportion (fréquence) des troubles psychologiques chez les patients lombalgiques est estimée à 37,8%.
Exercice 4
1) P={patients souffrant de dépression résistante traités par antidépresseur pendant 28 jours} de taille N inconnue
2) X= amélioration de l'état clinique, variable qualitative dichotomique : oui, non
p = proportion d'amélioration de l'état clinique dansP , p inconnue dans P
3) A partir d'un échantillon de taille n=1 197 de X issu de P, l'estimation ponctuelle de la proportion d'amélioration de l'état
clinique p est donnée par la fréquence empirique observée %9393,09298,019711131fla proportion d'amélioration de l'état clinique, chez les patients souffrant de dépression résistante traités par
antidépresseur pendant 28 jours, est estimée à 93%.Exercice 5
P ={adolescents français de 12 à 20 ans} de taille N inconnue X= consommation de psychotropes, variable qualitative dichotomique : oui, non p = proportion de consommateurs de psychotropes dans P = fréquence de consommation de psychotropes dansPp inconnue dans P
Echantillon de taille n=3 279 de X issu de P :
l'estimation ponctuelle de p est donnée par la fréquence empirique observée %,212102793689fla proportion d'adolescents français de 12 à 20 ans consommateurs de psychotropes est estimée à 21%.
P 1 ={adolescents français de 12 à 20 ans, de sexe féminin} de taille inconnue X= consommation de psychotropes, variable qualitative dichotomique : oui, non p 1 = proportion de consommatrices de psychotropes dans P 1 = fréquence de consommation de psychotropes dans P 1 p 1 inconnue dans P 1Echantillon de taille n
1 =1 728 de X issu de P 1 l'estimation ponctuelle de p 1 est donnée par la fréquence empirique observée %,,52727501728475f 1la proportion d'adolescentes françaises de 12 à 20 ans consommatrices de psychotropes est estimée à 27,5%.
P 2 ={adolescents français de 12 à 20 ans, de sexe masculin} de taille inconnue X= consommation de psychotropes, variable qualitative dichotomique : oui, non p 2 = proportion de consommateurs de psychotropes dans P 2 = fréquence de consommation de psychotropes dans P 2 p 2 inconnue dans P 2Echantillon de taille n
2 =3 2791 728=1 551 de X issu de P 2 l'estimation ponctuelle de p 2 est donnée par la fréquence empirique observée %,,813138055112145511475689f
2la proportion d'adolescents français garçons de 12 à 20 ans consommateurs de psychotropes est estimée à 13,8%.
3Exercice 6
1) P={personnes} de taille N inconnue
2) X= score à un inventaire d'évaluation de l'humeur, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
P score x i12345678910111213 total
effectif n i2 2 5 3 14 37 32 39 35 16 16 13 2
n i x i2 4 15 12 70 222 224 312 315 160 176 156 26n
i x i =1 694 x i21 4 9 162536496481100121144169
n i x i22 8 45 48 350 1332 1568 2496 2835 1600 1936 1872 338ni
x i2 =14 4303) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de P de taille n=216, l'estimation ponctuelle du résultat moyen est
donnée par la moyenne empirique observée872161694x, car 1694xn
216n1iii le score moyen des personnes de P est estimé à 7,8 (points de score).
4) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de
P de taille n=216 :
l'estimation ponctuelle biaisée de la variance ² est donnée par la variance empirique observée :
355618668721643014s
22,,,, car 43014xn 216n
1i2 ii
l'estimation ponctuelle biaisée de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé 3235s,,
l'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance empirique observée sans biais :
3521561144
2158721643014s
2 2 (autre calcul : 353500471s215216s 22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé sans biais
3235s,,*
la variance du score des personnes de P est estimée à 5,3 et son écart-type à 2,3 (points de score).
remarque : ici n=216 est "grand"10023,10047,1215216
1nn donc les deux estimations sans biais s* et
biaisée s sont prochesExercice 7
1) P={handicapés mentaux} de taille N inconnue
2) X= résultat à un test de dextérité manuelle, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
P3) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de P de taille n=16, l'estimation ponctuelle du résultat moyen est
donnée par la moyenne empirique observée71161136x car 1136x
16n 1ii le résultat moyen des handicapés mentaux est estimé à 71.4) A partir de l'observation d'un échantillon de X issu de
P de taille n=16 :
l'estimation ponctuelle biaisée de la variance ² est donnée par la variance empirique observée :
1104150525711683280s
22car 83280x 16n 1i2 i
l'estimation ponctuelle biaisée de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé 33317311s,,
l'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance empirique observée sans biais :
731115176
15711683280s
2 2 (autre calcul : 73111106671s1516s 22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé sans biais
4,3425,373,11*s
la variance du résultat des handicapés mentaux est estimée à 11,7 et son écart-type à 3,4.
4Exercice 8
P ={femmes norvégiennes âgées de 20 à 49 ans} de taille N inconnue X= présence d'une dépression , variable qualitative dichotomique : oui, non p = proportion de dépression dans P = fréquence de dépression dans P, p inconnue dans PEchantillon de taille n=3 103 de X issu de P
1) L'estimation ponctuelle de p est donnée par la fréquence empirique observée %4,18184,01033571f
la proportion de femmes norvégiennes âgées de 20 à 49 ans dépressives est estimée à 18,4%.
2) P 1 ={femmes norvégiennes au foyer âgées de 20 à 49 ans} de taille inconnue p 1 = proportion de dépression dans P 1 , p 1 inconnue dans P 1 , échantillon de taille n 1 =702 de X issu de P 1 l'estimation ponctuelle de p 1 est donnée par la fréquence empirique observée %8,22228,0702160f 1la proportion de femmes dépressives parmi les femmes norvégiennes au foyer âgées de 20 à 49 ans est estimée à
22,8%.
P 2={femmes norvégiennes en activité professionnelle âgées de 20 à 49 ans} de taille inconnue
p 2 = proportion de dépression dans P 2 , p 2 inconnue dans P 2 , échantillon de taille n 2 =3 103-702=2 401 de X issu de P 2 : l'estimation ponctuelle de p 2 est donnée par la fréquence empirique observée %1,17171,04012411f 2la proportion de femmes dépressives parmi les femmes norvégiennes en activité professionnelle, âgées de 20 à 49 ans
est estimée à 17,1%.Exercice 9
P ={nouveau-nés prématurés (nés avant 30 semaines de gestation)} de taille N inconnue X= score d'Apgar à 5 mn, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=70
1) L'estimation ponctuelle de est donnée par la moyenne empirique observée
1,870567x
le score d'Apgar moyen des nouveau-nés prématurés est estimé à 8,1.2) l'estimation ponctuelle biaisée de la variance ² est donnée par la variance empirique observée :
2,361,6581,681,8704817s
22l'estimation ponctuelle biaisée de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé 79,12,3s
l'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance empirique observée sans biais :
25,3693,224
691,8704817*s
2 2 (autre calcul : 25,32,301449,1s6970*s 22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé sans biais
8,125,3*s
la variance du score d'Apgar des nouveau-nés prématurés est estimée à 3,25 et son écart-type à 1,8.
Exercice 10
P ={enfants atteints d'otite moyenne avec écoulement (OME) bilatérale chronique} de taille N inconnue
X= score de Reynell, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=77
1) L'estimation ponctuelle de est donnée par la moyenne empirique observée
35,07727x
le score de Reynell moyen des enfants atteints d'OME bilatérale chronique est estimé à -0,35.
2) l'estimation ponctuelle biaisée de la variance ² est donnée par la variance empirique observée :
994,01225,01169,135,07786s
22l'estimation ponctuelle biaisée de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé 997,0994,0s
5 l'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance empirique observée sans biais :
1007,17653,76
7635,07786*s
22(autre calcul : 01,1994,001316,1s7677*s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type empirique observé sans biais
11*sla variance du score de Reynell des enfants atteints d'OME bilatérale chronique est estimée à 1 et son écart-type à 1.
Exercice 11
P={personnes de plus de 66 ans consommateurs de TCA} de taille N inconnue X= survenue d'une fracture de hanche, variable qualitative dichotomique : oui, non p = proportion de fracture de hanche dans P = fréquence de fracture de hanche dans P, p inconnue dans PEchantillon de taille n=5 838 de X issu de P
L'estimation ponctuelle de p est donnée par la fréquence empirique observée %6,25256,02557,083854931f
la fréquence des fractures de hanche chez les personnes de plus de 66 ans consommateurs de TCA est estimée à 25,6%.
Exercice 12
1) Réponses exactes : a ou g ou éventuellement f (manque de précision)
2) Réponses exactes : h si réponse a en 1) ou j si réponse g en 1) ou éventuellement f (manque de précision)
3) Réponse exacte : a
4) Réponse exacte : c
5) Réponses exactes : b ou e, ou éventuellement d (ne répond pas explicitement à la question posée)
Exercice 13
1) Réponses exactes : d ou éventuellement e (manque de précision)
2) Réponse exacte : d
3) Réponse exacte : c
4) Réponse exacte : b
5) Réponses exactes : d ou éventuellement e (ne répond pas explicitement à la question posée)
6) Réponse exacte : c car
39997,296,201342,1s3738*s (e ne répond pas à la question posée)
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