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Or ces covariances ne changent pas si on translate les indices puisque le processus est stationnaire. Exercice 5. Reprendre le processus autorégressif d'ordre 1

??? ?? ?????X(t) = 0.5t+?t+ 2cos(tπ/6), ?t≂N(0,1)??α= .1,.5,.9??? x(t) = 0.5t+?t+ 2cos(tπ/6), ?t≂N(0,1)??? ??? ?????? ?????Xn+ 0.81Xn-2=?n? ?????? ??? ?? ?????? x j=a1j2+a2j+a3+ejj= 1,···,n. ?? ???????xn+1???

ˆa1(n+ 1)2+ ˆa2(n+ 1) + ˆa3,

1700 1750 1800 1850 1900 1950

Time x

1970 1972 1974 1976 1978

Time x

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

0 500 1000 1500

Time x

1950 1952 1954 1956 1958 1960

Time x

1800 1850 1900 1950

x n=an+b+enn= 1,2,··· x n=a1np+a2np-1+···+ap+1+enn= 1,2,··· x n=tnenn= 1,2,··· x n=sn+enn= 1,2,··· ??? ???????sn= cosnπ6 ? ??? ???????T= 12? x n=s(1)n+s(2)n+tn+enn= 1,2,··· ?????(x1,···,xn)? n=1n n j=1x j

ˆσn(0) =1n

n j=1(xj-x n)2.

ˆσn(1) =1n

n-1? j=1(xj-x n)(xj+1-x n)

ˆσn(2) =1n

n-2? j=1(xj-x n)(xj+2-x n)??

ˆσn(n-1) =1n

(x1-x n)(xn-x n). ˆρn(j) =ˆσn(j)ˆσn(0), j= 0,···,h.

ˆρn(1) =?

n-1 j=1(xj-x n)(xj+1-x n)? n j=1(xj-x n)2 ?????(x1,x2,···,xn-1)?? ?? ????? ??????? ????? ????? ?? ?????(x2,x3,···,xn)? (xj,xj+1), j= 1,···,n-1, ??? ??????Nk????k= 2,···,h? (xj,xj+k), j= 1,···,n-k, X1

0 100 200 300 400 500

-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 1 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 2 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 3 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 4 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 5 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 7 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 1 8

0 2 4 6 8 10

-0.5 0.0 0.5 1.0 Lag ACF X2

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10

0.0 0.4 0.8

Lag ACF x j=aj+b j= 1,···,n.

1 + 2 +···+N=N(N+ 1)2

??1 + 22+···+N2=N(N+ 1)(2N+ 1)6 x j=acos2jπT j= 1,···,n. ????k????ˆρn(k)→cos2kπT )+ccos(πn6 ????? ?? ?? ?????zn=yn-yn-12? y ts(x)

0 20 40 60 80 100

-2 0 2 4 6 8 10 Time ts(x + rnorm(100))

0 20 40 60 80 100

-2 0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF Xt

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF

Yt=Xt-Xt-1

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.5 0.0 0.5 1.0 Lag ACF

Zt=Yt-Yt-12

1970 1972 1974 1976 1978

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF Time x

1970 1972 1974 1976 1978

-10000 -5000 0 5000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF Time x

1972 1974 1976 1978

-2000 -1000 0 1000 2000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF

ˆxn,h.

ˆxn,h= (1-α)n-1?

j=0α jxn-j.???

ˆxn,h= (1-α)xn+αˆxn-1,h???

ˆxn,h= ˆxn-1,h+ (1-α)(xn-ˆxn-1,h)???

????ˆxn,h? n-1? j=0α j(xn-j-a)2.???

ˆa(n) =1-α1-αnn-1?

j=0α jxn-j. x= (x1,...,xn) = (...,0,...,0,x1,...,xn) j=0α j(xn-j-a)2.

ˆxn,h= (1-α)n-1?

j=0α jxn-j. lim n→∞ˆa(n) = limn→∞ˆxn,h. t=1(xt+h-(1-quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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ˆa1(n+ 1)2+ ˆa2(n+ 1) + ˆa3,

1700 1750 1800 1850 1900 1950

1970 1972 1974 1976 1978

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

0 500 1000 1500

1950 1952 1954 1956 1958 1960

1800 1850 1900 1950

ˆσn(0) =1n

ˆσn(1) =1n

ˆσn(2) =1n

ˆσn(n-1) =1n

ˆρn(1) =?

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10

0.0 0.4 0.8

1 + 2 +···+N=N(N+ 1)2

0 20 40 60 80 100

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20 25 30 35

0 5 10 15 20 25 30 35

Yt=Xt-Xt-1

0 5 10 15 20 25 30 35

Zt=Yt-Yt-12

1970 1972 1974 1976 1978

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

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ˆxn,h.

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ˆxn,h= ˆxn-1,h+ (1-α)(xn-ˆxn-1,h)???

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