NOMBRES COMPLEXES Notations algébrique et exponentielle PDF

Exercice 1 : On donne 0 un réel tel que : cos( 0) = 2. ?5 et sin( 0) = 1. ?5 . Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes

Nombres complexes

Exercice 15. Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?

Exercices de mathématiques – MPSI Lycée La Martinière Monplaisir

Exercice 11 (P). Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants. 1). (?. 3 ? i. )11. 2) (

NOMBRES COMPLEXES Notations algébrique et exponentielle

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 15 septembre 2015. NOMBRES COMPLEXES. Notations algébrique et exponentielle. Exercice 1

Exercices Corrigés Corps des nombres complexes Exercice 1 – 1

Exercices Corrigés. Corps des nombres complexes. Exercice 1 –. 1) Qu'est ce que le conjugué d'un nombre complexe ? 2) Déterminer les nombres complexes z

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particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. toutes les vidéos correspondant à ce cours

Chapitre 3 Nombres complexes et trigonométrie

29 oct. 2015 Exercice 3.3.18 (). Simplifier l'expression cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10 cos 5x + 5 cos 3x + 10 cosx . Mathématiques en MPSI. © Jean- ...

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

1 Les nombres réels et complexes. 5. 1.1 Nombres rationnels . Merci `a Michele Bolognesi pour la rédaction de quelques corrigés d'exercices.

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Exercice 200. On appelle demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels que Imz > 0 et disque unité l'ensemble D des nombres complexes z

Feuille 2 Nombres complexes

Que peut-on en déduire de ? ? Exercice 2. Soit la transformation du plan complexe qui à un point d'affixe associe le point

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NOMBRES COMPLEXES

Notations alg´ebrique et exponentielle

Exercice 1 :Parmi les assertions suivantes, dites lesquelles sont vraies. 1.Re? n? i=1a i? =n? i=1Re(ai)

2.Re(i z) =-Im(z)

3.siλ?R,Im(λz) =λImz4.Im?

n? i=1a i? =n? i=1Im(ai)

5.siz?= 0, alors1

z=¯z |z|2

6.Im?z

w? =Imz Imw Exercice 2 :Mettez sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : z

1=3 + 6i

3-4i, z2=?1 +i

2-i? 2 +1-7i

4 + 3i, z3=2 + 5i

1-i+2-5i

1 +i. Exercice 3 :Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : z 1=3

1-i, z2=(1 +i)3

1-i+(1-i)4

(1-i)2, z3=(⎷

6-i⎷

2)(1 +i)

1-i.

Exercice 4 :Soitθ,θ?deux nombres r´eels.

1.Transformezeiθ+eiθ?en factorisant pareiθ+θ?

2sous la formeρeiθo`uρetθsont

des r´eels.

2.En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes

1= 1 +eiπ/3, z2=e4iπ/3-1

Exercice 5 :Soitn?N?. Simplifiez

1.z1=?

1 +i⎷

3 1-i? n

2.z2=??⎷3-1?+i?1 +⎷

3??n+??⎷

3-1?-i?1 +⎷

3??n. Exercice 6 :D´eterminez l"ensemble des entiers naturelsn?Npour lesquels (1 +i)n?R.Exercice 7 :D´eterminez l"ensemble des pointsM(z) tels quez+ ¯z=|z|

Exercice 8 :

1.D´eterminez le lieu des pointsMd"affixeszqui sont align´es avecId"affixeiet

M ?d"affixeiz.

2.Quel lieu d´ecrivent les pointsM?correspondants?

Exercice 9 :D´emontrez que pour tousuetvdansC,

|u+v|2+|u-v|2= 2 (|u|2+|v|2). Exercice 10 :Soita?C?. R´esolvez dansCl"´equationez=a

Racinesn`emes

Exercice 11 :R´esoudre dansCles ´equations suivantes :

1.z5= 1.2.z7= 1 +i⎷

3.3.z6¯z= 1.

Exercice 12 :D´eterminez les racines carr´ees de 9 + 40iet les racines quatri`emes de-7-24i.

Exercice 13 :

1.Pr´esentez sous forme exponentielleu=1 +i⎷

1-i⎷

3,etv=1-i

1 +i⎷

2.R´esoudre dansCles ´equationsz6=uetz4=v.

Exercice 14 :Soitn≥2. On noteω=e2iπ/n. Montrez quen-1? k=0ω k= (-1)n-1.

´Equations polynomiales

Exercice 15 :R´esoudre dansCles ´equations suivantes

1.z2-(2 + 3i)z+ 3i-1 = 0.

2.z6-(1 + 2i)z3+ 3(1 +i) = 0.

1 Exercice 16 :R´esoudre dansCl"´equationz3-(3 + 4i)z2-3(1-4i)z+ 9 = 0. Indication: vous v´erifierez que cette ´equation poss`ede une solution r´eelle. Exercice 17 :R´esolvez dansCles ´equations suivantes 1.?z z-1? n = 1.

2.(z+i)n= (z-i)n. Observez qu"elle admetn-1 solutions, toutes r´eelles.

Applications `a la trigonom´etrie

Exercice 18 :Soitω=e2iπ/5. On poseS=ω+ω4etT=ω2+ω3. CalculezSet

T. D´eduisez-en cos(π

5).

Exercice 19 :

1.Pr´esentez sous forme trigonom´etrique les nombres complexes

u=1

2(⎷

6-i⎷

2) etv= 1-i.

2.En d´eduire une pr´esentation trigonom´etrique deu/v, puis les valeurs exactes de

cosπ/12 et sinπ/12.

Exercice 20 :

1.Lin´earisez cos2(x)sin2(x), et cos5(x)sin(x).

2.Exprimez cos(5x) en fonction de cos(x).

Exercice 21 :Soitx?Rtel quex?≡0[2π] etn?N?.

On noteC(x) =n?

k=0cos(kx) etS(x) =n? k=0sin(kx). Montrez que

C(x) =sin?n+1

2x?cos?nx

2? sin?x 2? etS(x) =sin?n+1

2x?sin?n

2x? sin?x 2?

Exercice 22 :Soit (a,x)?R2etn?N?.

1.CalculezS1=n-1?

k=0cos(a+kx).

2.En d´eduireS2=n-1?

k=0cos 3kx. 2

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CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 1 .-1.VRAI

2.VRAI

3.VRAI1.TROPA

2.VRAI

3.TROPA?

Exercice 2 .-

z 1=-3 5+i6 5 z

2=-1-i

z 3=-3

Exercice 3 .-

1= 3⎷

22eiπ/4

2= 2⎷2e5iπ/4

3= 2⎷2e-iπ/6

Exercice 4 .-

e iθ+eiθ?= 2cosθ-θ? 2ei1

2(θ+θ?)

1 +eiπ/3=⎷

3eiπ/6

4iπ/3-1 =⎷3ei7π/6

Exercice 5 .-

1.1 +i⎷

3 = 2epi/3, 1-i=⎷

2e-iπ/4. D"o`u1 +i⎷

1-i=⎷

2e7iπ/12. Par laformule

de Moivre, il s"ensuit que z

1= (⎷

2)ne7inπ/12

2.On remarque que?⎷

3-1?+i?1+⎷

3?et?⎷

3-1?-i?1+⎷

3?sont conjugu´es.

Par les propri´et´es de la conjugaison, il en r´esulte que leurs puissancesni`emesont aussi conjugu´ees. Ainsi, z

2=??⎷

3-1?+i?1 +⎷

3??n+??⎷

3-1?-i?1 +⎷

3??n = 2Re?

3-1?+i?1 +⎷

3??n?Or

3-1?+i?1 +⎷

3?=⎷

3 +i-1 +i⎷

3 = 2(eiπ/6+eiπ/3

= 4cos(-π/4)ei5π/12= 2⎷

2ei5π/12

D"apr`es les formules de Moivre, il s"ensuit que

2= 2Re??2⎷

2?nei5nπ/12?

= 2?2⎷

2?ncos5nπ

12 Exercice 6 .-Pour caract´eriser les nombres r´eels parmi les nombres complexes, nous diposons de plusieurs strat´egies. Montrer que la partie imaginaire dezest nulle;

Montrer quezest "autoconjugu´e"z= ¯z;

Montrer qu"un argument dezest congru `a 0 moduloπ(pourz?= 0).

Ici, (1 +i)n=?⎷

2eiπ/4?

n n)neinπ/4. En particulier, comme son module est strictement positif, nous pouvons utiliser la troisi`eme caract´erisation, il vient : (1 +i)n?R??arg(1 +i)n≡0 [π]??nπ

4≡0 [π]

??n≡0 [4] Ainsi, (1 +i)nest r´eelsi et seulement siil existe un entierk?Ztel quen= 4k. En conclusion, (1 +i)nest r´eelsi et seulement sinest multiple de 4.?

Exercice 7 .-Soitz?C.

z+ ¯z=|z| ???z=x+iy,(x,y)?R2 2x=? x2+y2 ?z=x+iy,(x,y)?R2 x≥0

4x2=x2+y2

?z=x+iy,(x,y)?R2 x≥0 y

2= 3x2

?z=x+iy,(x,y)?R2 x≥0 y=⎷3xouy=-⎷ 3x 3 Ainsi, le lieu d´ecrit par les pointsM(z) est la r´eunion des deux demi-droites?y=⎷ 3x x≥0et?y=-⎷ 3x x≥0.?

Exercice 8 .-

1.Il est clair que sizest 1 oui, les pointsI,MetM?sont align´es vu que deux

d"entre eux sont confondus. Supposons d´esormais quezest un nombre complexe diff´erent de 1 et dei. En ce cas, les pointsI,MetM?sont align´essi et seulement siles vecteurs--→IMet--→IM?sont colin´eaires, ce qui se traduit en affixes par I,MetM?sont align´es??les vecteurs--→IMet--→IM?sont colin´eaires iz-i z-i?R ??i(z-1)(¯z+i)?R ??Re(z-1)(¯z+i) = 0 Ecrivonsz=x+iyen notation alg´ebrique. Il vient (z-1)(¯z+i) =?(x-1)+iy??x-i(y-1)?=?x(x-1)+y(y-1)?+i?y(x-1)+x(y-1)? Par cons´equent, les pointsIl,MetM?sont align´essi et seulement siles parties r´eelles et imaginairesxetydezv´erifient x

2+y2-x-y= 0

On reconnait ici l"´equation du cercle de centre Ω( 1 2,1

2) et de rayon⎷

22.
Conclusion :le lieu des pointsMd"affixeszqui sont align´es avecId"affixeiet M ?d"affixeizest le cercle de centre Ω(1 2,1

2) et de rayon⎷

22.

2.Comme la multiplication pari=eiπ/2s"interpr`ete g´eom´etriquement comme la

rotation de centreOet d"angleπ/2, le lieu des pointsM?est le cercle de centre ?(-1 2,1

2) et de rayon⎷

22.?
Exercice 9 .-Il s"agit d"un simple calcul. Soit (u,v)?C2. Alors |u+v|2+|u-v|2= (u+v) (u+v) + (u-v) (u-v) = (u+v)(¯u+ ¯v) + (u-v)(¯u-¯v) = 2(|u|2+|v|2) +u¯v+ ¯uv-u¯v-v¯u = 2?|u|2+|v|2? ?Exercice 10 .-Soita=ρeiαun nombre complexe non nul en notation trigo- nom´etrique (ρ >0) etz=x+iyun nombre complexe pr´esent´e sous forme alg´ebrique (x,yr´eels) fix´es. Alors e y≡α[2π]???x= lnρ il existek?Z;y=α+ 2 ??il existek?Z;z= lnρ+i(α+ 2kπ).

Ainsi,S={ln|a|+i(arga+ 2kπ);k?Z}.?

Exercice 11 .-

1.Les racines 5i`emesde 1 sontU5={1,e2iπ/5,e4iπ/5,e6iπ/5,e8iπ/5}.

2.il s"agit de d´eterminer les racines 7i`emesdea= 1 +i⎷

a= 2eiπ/3

2eiπ/21

Les racines septi`emes de 1 sont

les racines septi`emes deasont

S={{7⎷

2eiπ

21,e7⎷

27iπ

21,7⎷

2e13iπ

21,7⎷

2e19iπ

21,7⎷

2e25iπ

21,7⎷

2e31iπ

21,7⎷

2e37iπ

21}

Raisonnons par ´equivalences

6¯z= 1???|z|7= 1

6¯z= 1???|z|= 1

6¯z= 1

???|z|= 1 z

5= 1??z5= 1

Ainsi, les solutions de l"´equation propos´ee sont simplement les racines cin- qui`emes de 1.? Exercice 12 .-Nous allons chercher ces racines en notation alg´ebrique. 1. (x+iy)2= 9 + 40i?????x

2-y2= 9

2+y2= 41

xy >0?????x 2= 25 y 2= 16 xy >0 ?????x=±5 y=±4 xy >0 Les racines carr´ees de 9 + 40isont±(5 + 4i). 4

une racine carr´ee de-7-24iest 3-4i.

les racines quatri`emes de-7-24isont donc

S={2-i,1 + 2i,-2 +i,-1-2i}

Exercice 13 .-

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NOMBRES COMPLEXES

Notations alg´ebrique et exponentielle

2.Re(i z) =-Im(z)

3.siλ?R,Im(λz) =λImz4.Im?

5.siz?= 0, alors1

6.Im?z

1=3 + 6i

3-4i, z2=?1 +i

4 + 3i, z3=2 + 5i

1-i+2-5i

1-i, z2=(1 +i)3

1-i+(1-i)4

6-i⎷

2)(1 +i)

Exercice 4 :Soitθ,θ?deux nombres r´eels.

1.Transformezeiθ+eiθ?en factorisant pareiθ+θ?

2sous la formeρeiθo`uρetθsont

2.En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes

1= 1 +eiπ/3, z2=e4iπ/3-1

Exercice 5 :Soitn?N?. Simplifiez

1.z1=?

1 +i⎷

2.z2=??⎷3-1?+i?1 +⎷

3??n+??⎷

3-1?-i?1 +⎷

Exercice 8 :

1.D´eterminez le lieu des pointsMd"affixeszqui sont align´es avecId"affixeiet

2.Quel lieu d´ecrivent les pointsM?correspondants?

Exercice 9 :D´emontrez que pour tousuetvdansC,

Racinesn`emes

1.z5= 1.2.z7= 1 +i⎷

3.3.z6¯z= 1.

Exercice 13 :

1.Pr´esentez sous forme exponentielleu=1 +i⎷

1-i⎷

3,etv=1-i

1 +i⎷

2.R´esoudre dansCles ´equationsz6=uetz4=v.

´Equations polynomiales

1.z2-(2 + 3i)z+ 3i-1 = 0.

2.z6-(1 + 2i)z3+ 3(1 +i) = 0.

2.(z+i)n= (z-i)n. Observez qu"elle admetn-1 solutions, toutes r´eelles.

Applications `a la trigonom´etrie

T. D´eduisez-en cos(π

Exercice 19 :

1.Pr´esentez sous forme trigonom´etrique les nombres complexes

2(⎷

6-i⎷

2) etv= 1-i.

2.En d´eduire une pr´esentation trigonom´etrique deu/v, puis les valeurs exactes de

Exercice 20 :

1.Lin´earisez cos2(x)sin2(x), et cos5(x)sin(x).

2.Exprimez cos(5x) en fonction de cos(x).

On noteC(x) =n?

C(x) =sin?n+1

2x?cos?nx

2x?sin?n

Exercice 22 :Soit (a,x)?R2etn?N?.

1.CalculezS1=n-1?

2.En d´eduireS2=n-1?

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CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 1 .-1.VRAI

2.VRAI

3.VRAI1.TROPA

2.VRAI

3.TROPA?

Exercice 2 .-

2=-1-i

Exercice 3 .-

1= 3⎷

22eiπ/4

2= 2⎷2e5iπ/4

3= 2⎷2e-iπ/6

Exercice 4 .-

2(θ+θ?)

1 +eiπ/3=⎷

3eiπ/6

Montrer quezest "autoconjugu´e"z= ¯z;

a= 2eiπ/3

Les racines septi`emes de 1 sont

les racines septi`emes deasont