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MATHÉMATIQUES

Le polycopié regroupe les documents distribués aux élèves de TleSTI2D en cours d"année.

Janson de Sailly (année 2016-2017)

A. YALLOUZ

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017TleSTI2D

A. YALLOUZ(MATH@ES)2

TABLE DES MATIÈRES

1 Limites5

I Notion de limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

II Limites de fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

III Règles opératoires sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Dérivation, étude de fonctions15

I Tangente à une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

II Dérivées des fonctions de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

III Dérivées et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

IV Dérivée et variations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3 Compléments sur les suites géométriques21

I Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

II Limite d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

4 Primitives33

Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

I Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

II Calculs de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

5 Fonction logarithme41

Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

I Fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

II Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

III Étude de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

IV Étude d"une fonctionln(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

6 Fonction exponentielle57

I Définition et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

II Propriétés algébriques de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

III Étude de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

IV Exponentielle d"une fonction :exp(u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

7 Trigonométrie (compléments)68

8 Nombres complexes69

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

A. YALLOUZ(MATH@ES)3

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017TABLE DES MATIÈRESTleSTI2D

9 Calcul intégral73

I Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

II Intégrale d"une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

III Propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

IV Intégrale et moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

10 Lois de probabilité à densité94

I Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

II Densité de probabilité et loi de probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

III Loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

IV Loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

V Loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

VI application à la prise de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

11 Équations différentielles118

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

Contrôles125

Contrôle du 23 septembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Contrôle du 14 octobre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Contrôle du 7 novembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

Contrôle du 21 novembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Contrôle du 16 décembre 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

Contrôle du 16 janvier 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Bac blanc du 21 février 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Contrôle du 31 mars 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

Contrôle du 12 mai 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

Contrôle du 22 mai 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

A. YALLOUZ(MATH@ES)4

Chapitre 1

LIMITES

I NOTION DE LIMITE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Limite finie d"une fonction en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Limite infinie d"une fonction en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Limite finie d"une fonction en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Limite infinie d"une fonction en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II LIMITES DE FONCTIONS USUELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III RÈGLES OPÉRATOIRES SUR LES LIMITES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Limite d"une somme de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Limite d"un produit de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Limite d"un quotient de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Limite de la fonction composéeun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Fonctions polynômes ou rationnelles au voisinage de+∞ou de-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A. YALLOUZ(MATH@ES)5

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

La notion intuitive de limite permet de mettre en évidence lecomportement d"une fonction dans les cas

suivants : — Que se passe-t-il lorsque la variablexest proche d"une valeura, sans pour cela l"atteindre?

— Que se passe-t-il lorsque la variablexs"éloigne infiniment de 0 (limites en+∞ou en-∞)?

I NOTION DE LIMITE

1LIMITE FINIE D"UNE FONCTION EN UN RÉEL

Soitfune fonction définie au " voisinage » d"un réela. Dire que la fonctionfa pour limite le réel?enasignifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche dea.

On note : limx→af(x) =?

Oxy a?

2LIMITE INFINIE D"UNE FONCTION EN UN RÉEL

DÉFINITIONS

Soitfune fonction définie au " voisinage » d"un réelaà droite dea(resp. à gauche dea).

Dire que la fonctionftend vers+∞quandxtend versaavecx>a(resp. avecxintervalle]M;+∞[, oùMest un réel, contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche dea

avecx>a(resp. avecxOn note : limx→ax>af(x) = +∞ou limx→a+f(x) = +∞(resp. limx→ax On a des définitions analogues lorsque la limite defenaest-∞

Soitfune fonction définie au " voisinage » d"un réelaà droite dea(resp. à gauche dea).

Dire que la fonctionftend vers-∞quandxtend versaavecx>a(resp. avecxintervalle]-∞;M[, oùMest un réel, contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment proche dea

avecx>a(resp. avecxOn note : limx→ax>af(x) =-∞ou limx→a+f(x) =-∞(resp. limx→ax

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:ASYMPTOTE VERTICALE

Dans un repère orthogonal du plan, si limx→a+f(x) = +∞ou limx→a-f(x) = +∞ou limx→a+f(x) =-∞ou

lim

x→a-f(x) =-∞, on dit alors, que la droite d"équationx=aest une asymptote verticale à la courbe

représentative de la fonctionf.

A. YALLOUZ(MATH@ES)6

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

Limite "à droite dea»

Oxy f(x)+∞ M a a+h limx→ax>af(x) = +∞Limite "à gauche dea» Oxy f(x)+∞ M a a-h limx→axaf(x) =-∞ Oxy f(x) Ma a-h limx→ax3LIMITE FINIE D"UNE FONCTION EN L"INFINI

DÉFINITION

Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme[A;+∞[ou]-∞:A], oùAest un réel.

1. Dire que la fonctionfa pour limite le réel?en+∞signifie que tout intervalle ouvert contenant?

contient toutes les valeurs def(x)pourxsuffisamment grand.

On note : lim

x→+∞f(x) =?

2. Dire que la fonctionfa pour limite le réel?en-∞signifie que tout intervalle ouvert contenant?

contient toutes les valeurs def(x)pourx<0 suffisamment éloigné de 0.

On note : lim

x→-∞f(x) =?

A. YALLOUZ(MATH@ES)7

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE:ASYMPTOTE HORIZONTALE

Dans un repère orthogonal du plan, si limx→+∞f(x) =?(resp. limx→-∞f(x) =?), on dit alors, que la droite

d"équationy=?est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonctionfen+∞(resp.

en-∞). Oxy f(x)+∞ ?m limx→+∞f(x) =?:f(x)est aussi proche que l"on veut de?à condition de choisirx>m Oxy f(x) m limx→-∞f(x) =?:f(x)est aussi proche que l"on veut de?à condition de choisirxREMARQUE

Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonctionfpar rapport à une asymptoteD

d"équationy=?, il suffit d"étudier le signe def(x)-?

A. YALLOUZ(MATH@ES)8

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

4LIMITE INFINIE D"UNE FONCTION EN L"INFINI

Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme[A;+∞[, oùAest un réel.

1. Dire que la fonctionfa pour limite+∞en+∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs def(x)pourx suffisamment grand.

On note : limx→+∞f(x) = +∞

Oxy M m

2. Dire que la fonctionfa pour limite-∞en+∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]-∞;M[contient toutes les valeurs def(x)pourx suffisamment grand.

On note : limx→+∞f(x) =-∞

Oxy Mm Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme]-∞;A], oùAest un réel.

1. Dire que la fonctionfa pour limite+∞en-∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]M;+∞[contient toutes les valeurs def(x)pourx<0 suffisamment éloigné de 0.

On note : limx→-∞f(x) = +∞

Oxy M m

2. Dire que la fonctionfa pour limite-∞en-∞signifie que tout intervalle

ouvert de la forme]-∞;M[contient toutes les valeurs def(x)pourx<0 suffisamment éloigné de 0.

On note : limx→-∞f(x) =-∞

Oxy Mm

ASYMPTOTE OBLIQUE

Soitfune fonction définie sur un intervalle de borne+∞ou-∞, etDune droite d"équationy=ax+b.

Si limx→+∞[f(x)-(ax+b)] =0 (ou limx→-∞[f(x)-(ax+b)] =0), on dit alors que la droite d"équationy=

ax+best une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonctionfen+∞(ou en-∞).

lim x→+∞f(x) = +∞ Oxy y=ax+b limx→+∞f(x) =-∞ Oxy y=ax+b limx→-∞f(x) = +∞ Oxy y=ax+b limx→-∞f(x) =-∞ Oxy y=ax+b

REMARQUE

Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonctionfpar rapport à une asymptoteD

d"équationy=ax+b, il suffit d"étudier le signe de la différencef(x)-(ax+b)

A. YALLOUZ(MATH@ES)9

Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2016-2017

LIMITESTleSTI2D

II LIMITES DE FONCTIONS USUELLES

FONCTION CARRÉ

lim x→-∞x2= +∞; limx→+∞x2= +∞ Oxy

FONCTION CUBE

limquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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