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COURS DE MATHÉMATIQUES - PREMIÈRE S

APPLICATION ET GÉNÉRALITÉS SUR LES

FONCTIONS

Monsieur DIAGNE

1

Dernière version: 26 décembre 2021

Document diffusé via le site SUNUMATHS

21. Professeur de Mathématiques en service au lycée de Dimath

2. www.sunumaths.com

1

Table des matières

1 Rappels sur les fonctions

5

1.1 Définition, vocabulaire et notations

5

1.2 Ensemble de définition

5

1.3 Courbe représentative

6

1.4 Image directe, image réciproque

6

1.5 Restriction et prolongement

7

1.5.1 Exemple

8

2 Application8

2.1 Définition

8

2.1.1 Illustration

9

2.2 Application injective ou injection

9

2.2.1 Illustration

9

2.2.2 Exemples

1 0

2.3 Application surjective ou surjection

1 0

2.3.1 Illustration

1 0

2.3.2 Exemple

1 1

2.4 Application bijective ou bijection

1 1

2.4.1 Illustration

1 1

2.4.2 Exemple

1 2

2.5 Bijection réciproque

1 2

2.5.1 Propriétés

1 2

2.5.2 Exemples

1 2

3 Fonctions bornées

14

3.1 Fonctions minorées

1 4

3.1.1 Exemple

1 4

3.2 Fonctions majorées

1 4

3.2.1 Exemple

1 4

3.3 Fonctions bornées

1 4

3.3.1 Exemples

1 5

3.3.2 Exercice d"application

1 5

3.4 Composée de fonctions

1 5

3.4.1 Domaine de définition

1 5

3.4.2 Exemples

1 5

4 Parité et éléments de symétrie

16

4.1 Parité d"une fonction

1 6

4.1.1 Fonction paire

1 6

4.1.2 Propriétés

1 6

4.1.3 Exemple

1 6

4.1.4 Fonction impaire

1 7

4.1.5 Propriétés

1 7

4.1.6 Exemple

1 7

4.2 Éléments de symétrie

1 7 2

4.2.1 Formules de changement de repère par translation. . . . . . . . . . . . . 1 7

4.2.2 Axe de symétrie

1 8

4.2.3 Propriété

1 8

4.2.4 Propriété

1 8

4.2.5 Propriété

1 8

4.2.6 Exemple

1 8

4.2.7 Centre de symétrie

1 9

4.2.8 Propriété

1 9

4.2.9 Propriété

2 0

4.2.10 Propriété

2 0

4.2.11 Exemple

2 0

5 Fonctions associées

21

5.1 Propriété

2 1

5.2 fonction du type :x7!f(x¡a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2.1 Exemple

2 1

5.3 fonction du type :x7!f(x)Åb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

5.3.1 Exemple

2 1

5.4 fonction du type :x7!f(x¡a)Åb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

5.4.1 Exemple

2 2

5.5 fonction du type :x7!¡f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

5.5.1 Exemple

2 2

5.6 fonction du type :x7!f(¡x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

5.6.1 Exemple

2 2

5.7 fonction du type :x7!¡f(¡x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.7.1 Exemple

2 3

5.8 fonction du type :x7!jf(x)j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 3

5.9 fonction du type :x7!f(jxj). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

3

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.

COMPÉTENCES EXIGIBLES

D éterminerg raphiquementl "imagedir ecteet l "imagerécipr oqued "unepar tied "un ensemble. R econnaîtregr aphiquementu neapplicat ionbij ective.

D éterminerl "applicationré ciproque.

D étermineret r econnaitrel ar estrictiond "uneap plication D éterminerg raphiquementl "imageo ul "imagerécip roqued "uni ntervalle. C onstruire,à pa rtirde l ar eprésentationgr aphiqued "unefon ction,c ellesdes fon c- tions qui lui sont associées. D émontrerqu "unpoi ntest cent rede symétr iede l ar eprésentationg raphiqued "une fonction. D émontrerqu "uned roiteest axe de symétr iede l ar eprésentationg raphiqued "une fonction. C onstruirel ar eprésentationgr aphiquede l ar éciproqued "unefon ctionb ijective. 4

1 Rappels sur les fonctions

1.1 Définition, vocabulaire et notationsDéfinition (Fonction)

SoientAetBdeux ensemble etfune relation (une correspondance). f:A!B(lirefdéfinie deAversB) est une fonction si pour tout élément deA, on lui

associe au plus un élément deB. ( i.e 0 ou 1)SiAetBsont des parties deRalors on dit que quefest une fonction numérique d"une

variable réelle et on la note : f:A!B x7!f(x)AEy On lit : (fla fonction définie deAversBqui, à chaquex, associef(x)) Aest appeléensemble de départ,Best appeléensemble d"arrivé,xest l"antécédent dey parfetyest l"image dexparf

1.2 Ensemble de définition

Soitfune fonction numérique, le domaine de définition est l"ensemble des réelsxpour lesquels on peut calculerf(x) (i.e :f(x) existe). Autrement dit, le domaine de définition est l"ensemble des réels possédant une image parf

On le note :Df

D fAE{x2R/f(x) existe} Retenons: Soitfune fonction numérique d"une variable réelle,UetVdes polynômes :

S ifest un polynôme alorsDfAER

S if(x)AEU(x)V(x)alorsf(x) existe si et seulement siV(x)6AE0 S if(x)AEpV(x) alorsf(x)9si et seulement siV(x)¸0 S if(x)AEsU(x)V(x)alorsf(x)9si et seulement siU(x)V(x)¸0 etV(x)6AE0 S if(x)AEpU(x)pV(x)alorsf(x)9si et seulement siU(x)¸0 etV(x)È0 S if(x)AEU(x)pV(x)alorsf(x)9si et seulement siV(x)È0 S if(x)AEpU(x)§pV(x) alorsf(x)9si et seulement siU(x)¸0 etV(x)¸0 5

Exercice 1.1 (Exercice D"application)

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

1)f(x)AE13

x3Å3x2Å4xÅ5 2)g(x))AE2x2Å3xÅ4¡2x2

3)h(x)AEp¡x2Å3xÅ2 4)i(x)AEx4¡3xÅ4px¡2

5)j(x)AEqp

x

2¡1Å2x¡3 6)l(x)AEp4¡x2p1¡xRéponses:

D fAER,DgAER\{0},DhAE[1;2],DiAE]2;Å1[ D jAE"

6¡p6

3 ;Å1" D lAE[¡2;2]

1.3 Courbe représentativeDéfinition (Courbe représentative)

Dans un repère

O,~i,~j´

, l"ensemble des pointsMde coordonnées (x,f(x)) oùxdé- critDfest appelécourbe représentative(ou encore représentation graphique) de la fonctionf. On la noteCfOn dit que la courbeCfa pour équationyAEf(x)

1.4 Image directe, image réciproque

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

L "imagedir ectede l "intervalleInotéef(I) est donnée par : f(I)AE{x2I/f(x)2f(I)},f(I)AEJ L "imagerécipr oquede l "intervalleInotéef¡1(J) est donnée par : f ¡1(J)AE{x2I/yAEf(x)2J},f¡1(J)AEIExercice 1.2 (Image directe, Image réciproque)

I) Soitf(x)AEx2¡3xÅ2

1.

C alculerl "imagedir ectede 3, de 0 et de ¡1

2. C alculerl "imagerécipr oqued e12 e tcell ed e6 II) g:R!R x7!2xÅ3 1.

C alculerl "imagedir ectede IAE[¡1;5]

2.

C alculerl "imagerécipr oqued e[ ¡10;7]6

Correction:

I¡1. Calculons l"image directe de 3, de 0 et de¡1 f(¡1)AE(¡1)2¡3(¡1)Å2AE6 I¡2. Calculons l"image réciproque de 12 et celle de 6 f(x)AE12()x2¡3xÅ2AE12 ()x2¡3x¡10AE0

¢AE49,x1AE¡2,x2AE5

¡2 et 5 sont les images réciproques de 12

De même,¡1 et 4 sont les images réciproques de 6

II¡1. Calculons l"image directe deIAE[¡1;5]

On a :x2[¡1;5]

¡1·x·5

¡2·2x·10

1·2xÅ3·13

1·f(x)·13

Doncf(I)AEf([¡1;5])AE[1;13]

II¡2. Calculons l"image réciproque de [¡10;7]

On a :¡10·f(x)·7

¡10·2xÅ3·7

¡13·2x·4

132

·x·2

Doncf¡1([¡10;7])AE·

¡132

;2¸

1.5 Restriction et prolongementDéfinition (Restriction et prolongement)

Soitfune fonction de l"ensembleAvers un ensembleBetCune partie non vide de l"ensemble de définition def. La restriction defàCest la fonctiongtelle que : g:C!B x7!f(x)gest une restriction defàCet est notéegjI fest un prolongement degàA

C½Aet8x2C,g(x)AEf(x)

7

1.5.1 Exemple

: Soit la fonctionfdeRversRdéfinie par :f(x)AExjxj.

La restriction defàR¡est la fonction

g:R¡!R x7!¡x2Exercice 1.3 (Exercice d"application)

1. Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x)AEj6¡2xj. Définir la restrictiongde la fonc-

tionfà [3;Å1[

2. Soit la fonctionh:R!Rdéfinie parx7!1x

. Définir la restrictionfde la fonctionh

à ]¡1;0[Correction

1. Écrivonsfsans le symbole de la valeur absolue

On pose :f(x)AE0AE)j6¡2xjAE0AE)6¡2xAE0AE)xAE3x

6¡2xf(x)AEj6¡2xj¡13Å1

Å0¡

f(x)AE6¡2x0f(x)AE2x¡6Soitgla fonction définie sur [3;Å1[ parg(x)AE2x¡6.

8x2[3;Å1[,g(x)AEf(x) doncgestune restriction de fà [3;Å1[

2.

La fonctiong:]¡1,0[!R

x7!1x est une restriction defà ]¡1,0[ etfun prolongement degàR

2 Application

2.1 DéfinitionDéfinition (Application)

Une applicationfd"un ensembleAdans un ensembleB(ou deAversB) est une correspondance qui à tout élémentxdeA, associe un et un seul élémentydeB f:A!B x7!f(x)8

2.1.1 Illustration

AAE{1;2;3;4} etBAE{a;b;c:d}f(1)AEf(4)AEb,f(2)AEcetf(3)AEd. L"image de 2 estcetba deux antécédents que sont 1 et 4Remarque 2.1 Toute application est une fonction mais la réciproque n"est pas toujours vérifiée. Une fonction est dite une application si son ensemble de départ est égal à son do- maine de définition2.2 Application injective ou injection Définition (Application injective ou injection) On dit quefest uneapplication injectiveou uneinjectionlorsque chaque élémenty deFadmetau plus(0,1) un antécédentxdansEparfPropriétés ²fest une application injective si et seulement si pour tout élémentydeF, l"équation f(x)AEyadmet zéro ou une seule solutionxdansE ²fest une injection si et seulement8x,x02E,f(x)AEf(x0)AE)xAEx0

2.2.1 Illustration9

2.2.2 Exemples

1.

S oitfl"application :

f: ]0;Å1[!R x7¡!px

Justifier quefest une injection

2.

J ustifierqu el "applicationgn"est pas injective

g:R!R x7¡!x2

Correction

1. Soitxetx02]0;Å1[,f(x)AEf(x0)AE)pxAEpxAE)xAEx0. Doncfest injective

Ou bien : Soity2R,f(x)AEy()pxAEy

siyÇ0 alors l"équation n"admet pas de solution et siy¸0 alors on a : xAEy22]0;Å1[. Doncfest injective.

2.gn"est pas injective carg(¡3)AEg(3) et¡36AE3

Ou bien : Soity2R, siy¸0 alors on a :

g(x)AEy()x2AEyAE)xAE¡pyetxAEpx2Rdoncgn"est pas une injection.

2.3 Application surjective ou surjectionDéfinition (Application surjective ou surjection)

f:E!Fest uneapplication surjectiveou unesurjectionlorsque chaque élémenty deFadmetau moinsun (1 ou plus) antécédentxdansEparfPropriétés fest une surjection si et seulement si pour touty2Fl"équationf(x)AEyadmet une ou plusieurs solutionsx2E

2.3.1 Illustration10

Méthode: Pour démontrer qu"une applicationfdeEversFest surjective : pour tout élé- mentydeF, on résout l"équation :f(x)AEyet on prouve qu"il y toujours au moins une solution dansE(ne pas oublier de vérifier qu"une solution trouvée est bien dans E).

2.3.2 Exemple

l"application g:R!RÅ x7¡!x2

En effet, poury2RÅi. ey¸0 on a :g(x)AEy,x2AEyAE)xAE¡pyetxAEpx2RExercice 2.1 (Exercice d"application)

Soit l"applicationf: définie de [0;3] vers [1;10] parf(x)AEx2Å1

Démontrer quefest une surjection.Correction

Soity2[1;10], résolvons l"équationf(x)AEy.

Commey2[1;10] donc :x2AEy¡1,xAEpy¡1 ouxAE¡py¡1. Puisquey2[1;10],1·y·10,0·y¡1·9,0·py¡1·3. Doncpy¡12[0;3].

2.4 Application bijective ou bijectionDéfinition (Application bijective ou bijection)

f:E!Fest uneapplication bijectiveou unebijectionlorsque chaque élémentyde Fadmetun et un seul antécédent(unique)xdansEparf.Propriété: On dit quefest une bijection (oufest bijective) si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

2.4.1 Illustration11

Méthode: Pour montrer qu"une applicationfdeEversFest bijective : soit on démontre

successivement qu"elle est injective puis surjective, soit on résout, pour tout élémentyde F,

l"équation :f(x)AEyet on prouve que cette équation admet une unique solutionxdans E.

2.4.2 Exemple

Démontrer que l"applicationfsuivante est une bijection f:[2;Å1[!]¡1;¡5] x7¡!1¡3x Pour touty2]¡1;¡5],f(x)AEy,1¡3xAEyAE)xAE1¡y3

¸2.

Doncx2[2;Å1[, par conséquent,fest une bijection.

2.5 Bijection réciproqueDéfinition

xdansE. La bijection réciproque defnotéef¡1, est l"application qui à chaqueyde Ffait correspondre son unique antécédentxdans E.2.5.1 Propriétés Soitfune bijection deEsurFetf¡1sa bijection réciproque. Dans le plan muni d"un

repère orthonormé, les courbes représentatives respectives defet celle def¡1sont symé-

triques par rapport à la droite d"équationyAEx(la première bissectrice).

2.5.2 Exemples

Exemple 1

Soit l"application suivante :

f:[0;Å1[![¡1;Å1[ x7!x2¡1 Démontrer quefest une bijection puis déterminer la bijection réciproque def¡1def. Préciser l"ensemble de départ et l"ensemble d"arrivée de la bijection réciproque

Exemple 2

C fest la courbe représentative d"une bijectionf. Construire la courbeCf¡1de la bijection réciproquef¡1def. 12

¡4¡3¡2¡1123

¡1123C

fCorrection Exemple 1 Soityun nombre réel quelconque appartenant à [¡1;Å1[, f(x)AEy()x2¡1AEy()x2AE1Åy, commey2[¡1;Å1[ alorsyÅ1¸0. Doncx2AE1Åy()xAE ¡p1ÅyouxAEp1Åy. On a deux valeurs dexpar contre l"une seule appartient à l"ensemble de départ.

C"est à direxAEp1Åy2[¡1;Å1[.

Donc pour touty2[¡1;Å1[, l"équationf(x)AEyadmet dans [0;Å1[ une unique solution. Nous venons de prouver que chaque élément de l"ensemble d"arrivée [¡1;Å1[ admet un antécédent unique dans l"ensemble de départ [0;Å1[. Par conséquentfest une bijection.La bijection réciproqueestf¡1:[0;Å1[![¡1;Å1[

Correction Exemple 2

C fetC¡1 fsont symétriques par rapport à la droite (D) d"équationyAEx.¡4¡3¡2¡112345

¡4¡3¡2¡1123C

fC ¡1 fyAEx13

3 Fonctions bornées

3.1 Fonctions minoréesDéfinition (Fonctions minorées)

un réelmtel que, pour toutxdeI,f(x)¸m. On dit quemest un minorant defsurIRemarque 3.1 (Minorant) Tout réelkinférieur ou égal àmest aussi un minorant defsurI. Une fonction est minorée par son minimum (s"il existe)3.1.1 Exemple

Soitf(x)AE3x

2Å18x2R,f(x)È0 doncf est minorée par0

3.2 Fonctions majoréesDéfinition (Fonctions majorées)

SoitfunefonctiondéfiniesurunintervalleI.OnditquefestmajoréesurIs"il existe un réelMtel que, pour toutxdeI,f(x)·M. On dit queMest un majorant defsurI.Remarque 3.2 (Majorant) Tout réelKsupérieur ou égal àMest aussi un majorant defsurI. Une fonction est majorée par son maximum (s"il existe)3.2.1 Exemple

Soitf(x)AE3x

2Å1. Démontrer quefest majorée par 3

Onsaitque8x2R,x2Ê0doncx2Å1Ê1)1x

2Å1É1d"où3x

2Å1É3c"estàdiref(x)É3

par conséquentf est majorée par 3

3.3 Fonctions bornéesDéfinition (Fonctions Bornées)

Soitfune fonction définie sur un intervalleI. On dit quefest bornée surIsi elle est

à la fois minorée et majorée surI.14

Remarque 3.3 (Fonctions bornées)

Sifest bornée surI, alors il existe deux réelsmetMtels que, pour toutxdeI, m·f(x)·M.3.3.1 Exemples Les fonctions cosinus et sinus définies surRsont bornées surRpar¡1 et 1. On a donc, pour toutxdeR,¡1·cos(x)·1 et¡1·sin(x)·1. La fonction carrée définie surRest minorée surRpar 0 mais n"est pas majorée surR. ]¡1;0[

La fonctionf(x)AE3x

2Å1donnée dans les exemples précédents estminorée par0 et

majorée par3 donc elle est bornée et on a : 0Éf(x)É3

3.3.2 Exercice d"applicationExercice 3.1 (Application : Fonction bornée)

Soit g la fonction définie surR\{2} par :g(x)AE¡4¡1x¡2. Démontrer quegest bornée sur [¡3;1].3.4 Composée de fonctions

Définition (Composée de fonction)

SoitE,FetGtrois ensembles. Soitfune fonction deEversFetgune fonction de FversG. La composéeg±f("grondf") est la fonction deEversGdéfinie par : g±f(x)AEg(f(x)) .3.4.1 Domaine de définition Pour que la notationg±f(x) ait un sens, il faut et il suffit quexsoit dansDfet quef(x) soit dansDg.

Mathématiquement, on note :x2Dg±f,½x2Df

f(x)2Dg

3.4.2 Exemples

Soit (x)AEx2Å1x¡1etg(x)AEpx¡2.

1.

Déter minerDg±fetDf±g

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