[PDF] OPTIQUE ONDULATOIRE Exercice 1: réflexion totale Exercice 2

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Universite Paris Diderot-Paris, EIDD Annee 2017{18

OPTIQUE ONDULATOIRE

TRAVAUX DIRIG

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TD1 Optique geometrique

Exercice 1: re

exion totale

1.Rappelez les lois de Snell-Descartes pour un angle d'incidenceiet deux

milieux d'indices optiquesn1etn2.

2.Dans le cas oun1> n2, quel est l'angleimaximum permettant d'ob-

server un rayon refracte dans le milieu 2?

3.M^eme question pourn1< n2.

4.Proposez un moyen de fabriquer une bre optique.

Exercice 2: lame a faces paralleles

Soit une lame a faces paralleles d'epaisseureet d'indice optiquenplongee dans un milieu d'indicen1. La lame forme l'imageA0d'une source ponc- tuelleA. Dans les conditions de Gauss, montrez queA0est obtenue en trans- latantAd'une quantite independante de la position deA.

Exercice 3: lentilles minces

Sur les annexes 1 et 2, les petits traits verticaux sur l'axe optique sont les foyers (objet et image) des lentilles. Une eche verticale repere l'objet. Par constructions graphiques, trouvez l'image de chaque objet. Faites gurer en pointilles les rayons, objets et images virtuels; et en traits pleins les rayons, objets et images reels. Est-ce que l'image est reelle ou virtuelle?

Inversee ou non?

Note : un objet est reel quand il se trouve avant la face d'entree du systeme optique considere. L'objet est virtuel quand il est localise apres la face d'entree du systeme optique. Un tel objet est en fait une image produite par un autre systeme optique utilise en amont. 1

Exercice 4: prisme et spectroscopie

Soit un prisme de verre d'indicenet d'angle au sommetA(Fig.). Unr'i' rA n 11 iDFigure1 {Prisme d'indicenet d'angle au sommetA. rayon lumineux penetre dans le prisme avec l'angle d'incidencei. On ap- pelleDla deviation de ce rayon lumineux par le prisme, c'est-a-dire l'angle que fait le rayon emergent avec le rayon incident.

1.Trouvez l'expression deAen fonction deretr0.

2.ExprimezDen fonction dei,i0etA.

3.Donnez les relations entreietr, puis entrei0etr0.

4.Pour quel anglei, la deviationDest minimale?

5.RelieznetAa la deviation minimaleDm?

L'indice du verre varie avec la longueur d'ondede la lumiere incidente et suit la loin() =a+b=2avecaetbdeux constantes positives.

6.ExprimezDmen fonction deA,a,bet.

7.Decrivez qualitativement ce qu'on observe a la sortie du prisme si le

faisceau incident est n et constitue de lumiere blanche (0;4m a 0;8m). 2

Exercice 5: lentille et surfaces equiphases

On considere une lentille plan-convexe eclairee par un faisceau monochro- matique parallele son axe optique. Representez les surfaces equiphases avant, dans et apres la lentille.

Exercice 6: loi de refraction de Snell-Descartes

Sur un dioptre plan separant deux milieux d'indicesn1etn2, un faisceau collimate arrive du milieu 1 avec un angle d'incidencei.

1.Representez les surfaces equiphases de part et d'autre du dioptre.

2.Pour deux rayons dierents, calculez le chemin optique entre deux plans

de phase appartenant l'un au milieu 1 et l'autre au milieu 2. Deduisez-en la loi de refraction de Snell-Descartes.

Exercice 7: onde plane

Considerons le champ electrique

E(~r;t) =~E0f(~r:~sct) (1)

ou ~E0est un vecteur constant, f est une fonction arbitraire,~sest un vecteur unitaire orthogonal a~E0~E0:~s= 0 (2) etcest la vitesse de la lumiere dans le vide c=1p 00(3)

1.Pourquoi appelle-t-ononde planele champ represente par l'Eq.1?

2.Determinez le vecteur vitesse de phase~vde l'onde.

3. A partir des equations de Maxwell dans le vide, etablissez l'equation d'onde que doit satisfaire le champ electrique~E(~r;t).

4.Veriez que le champ represente par l'Eq.1 est bien solution de l'equation

d'onde obtenue a la question precedente.

5.D'ou vient la condition de transversalite (Eq.2)?

3 Dans le cas d'une onde plane, on peut demontrer (le faire a vos heures perdues!) que le champ magnetique associe au champ electrique est B=1c ~s^~E(4)

6.Determinez le vecteur de Poynting~S(~r;t) et l'intensiteI(~r;t) de l'onde.

On peut egalement demontrer qu'une onde plane monochromatique qui se propage dans un milieu transparent d'indice optiquenpeut s'ecrire

E(~r;t) = Reh~E1expi~k:~r! ti(5)

avec ~E1un vecteur constant complexe.

7.Que representent!et~k?

8.En appelantkla norme de~k, donnez la relation de dispersionk=k(!).

4

Figure2 {Annexe 1.

5

Figure3 {Annexe 2.

6 Universite Paris Diderot-Paris, EIDD Annee 2017{18

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TD2 Transformee de Fourier

La transformee de Fourier est un outil mathematique tres utilise en phy- sique et specialement en optique ondulatoire. Par denition, la transformee de Fourier d'une fonctionfest1

F[f](s) =Z

1

1exp(i2 sv)f(v)dv(1)

et le spectre defestjF[f]j.

Exercice 1: proprietes

Dans tout cet exercice,fetgsont des fonctions a une seule variable.

1. Fonction de Dirac.Quelle est la transformee de Fourier de la fonction

(xx0) avecx0une constante?

2. Linearite.Soient deux constantes reelleset. Calculez la trans-

formee de Fourier def+ gen fonction deF[f] etF[g].

3. Changement d'echelle.En prenant >0, que vaut la transformee

de Fourier def( x) en fonction deF[f]?

4. Image d'une translatee.Calculez la transformee de Fourier deg(t

t

0) (c'est-a-dire la translatee de la fonctiong) en fonction deF[g].

5. Translation d'une image.Exprimez la transformee de Fourier de

f(x) exp(ix) en fonction deF[f].

6. Produit de convolution.Le produit de convolution defetgs'ecrit

f ? g(t) =Z 1

1f(u)g(tu)du(2)

Exprimez la transformee de Fourier def ? gen fonction deF[f] etF[g].1. la fonction doit ^etre continue par morceaux et sa norme 1 doit ^etre nie.

1

7. Transformee de Fourier inverse.Que vaut la transformee de Fou-

rier de la transformee de Fourier de la fonctionf? Deduisez-en l'expression de la transformee de Fourier inverse.

8. Produit.Quelle est la transformee de Fourier defg?

Exercice 2: signal porte

A 1 dimension

1.Soit ala fonction a une variable qui est nulle partout sauf entrea=2

eta=2 ou elle vaut 1. Calculez sa transformee de FourierF[f].

2.Comment evolueF[f] quand la largeuradiminue?

3.M^eme question poura! 1

4.Sans calcul, donnez la transformee de Fourier de la fonctionhqui est

nulle partout sauf sur le segment [b0a=2;b0+a=2] ou elle vaut 1.

A 2 dimensions

5.Soit a;bla fonction a deux variables qui est nulle partout sauf dans

la zone [a=2;a=2][b=2;b=2] ou elle vaut 1. Calculez la transformee de FourierF[g] degen appelantuetvles coordonnees dans le plan de Fourier.

6.Comment evolue cette transformee de Fourier quand les largeursaetb

augmentent ou diminuent?

7.Sans calcul, donnez la transformee de Fourier de la fonctionhqui est

nulle partout sauf pour (x;y)2[c0a=2;c0+a=2][d0b=2;d0+b=2].

Exercice 3: frequences spatiales et temporelles

Soit une fonctionfdes variables d'espacexet de tempst.

1.Quelle est l'expression mathematique du spectre defen frequences

temporelles? De quelles variables depend cette fonction? Interpretez.

2.M^emes questions mais pour le spectre defen frequences spatiales.

2

Exercice 4: des calculs premonitoires...

1. A partir des resultats obtenus dans les exercices precedents, donnez l'expression de la transformee de Fourier des fonctions suivantes oux0ety0 sont des constantes reelles et?est le produit de convolution. (a;b)? (xx0=2;yy0=2) (a;b)? (x+x0=2;y+y0=2) (a;b)? (xx0=2;yy0=2) + (a;b)? (x+x0=2;y+y0=2)

2.Calculez le module au carre de chacune des transformees de Fourier

(appele le spectre en frequences spatiales). Commentez. 3 Universite Paris Diderot-Paris, EIDD Annee 2017{18

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TD3 Diraction et interferences a deux ondes

Exercice 1: diraction a distance nie, approxi-

mation de Fresnel On eclaire sous incidence normale un trou circulaire de rayonaet de centre (x;y;z) = (0;0;0) par une onde plane electromagnetique se propa- geant dans la directionz >0. La longueur d'onde est noteeet l'amplitude de l'onde dans le plan du masque estA. On note~r=x~ex+y~ey+z~ez. 1.

Ecrivez l'expression :

| de l'amplitude complexeV(~r) du champ incident (z0). | de l'amplitude complexeV0(~) du champ juste apres le trou (z= 0+), ou~=x~ex+y~eyest le vecteur position sur l'ecran diractant. | du champ diracteVD(~R) dans le planz=Den fonction du champ V

0(~) dans l'approximation de Fresnel (champ proche) avec~R=X~ex+

Y~e yle vecteur position dans le planz=D. Ne calculez pas l'integrale!

2.Calculez l'amplitude complexe diractee en tout point de l'axe optique,

donc en tous poins (X;Y;z) = (0;0;D) avecD >0.

3.Pour quelle valeurs deDl'intensite diractee sur l'axe optique est

nulle? Calculez ces valeurs pour= 0:5m eta= 1mm. En 1819, l'Academie des sciences de Paris s'est penchee sur la question de la diraction de la lumiere. Augustin Fresnel proposa la solution ondulatoire mais la commission etait constituee de partisans de la theorie corpusculaire. Lors de l'examen des propositions, Simeon Denis Poisson, mathematicien et membre de la commission, deduisit de la theorie de Fresnel que dans cer- tains cas, le centre de l'ombre creee par un disque opaque devait ^etre aussi brillant que si il n'y avait pas de disque. Cette prediction etait en contra- diction avec le sens commun, auquel Poisson se rangeait, qui prevoyait une 1 ombre homogene ou en tout cas sans point lumineux en son centre. Curieux du resultat, Francois Arago t l'experience et decouvrit le point lumineux au centre de l'ombre. Prise au depourvu par cette preuve inattendue, la com- mission attribua le prix au jeune Fresnel.

4.Expliquez la presence du point lumineux de Poisson-Arago.

Exercice 2: diraction de Fraunhofer

1.Rappelez la condition sur la longueur d'onde, la taille de l'objet dif-

fractant et la distance d'observation pour que la gure de diraction puisse ^etre modelisee par le modele de Fraunhofer.

2.Quel montage optique permet d'etudier la diraction de Fraunhofer?

3.En appelantA(x;y) l'amplitude du champ electrique dans le plan de

l'objet diractant, donnez l'amplitudeV(X;Y) du champ electrique diracte dans les conditions de Fraunhofer. Faites appara^tre une transformee de Fou- rier dans cette expression.

4.Un faisceau collimate eclaire un ecran diractant et on observe la gure

de diraction dans le plan focal d'une lentille convergente de focalef. En uti- lisant le formalisme des transformees de Fourier et les tables 1 et 2, etablissez l'expression de l'amplitudeV(X;Y) et de l'intensiteI(X;Y) diractees par chacun des ecrans listes ci-dessous. Commentez.

Figure1 { Un trou rectangulaire

unique.

Figure2 { Une fente de hauteur

innie. 2

Figure3 { Un trou rectangulaire

translate.

Figure4 { Deux trous rectangu-

laires ecartes deL.

Exercice 3: trous d'Young, calcul direct

La Fig.5 presente le schema optique d'une experience des trous d'Young. Une sourceSest au foyer d'une lentille de focalef0. Le faisceau ainsi collimate eclaire un ecranPperce de deux trous identiques susamment petits pour se comporter comme des trous ponctuels vis a vis de la diraction. Les deux trousS1etS2sont ecartes ded=2 de part et d'autre de l'axe optique dans la directionx. Le faisceau est nalement focalise par une lentille de focalef sur un ecranEdont les coordonnees sont reperees parXetY. On suppose que les lentilles sont utilisees dans les conditions de Gauss (petits angles). Figure5 { Experience des trous d'Young dans les conditions de Fraunhofer.

1.Refaites un schema en identiant les rayons lumineux issus deS1etS2

qui interferent en un pointM(X;0) de l'ecranE. 3

2.Donnez la formule generale de l'intensite d'un champ d'interferences a

deux ondes. Vous appellerezI0l'intensite de chaque onde.

3.Quelle est la dierence de marche entre les deux chemins optiques, et

la dierence de phase associee?

4.Quelle est l'expression de l'intensite lumineuse sur l'ecran d'observation

de la Fig.5? Comparez aux resultats de l'exercice precedent.

5.Decrivez la gure d'interferences : forme des franges, positionsXmou

les interferences sont constructives, interfrangei, contrasteCdes franges.

Exercice 4: trous d'Young, coherence spatiale

1.En supposant de nouveau l'experience decrite par la Fig.5, determinez

l'intensiteI(X), le contrasteCet l'intefrangeisur l'ecran quand on deplace la source ponctuelleSd'une distancesparallelement aS1S2.

2.L'ecranPest maintenant eclaire par deux sources ponctuellesSetS0

identiques mais incoherentes entre elles.SS0est parallele aS1S2. Determinez par un raisonnement qualitatif si les franges d'interferences peuvent se brouiller sur l'ecranE. Les franges sont dites brouillees quand leur contaste est nul. Si le brouillage arrive, calculez pour quelle distances0=SS0.

3.SS0est maintenant perpendiculaire aS1S2. Comment est modiee la

gure d'interferences? Peut-il y avoir brouillage? Les sources ponctuellesSetS0sont remplacees par une source unique rectangulaire de largeuraselonxet de hauteurbselony. La source est centree sur la mediatrice deS1S2. Cette source etendue peut ^etre consideree comme une juxtaposition de sources ponctuelles incoherentes.

4.Justiez que pour observer des franges bien contrastees sur l'ecran, la

hauteurbpeut ^etre aussi grande que l'on veut alors que la largeurane doit pas ^etre trop grande.

5.Determinez l'expression de l'intensite du champ d'interferences.

6.Exprimez l'interfrangeiet le contrasteCdes interferences.

7.Par l'etude du contraste, montrez que les franges se brouillent completement

pour certaines valeurs dea. 4

Fonction Transformee de Fourier

f(x) =12Z 1

1^f(k)exp(ikx)dk^f(k) =Z

1 1

f(x)exp(ikx)dxf(xv) exp(ikv)^f(k)exp(ik0x)f(x)^f(kk0)f(x=a)jaj^f(ka)(fg)(x)^f(k)^g(k)f(x)g(x)12(^f^g)(k)^

f(x) 2f(k)(x) 11 2(k)rect(x) sinc(k=2)exp(x2=2)p2exp(k2=2) Table1 { Proprietes de la transformee de Fourier a une dimension. 5

Fonction Transformee de Fourier

f() =142ZZ ^f(k)exp(ik)dk^f(k) =ZZ

f()exp(ik)df(v) exp(ikv)^f(k)exp(ik0)f()^f(kk0)f(x=a;y=b)jabj^f(kxa;kyb)(fg)()^f(k)^g(k)f()g()142(^f^g)(k)f(x)g(y)^f(kx)^g(ky)^

f() (2)2f(k)circ(jj)2jkjJ1(jkj) Table2 { Proprietes de la transformee de Fourier a deux dimensions. 6 Universite Paris Diderot-Paris, EIDD Annee 2017{18

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TD4 interferences a deux ondes

Exercice 1: Bilentilles de Billet

On forme a l'aide d'une lentille mince convergenteL, de distance fo- calef= 50cm, de rayonR= 2cm, l'imageS0d'un point lumineuxS0situe az0= 75cm en avant deL.

1.Calculez la positionz0de l'imageS0.

On coupeLsuivant un plan passant par son axe optique en deux par- ties egales que l'on ecarte d'une distance= 1mm (Fig. 1). L'imageS0se dedouble alors enS1etS2.

Figure1 { Bilentille de Billet.

1

2.Calculez la distanceaentre les deux imagesS1etS2donnees par

chaque demi-lentille.

3.S1etS2jouent le r^ole de sources secondaires. Ou se trouvent le champ

d'interferences?

4. Cas monochromatique :la sourceS0est monochromatique. Donnez

l'expression de l'intensite lumineuseIobservee sur un ecran orthogonal a l'axe optique a la distanceDfde la bilentille. TracezI.

5. Doublet de raies :la sourceS0emet deux radiations de m^eme inten-

siteI0et de longueurs d'onde voisines0=2 = 589;0nm et0+=2 =

589;6nm. En faisant appara^tre la longueur =20=et la longueur

d'onde moyenne0, donnez la nouvelle expression de l'intensiteIsous la formeI= 2I0[1 +Ccos(:::)] avecCle contraste des franges. Est-ce que ce contraste est uniforme (independant de la position sur l'ecran)? TracezI. Ou se trouvent les concidences? Et les anticoncidences?

Exercice 2: Couche antire

et

Pour limiter les pertes par re

exion dans les instruments d'optiques, on re- couvre les lentilles d'une couche mince d'indice de refractionn0et d'epaisseur econvenablement choisis.

1.Quelles conditions doivent satisfaire le module et la phase des deux

premieres ondes re echies pour minimiser les pertes par re exion?

2.La lentille a un indice de refractionnet est eclairee en incidence nor-

male. On suppose que les coecients de transmission en amplitude entre l'air et la couche mince sont proches de 1. Montrez que la condition sur le module implique quen0=pn. Quel doit ^etre l'indice de refraction de la lentille si la couche mince est realisee par dep^ot de uorine d'indicen0= 1;35?

3.Calculez l'epaisseur minimaleede la couche de

uorine necessaire pour supprimer completement la re exion a la longueur d'onde= 560nm. 2

Exercice 3: Anneaux de Newton

Une lentille plan-convexe d'indicenet de rayon de courbureR= 1m tres grand est en contact par son sommetSavec une lame de verre de grande epaisseur (Fig. 2).

Figure2 { Experience \Anneaux de Newton".

Une onde plane monochromatique de longueur d'onde= 0:6m eclaire sous incidence normale la lentille. On ne s'interesse qu'aux re exions de cette onde incidente sur la face courbe de la lentille et sur la surface superieure de la lame de verre. On appellerla distance des pointsMde la surface de la lame de verre au sommetSde la sphere. On rappelle les coecients de re exion et de transmission (coecients de Fresnel) d'une onde plane sous incidence normale qui passe d'un milieu d'indicen1a un milieu d'indicen2: r

12=n1n2n

1+n2(1)

t

12=2n1n

1+n2(2)

1.Calculez l'amplitude des trois premiers rayons re

echis et deduisez- en qu'en pratique seuls les deux premiers rayons participeront a la gure d'interferences. 3

2.Exprimez la dierence de marcheentre le rayon re

echi par la face convexe de la lentille et le rayon re echi par la lame de verre. Negligez la refraction des rayons.

3.Quelle est la gure d'interference observee? Quelle est l'intensite au

centre de la gure d'interference?

4.Exprimez le rayon des anneaux sombres, ainsi que celui des anneaux

brillants en supposant queRr. Montrez que deux anneaux successifs (sombres ou brillants) aux ordresmetm+ 1 sont tels que r

2m+1r2m=R:(3)

Deduisez-en la formule suivante

R=2r2mr

(4) avec r=rm+1rm.

5.Calculez la position des quatre premiers anneaux sombres.

6. A quelles conditions peut-on observer des anneaux en lumiere blanche?

7.La lentille est ecartee d'une distancee0de la lame de verre. Quelle

est la nouvelle dierence de marche entre les deux rayons qui interferent? Quelle est desormais l'intensite au centre de la gure d'interference en lumiere monochromatique? 4 Universite Paris Diderot-Paris, EIDD Annee 2017{18

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TD5 Reseaux et interferometre de Frabry-Perot

Exercice 1: Reseau

On considere un ensemble deNfentesSietroites, longues, paralleles, equidistantes avec un pas noteh, et perpendiculaires a (Oz) (Figure 1). Figure1 { Schemas du reseau en 3D (gauche) et de prol (droite).

Montages optiques

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